Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 44
Текст из файла (страница 44)
нню г ~ — (нгАгАн — 2нгйг(+ )з) АО 6 (12 44) ~о, где А = АН'. (12.45) В результате днфференцнровалнн') в (12.44) получаем ~ ( ~ ( ~ АгйнбΠ— Г)АГ)бО Я=6 (12.46) в, к! Ишокьзу (Блб) к (Б ы) нз ейелокшгш В. Глвю Н Замечая, чта и не явлиетсн функцией от х н у, можно ванн. сать ураввенне (!2.46) в виде г ~ й'и+Р'=О, (12.47) ! где й'= ~А'АДОв Р'= — ~А (бвв (1248) о, о, Очевидно, что мзтрнцы Ь' и Р' имеют расширенный вид, т.
е. соответствуют размеру системы; таким образом, уравнение (12.47) является расширенным элементным матричным ураза»- пнем. Вышеириведепиые соотношения' можно записать также лля элемента, что представляетси сделать читателю в качестве упр жиени». бъединяи ураеиениа для элементов либо по у л , либо гю элементзм, приходим к матричному уравнению системы Ки+ Р О. (12А9) Для получения из (12.49) онончательного уравнени» системы теперь необходимо обычным путем учесть условия Дирихле, Йз уравнения (12.48) видно, что матрица элемента Ь' является симметричной и положительно определенной Следоза. тельна, матрица системм К метода наименьших ивадратав до учета граничных'условий Дирнхле также симметрична а положительна опрелелена в отличие от метода Галеркина, при котаром Симметричная матрица получается талька в с.чтиве само- сопряженной задачи.
Более подробная информация о методе наименьших квадра. тав имеется в работах [4 — 14). (2.4. ПРЯМОН МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Дл» получения нанечнаэлементной формулировки необходима, чтобы уравнение, описывающее физические законы конкретиага явленяя, прнвяаыввлось к определенной области. Примерами тзкик связей являются функционал, соответствующий зариациовному принципу. и критерий малости в метеле неиязок. Определягащие уравнения в обычной дифферевцяальчай форме не годятсв, поскольку аии применяются к тачке, а ве к области. Оден (\5), однзио, заметил, что имеются формы апределвгощих уравнений, которые можно использовать в качестве основы для метода коиечиыт элементов, Например, в механикс сплошной среды энергетп геский баланс для области может быть записан в об!цен форме нлн на основе контралыюго объема Аналогичпмм образом уравнения неразрывности могут быть получены Другие форму.
мроаю мешал кона мм лва яв) на основе контрольного объемз. Днскретнзацн» области на ко. печные элементы н прямая подстановка аппроксимирующих функций в такие интегральные формы определяющего уравнения, как показана паже, образует канечноэлемеатную процедуру, известную как прямой метод, метод глобального или энергетического баланса. Оден н другие (!5 — 29) успешно приме нялн этот метод к различным стацманарным н нестацнонариым задачам.
Далее рассматривается толька стационарная равновесная задача. Интегральна» форма уравнения для области в этом сву. чае следующая: !(у; к) О, (12.59) где и — аависима» переменная, а х,— независимые переменные. В общем случае интеграл ! па области можно представить в виде суммм элементных вкладов !', т. е. ! л, !'=О. Полстановка юементной пробной функции во вклал каждого элемента по уравнсвию (12.51) преобразует правув часть в вы.
равенне, включающее узловые параметры элемента, базисные функции и независимые переменные .с, Полученные уравнения ддя элементов можно преобразовзть в обычную систему элементных матричных уравнений н с помощью (12.51) объединить в матричное уравнение системы вийа Км+ Р О. (12.52) Граничные условна Дирихле можно учесть путем коррекции матрицы системм, а другие граиичиме условия вводятся с помощью соответствующих интегралов по поверхности. литеуатурэ !. Нп!атюа В. и, зсг! ео ь е. Оп йе вагсь 1о аоанаоа! Репер) э, ! ге !. у и а! м 7 а ), !9,799 — 521 (1957!.
2 Р!е!сье С А 1, тщ а )егма ве!Ьаи Ам ! !гоа !вп, !9ЕЕ.ТМ.!%2 ШЛДО), Юсарапэ йэввсЬ 54МЫ)эьве 1, Оер! о1 О)епэе, Аз !аме, а Ю Ааааа!а,) е !97». 3 Р|п!аувп Н А, 5сгты !. Е, гье вэюаа 1 эефюся ева М вЂ” 74. Юищ Аул! А! Ь, Л ., », Ма.'Э, 725-749 (зср!.вь г 19»а) 4 Ьтпа Р. Р, Аг! 5 К, О а1! )эчюв сг! оп1п)Ье П !М ! еп) ю. )вйа' ! г ° ! ~.'л с мегь 1, ! ел»., з, 75 — 55 ()шз). 5. Ьгпп Р Р А !з 5 к. Рь 14 смамп14 юпп !авз ьу юе ие кыв1 1 м аа ге в )Ь 4, ! ! ! Г Л 4. Аыйау ! Ему у., В, 7! — 90 (!974).
