Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 45
Текст из файла (страница 45)
граца. Например, А„А„А,з ~ А А Азз Агз Азз ) Азь Азз задаются в виде А„= (А.! 6) Азз 1 из, изг] А.2. МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА А.З.1, СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ Сло.кение возможно только для матриц одного порядка н апре. леляется кан сложение соответствуюших ктементов, т. е. С А+В, (А.17) (А. 18) 216 + 013 = 229, ГА!9) аы, а,з, а,» '«,з «гю а ~ азз аы 1П > ггзз ~ гзз азй ац ', аз, , 'дгз изз где подматрицы Ац, Ао, А1ь Ам А11 = азг Агх — оы Аы азг, Аз, изз, где элементы С задаются равенствам сц- и+Ьи.
Например, аг, аы аю азз Лзз азз ) Ай д вычнтдние мдтрнц где элементы С задаются е энде сц =аи — Ьа. (А,21) АЛЛ. ДОММУТАТИДНОСТЬ И АССОЦНАТИИНОСГЬ К матрипам приьгеним закон коммутативнастн, т. е. ани могут складыеатьсв илн вычитаться в любом порядке, например, А + В В + А. (А.22) Матрицьг также удовлетворяют ассоциативному закону и мо- гут складываться нлн еычвтатьса з любой комбинации. На. пример, (А+В)+С А+(В+С). (А.23) АЯ4. ТРАНСПОНИРОИАНИЕ МАТРИЦ Для получения грилслонироеанлой матрицы нужно все строки гюменать местами с соответствующими столбцами.
Матрица, траксповировааная к А, обозначается А». Например, если Гац аац А=~ лег аы (А.24а) з1 им то соотаетстауюшан транспонированная матрица имеет вид Ат = [ ~ ' (А.246) Транспоняроваиие блочной матрицы получается заменой каждой подматрицм на транспонированную, а затеи переменой строк и столбцов блочной матрицы. Например, для матрицм (А.)6) ГАп А„Агз") ).Ан Ааз Ам.) (А.26а) получаем транспонированную А = Агп Агм А131 Амг (А.266) Вычитание матриц выполняется по тому же правилу, что н ело. жение, с той разницей, что производится эычцтание соотзет. стауюшчх элементов: С А — В, (А.20) ззз Прнюм н и Магргашг агггвге Симметричная матрица совладает со своей транспонировал. иой, т. е.
А =А. (Л.2б) Для кососимметричной матрицы траиспоиированная равна нсходиой с противоположным знаком, т. е. Аг — А. (А.2)) Азл. Рмножеиик матриц Для умножения матрицы А иа скаляр с каждый злемсит ма. трепы умиожается ла с, Например, если ~ ап ои А=~ аг, аг, ~ ова- 1 (А.29а) то ) са» сап сл=~ сам саы ~ саг~ сач (Л.2зб) со= с, а,гЬ,г, ~=1, 2..., гп, /.=1, 2,...,а.
(А.29а) г г Нсполюованяе обозначений суммирования') позволяет запи. сать равенство (Л.29а) в виде с,г =агрЬ г, г = 1, 2, ..., т, /= 1, 2, ..., а. (Л.29б) Рассмотрим н качестве примеаеиия формулы (А.29) следующий пример. Пусть 2(З) А ~ ' В=~ — 4 О 2 . (Л.ЗОа,б) 21Е1 б! О Произведеиие С АВ получается следугощим образок: -*-Г '") - +Г"') ) Еумиароггнае авовоюпся ео поегорчщщв с инда с Перемкожеиие двух матриц А и В требует тога, чтобы число столбгюв Л совпадало с числом строк В, матрипм, удовлегво. ряющие атому условжо, называются согласованными Пронзав.
деиием С двух согласовавных матриц А в В (порядков т Х Д н ЬХп соответствеиио) является матрица поряпка МХп с зле. меитами Ая.з. ОБРАщение ИАТРиц Обратной к квадратной матрице является матрица, которая после уииожеаин на жходную дает единичную матрицу того же порядка.