ажеам 1 О С.,а О й !г,ъсеК М.,ъев)эааг Вп М о! 1аг ы ! )а)в р оьюпг — ! ' 44 щ' !п)еигаьоа, ! Ыгча!, г, и вег. Тына 32 аз, а,з " а$1 " аз„ тгг аи ' аз< " аз (А!) «г аз" яе" а.; ап а<э ггп (А.З) а„, Т. Лупи Р. Р, Леээ$эсиеез Ип<1е с<еле< еле<ус<э о$1эпапз Ьвпаэу 1эуег И е Рм» и. 1. Л<епег. Ме<ЬЫЬ Ь Епйгй., 3, 665-В7В (1974). В. Амп 1. Е., А <ееэ< эеиэ еэ И Ье <еееп$ зс<ицоп Ы поп<пнем ор» Иее, <п: Мйюпз<1 э о) Не<с Е1епепЬ зна Аррйсэцопэ (мьг<епвп 1.
й., о<2, Асааеп< Ргеи, Н Уо Л, Ю73. 9 Л е К Н, А йое оп 1езе< э<неге гезыиеэ <н Ь евг е<азйсйу, 1, Арр<. М Л., 5е. Е, 96, 5Я вЂ” 654 (Тия Ю74). 10. Иоанн М Р., ТЛе Лены-эс апе сапэцага< рг<пс<р<е <о Ипйе «<енин! арр<еэйопн 1. Аррг.
Месь ВТ, 900 — 903 (Оссепьег 3976) 11. ИЛ гю 1. Р. М., 5<сед О Р., Оп йе 1 эз<-всинсеэ юргоеЬ $о йе <п. ьюэ<ьп о< йе и е — 51оле щиэьсю, Рпрге<е с$<ь 5 ссоа Буа. рисе о< Р<пЬе Ецееп$ Межой гп Нон РсоЫсеэ, Я. Ме яне <з, 1<му.
14-33 1 пе 1976, рр. 73 — 32. 32. я п О Р., Оупэйсз Ы э И Ы сне<се< <с йегеа< эпа В ее<у Ойис<оп, Р о . !п< и $, с ы. Р(ыь е<еееп< мейоа» !и епяга., и и. с< Аам ые, Бий Аю< еьэ, Б — 6 пес* Ь«<97Б, р, $7 3 — 3736. 13. Ое У $ О, СэЬгю е Т.
Е., Иоп3 О. Н. А <сны эснэгеэ Ипй е1 пес< юкжс <е'РЕ Ы.< И ' 'йер. Ио. Я Оер$, о< Ме, Епягя., Опы. о< Сэ<аэгУ, А1ЬегЬ, Саша (Нес еьег ШТЕИ ы мсггге О. н, ае ю<ес О., йппс шее и! в ыюаирлу, Р<епеп, не уонс 1976. ж Оа п 3. Т., А сепегэ! Т!ему с< Ьнй с<ее пЬ, 1 С. а< 1.
№ гсг. Мс. йеа Епасш (Рас<1), $, 202 — 221; (Рег< 2), 1, 247 — 262 (3969) 16 Оай 1. Т. У<п!Ы Е<е епЬ о< Ноп-!<пег СопЬпне, М Огв .Нгц, Иен уо Л, 1972 [И еп пер вод Оден де., Конечные ээе н н неэинемгсз <т Осел 1. т., у<с<! ь п< эпэьаие о! Инее — 5!оыз еснвиоиг, Р с Азой, 1.
ЕЛВ В и сз О< .,Бв, Но. ЕМ4,5ю — Бз4 (<ио). <В Оаеп 1. Т. Боеояу! О., Нпй е1е еп< нррцсэ1впв <п Ины Нуп <сэ, Р а АБИЕ,1. Еэаа Мг Л О< .,93, Н ЕМ3,923 — а6 <19Б9). 19. АБ <гге-йае$ ы О.. Оие 1 Т., Нпйе е<епеп<<ссьп<сие эср<еа 1о Ы 1 С Па ИОП Е Ю<)ае Юй ЬЕРЕС 1и аюенаэн! <ЬЕППЭ! гй !П!Ь. Р р ВзлйА<НТ.34, А5МЕ цна Ап иа< Меепп9, 3.оэ Апае1ез, 36 — Вб Н г гпЬе ИМ9. 20 ОС п 1 Т., К Иеу В. Е., Нппе Иев $1 и<э<1 п о1 яепегэ< й ппое<ып- сИУ Р оы, 1 Гс ас. 7.