Матрица, обратиая А, обозначается А '. Следовательио, по определению А 'А=АА '=1, (л.зь) Ыожво показать, чта матрица, обрагиая А, существует, если апрелелитель А (см, приложеиие В) отличен от пуля, т. г. бе( А~О, (А.ЗЗ) Проиллюстрируем операцию обращеяия иа примере матрицы, имеющей вид Гагг ап ам А= ап агг ам аг~ аг, ал (Л.зб) Обрагиая матрица А-', если ова существует, будет тато же по. редка, что и А, и, следователыю, А-' можво представить в виде ) ьи Ьм ьв А ~ =~ Ьг~ Ьгг Ьщ (л.з» Ьи Ьм Ьм ') Е г гга о, юобходгио сеггвсезаннг еряхга ео гг ущщах Еге.
гев — Пр агргг, Операцию умножения можно распростраиигь иа произведеиие более чем двух матриц в том случае, если сии имеют'са. гласоваииые порядпи. Произведение матриц О=АВС (А.31) возиожио, если матрицы А, В, С имеют. порядки глХр, РХР, ОХл соответствеияо; тогда матрица О имеет порядок МХл. Если последовательность перемиожаемых матриц ие пару.
шается, то к цроизведеяию матриц применимы закоиы асеоц)га тивносги и дистрибутивпасти. Например, (АВ) С = А (ВС) = АВС (А.32 а) и А (В+ С + Р) = А (В + С) + АО = АВ + А (С + О) = =АВ.).АС.(-АР, (А.З26) Б общем случае перемножеяие матриц ие коммутативио, т. е АВ чь ВА. (Л 33) Блочные матрицы перемножаются точио так же, как обыч.
ные матрицы'). пр л Мотре лая алеерре * 'а= (А.ЗЗ) где (ААЗО) унан + Ь„ат| -)- Ь,тат, = 1, Ьпаи+Ьюцт+ Ьеаы=б, Ьиам+ Ьнагз -(- Ь1зазз= О ао а~з ... ат„ атт ам . ае А= (А,43в) получаем ) аю а т ... а„, Ьч — — (ама,з — а„а„)Ме1 А, 5~а = (азта„— очам)/бе) А, Ь~з (аиаы — а„а,з)/йе)А, (ААО) где Х- ~ Р (ин иь ..., и,) йр, (5.44) (А.45) Подстановка равенств (А.Зб) и (А 37) в (А.34) дает Система уравнений для Ьи, 1, /=1, 2, 3, получается простым приравянванием соответствующих элементов в (А.ЗЗ). Например, иэ равенств бе1А = ан (ризам — омам) — ам (ивам — ацаы) + ам (ацам.
— а„аы). (АА!) Аналогичный результат можно получить н для остальных Ьтт. Матрица называется силгул.аркой, если ее определитель ра. веи нулю. Следовательно, только иеснигулярная матрица имеет обратную, Более подробную информацию о матрицах можно получить нз соответствующих учебников [1, 2).
') Заметам, ив если тнанеяа ель э (А 40), а также а уревветтаял для естевшяле» Ьт отлнчен от нуля, то виэолняетса )члоезе, заааааенее резеаеыон (Арб), А.З. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЛИНЕННЫЕ ФОРМЫ Квадратичной формой' лля переменных иь иь ., и, наны. веется вмраженне, которое можно представить в виде Р(иь ит, ..., и,)=ади[+ати, и,+ ...
+амита„+ + алт и, и, + аы и' ,+ ... + ат и, и, + ... + +аыи„и,+а,аи,ит+ ... +а„,и, (А.42) Равенства (А.42) можно записать в матричной форме Р(инат, ...,и„) С«АВ, (А.43а) Вез потери общности [4) можно предположить симметрячность матрицы А, т. е. а,)= ар, Квадратичным функционалом [5) функции ф= ф(я, у, «) в области (иа поверхности, иа липин) называется интеграл от Р вида где Р, определяется равенством (А.42) или (А.43а) и где иь иь . и. прелставляют собой ф н ее различные частные производные ф„, фе, фь ф.„, ф ., ф„ь .... В этом случае коэффициенты в (А 42) являются функциямн координат. Линейная форма от переменных иь иь ..., и, определяется как линейная комбинация с|и~ + с,из + ...
+ с„и„, Равенство (А.45) может быть записано в матричной форме с,ит+сти,+...+с„и„В С С В, (А.45) Лраломеапе Л с, и, сг с- (ААТ) Е.1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЦ Диффереицироваяие матрицы выползяется посредством диффе- реициропаиия каждого ее злеиеита (1). Таким образом, если А = А(1) — матрица порядка р)С 4, (Б.!» (Б.З) а Ф )и Ф )е Ю Если матрицы А(1), В(1) и С(1) согласованы пп сложению или умножению, то можно наказать (2, 3), что 1) О(А+ В)=ОА+ОВ, о) О(АБ)=(ОА)Б+А(ОВ), 5) О(АВС) = (ОА) В С + А (ОВ) С + АВ (ОС) 4] О(А ) — А (ОА)А Кпзффициеиты сг, сг,...., с, линейной комбинации (А.45) п общем случае являются фуикцияыи координат. Л юрвтрра ! Д!Вел Д.
С„ре!е и!пап!р апе Ма!псее, Опы. ММЬ т Ма, Скгег 4 Нога, Июнь КЬ, Юзд 2. 5а тм зр. 9Г, Дп ЯпМпеелпд Арргоось Ю Оп а а!ИеЬг, С пЬнаее 3. Рогоз 'МЛ., 7аг~ац па! оС !ю!оз гп'зс!епс ! Нпяж ецпя, М С .НН!. Не ° тож, !968. 4. Цеижап 1. ж Ь! !Южан 1 Ма!козе !о Рзтмоа опз Нпи!пы гпя, Мгц и Нзг, Не тог( 1962. 5. И гя Р. Ю, Са! оюр о! нымкопа, !и; Напазооз о1 Нпфпеегюк Меюаппз (Р!енсе!Ч.,'езНСЮр!ег !в.ысцга .НЮ, Не топц Ювз. Приложение Е МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ,ф) °,« " М,()) аю(г) а,',я ° арр(!) ЛИ=- бра(г) 'гргМ ' " . пм(г) Ацийг бпггМг дегегггй ~ - О(А) = ~вг)Ф ~ )ю ' ~з Мг 41 Ас,)бг А,„Мг ",Ь„Мг Интегрирование определяется аналогично: )п„к! )п„бг )п, Ю (Разе 4! ~ агзю "' )Гаге(! ~ [А(г!)Ю = (Б.4) (Б.б) (Б.б) (Б.у) Бразажечяе Б Магричюз асчагын и х, у=(ущ" у), х, (Б.13) Сг а Система величии .
ду/дх, ду/дхз др/дх~ дрз/дк, ... ду /дх, др1/дк дрз/дхз ... дУ )дх (Б. 10) дх,/дуз дк1/дуз ... дх,/ду„ дхз/ду! дкз/дуз ... дх,/ду дх дт (Б.12) дх„/ду, дх„/ду, ... дк,/ду Б.й. ЧАСТНОЕ ДИффЕРЕНЦИРОБАНИЕ МАТРИЦ Частное дифференцирование матрицы определяется точно так же, как и общее дифференцирование. Если Х и У вЂ” матрица. столбец и матрица. строка соотпетстпеяио, т. е.
и У = (у, уз ... у„!, - (Б.ба,б) то частиаи производная дУ/дх, определяется квк ду/дх, = (ду,)дк, ду,/дх, ... ду /дхф (Б.й) ду/дк„ду,/дх, дуьГдх, ... ду„)дх, может быть просто записана в виде ду/дХ Аналогично, запись дХ/ду раскрывается как дХ/ду =(дХ/др~ дХ/дУз ° . дХ/дУ ), (Б,11) илн, болев подробно, Смысл выражений вида дд/ду (А — треугольная матрица) " дд/ггк (Х вЂ” м'грина-столбец) объяснить трудно, а их исноль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