Лиепе Мгйоы Е В В„В, 361 — 379 (1973). Приложение А МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА А.1. МАТРИЧНЫЕ ОНРЕЛЕЛЕНИЯ Матрица определяется как прямоугольный массив символов яля чисел, упорядоченных в строка и столбцы, и обычно зппп. сынается н следующем ваде: А ЛАТ (ао) = ап гйэ "' а; а Нажяяе индексы < и 3 в первой н второй позяцпях указывают соответственно на <-ю строку я )-й столбец. Матрнпа (А.!) имеет «! строк п л столбцов, ее типичный злемеят ао расположен в 1-й строке и ) м столбце.
Говорят, что тнкая матрица А имеет порядок и Х г,: Матраца-строка имеет порядок 3 Х и а может быть представлена в ваде А=(ап ае ° .. а<1 ... аг„], - (А.2) а матрица.столбец имеет порядок ш)С1 н записывается з виде Далее в тексте матрица обозначается буквой жярпого шрифта [йапрямер, А). Магри ал амалиа Прело и д Поэтому диагональная матрица может'быть записана в виде бнО ...О Обм .О (А.10) «ы иаа иы иы ааа иаа ''' лат ," ла.
О 0 (А.4) 4. Леигочлил матрица имеет ненулевые элементы в полосе, расположенной вдоль, главной днаганалн, н только пулевые вне этой полосы. Например, ленточной явлветоя следуюапая ма. трапа: (А.11) 0 0 0 0 0 а„,„а а„а,.-а и„ь„ О О 0 О 0 '" 0 аь„, а (, =А (АЛ) где а — скаляр. Например 5. У треугольной матрицы равны нулю все элементы либо над главной днаговалыа (в этом случае она называется нижней треугольной митриям!), либо под ней (тогда это верхняя треугольная матрица). Верхняя я нижня» треугольные матрицы обычно обозначаются соответственно В н В.
Напрныер, А= Оао (А.б) вы в,а «,з и,„ 0 ию итз иа„ О О и и„ (1, 1=А (О, (А.ййн) (А.у) .0 0 О " и (А.О) (А.12б) а а м 1„ 1„ 1 (Паа, а' 1, "аз='! О, 1ть). Б. Симмегри«ная матрица — зто квадратная матрнпа, в которой злемевты, расположенные симметрично относнтельно глав (А.й) У нулевой, илн иуль-митры!и, все элементы равны нулю, н опа обиначается как О. ((вадратиаа матрица имеет равное число строк н столбпов н записывается следующим образом: ал ио - и,т " иь им ам а„т .. а Далее определяются Отдельные типы пвадратных матриц, такие, как скалярная, тождественная (единичная).
двагональ. вая, ленточная, треугольная, спмметрвчпая в вососнмметрнчная. 1. Слалярлил матрица — юо матрица, элементы которой определяются следующим образом: 2 Тождественная, нлн едииичпал, матрица обычно обозначается 1 н имеет элементы Напрнмер, едяянчная патрика 4)(4 записывается яак 100 0 0100 0010 000 1 3 У диагональной матрицы ане главной днагопалп все элементы нулевые Элемеааты лнаговальной матрицы определяются следующим образом; а~ Лы 0 0 О а, а„, аа, О О 0 а„ иы а„ 0 0 0 О 0 0 0 0 О 0 тпОО ...
О 1га тм 0 ... О 1, 1 1, ... О Лэизамгзиз Л Магри«лаз алззаэа ной диагонали, равны, (А.)3) ац-— ап дла всех ! и 1. 7, У .лососиммегричлой матрицы элементы, располоменные симметрична относительно главной диагонали, равны по абсо. лютной неличные, но имеют противоположные знаки. Следовательно, элементы на глазной Лнагоиал» такой матрицы равны нулю. Таким образом, для кососимнетрнчной матрипм 0 пРн 1=1, а,г= — аа при (А.14) 8 Касаи матрица отличается от кососимметрнчной толька тем, что не зсе элементы на ее глазной диагонали равны «улю 9. Блочная матрица — зта матрица, разделенная на ладма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
