Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Решение этого уравнения дает узловые перемещения, а затем по формулам (11.11) н (11.16) определяютса напряжены» и деформации. )(ля трехузлоаого треугольного элсыента, исполшованного в этом разделе, линейная пробная функция соответствует лннейгюму распределению перемещений на элементе. Однако распределение деформаций ввляетсп постоянным, как зто видно нз равенства (11.10).
По этой причине элемент часто называется треугольным с постоянной леформадаей (сопь1ап1 айа1и эг)ап. 2!е — СЗТ]. Можно, конечно, использопзть и другие элементы при соответствующей мо;пгфнкацин формулнровои. И Зр и аралом лмг латала щю ччи вылез шв 11.2. ТРЕХМЕРНЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕНИИ В этом разделе кратко рассматривается распространение формулировок плоского напркженно-деформированного состояния на общие трехмерные задачи механики твердого тела. Более подробно этн вопросы нзлагаютсв в монографиях по методу конечных элементов в строительной механике и механике твердого тела (1 — О). Функционал, соответствующий принципу минимума потенциальной энергии, в трехмерном случае также имеет вид (Н.З), за псключеинем того, что А, теперь являетс» чзстыо поверкностн, огрзннчнвзющей трезмерную область.
Число элементов в кажлой нз матриц е, а, Р, Р н Т должно, конечно, соответствовать трекмерной ситуации. Так, а содержит шесть компонент, необкоднмых дли описаны» деформаций в точке, а н содержит. аналогичное число компонент, задающих напряженна. Использун упомннввшеесн ранее стандартное обозначение нижних индексов дла компонент иапркжеинй П деформаций, можно записать матрицы и н е следующим образом: Если ограничить рассмотрение лагранжевыми элементами с з уэламн, то матрицу перемещений б можно записать в виде 3 (иь бь ыл из, бэ, ык ...; п„бм ы,)г (11.32) илн 3=(иь и, ..., йд бь Ое, ..., бл ...: ыг, ша, ..., Ф,)т, (Н,33) где й, о, У вЂ” узловые перемещения в напрзвленияк к, р, з соот.
аетственно, а нижний ннлекс обозначает локальный номер узла элемента. Каждая из матриц Р и Т имеет по три элемента (хч р- н з-компоненты). Конечноэлемеитнав формулировка в целом аналогична формулировке предыдущего раздела и имеет лишь модификации, соответствующие трехмерному случзю. Например, матрица О становнтск симметричной матрицей упругих постоянных размерности 6 )( 6, з 3 вычпсллетсв нз соотношений между дефармацаямн и перемещениями, аналогичных (11.10) .и (Н.!Ц. г и 264 (1! .34) 1 у «Ь ! 0 Ь аЬ вЂ” — 0 1 'х Ь аЬ х 0 ай (!!.332 1 у а ай ! л 1 у + — — +— Ь Ь Ь 1 х у Ь аЬ аЬ Есл» имеются начальные деформации аз, то дополнительную матрицу сил Р', которая вычнслпется по форчуле Р' = ~В'П,ДУ„ г, нужно вьшесть из правой чйств (11,20). Аналогично матрицу снл от температурных деформаций е, также имеющую ввд (1!.34), необхолимо вычесть из правой части (11.20].
Прннцгщ минимума ~отенциалыюй энергии, на основе которого была получена формулировка метода конечных элементов и перемен!синих, не является единственно возможным варна. циоинмм принципом в механике тнердщо тела. Принцип ыиви. мума дополвнтелыгой энергии приводит к функционалу, включающему вариации напряжений, н соответствующая ему конечноэлемснтная форм>лировка, таким образом, основывается на некотором предполагаемом поле напряжений вместо поли лсрсмещений. Принцип Райснера допускает исполюонание как поля перемещений, тап и полк напрнжений.
Дополнительвыс подробности, «асающнеск этйх и других нриищяов, можно найти в цитированных ранее монографиях. Для иллюстративных целей в этой главе рассматривались только лаграижевы элементы При соответствующей моднфпка. цнн процедур можно использовать и другие элементы, например эрмитовы. Использование локальной системы координат для элемента'в общем случае приводит к упрощению формулировке.
Для частных типов задач, такик. как изгиб п,тастнны и негру. жеппе оболочечных конструкций, были развиты спецвальиые подзолы, описание которых может быть найлено в литературе. управ ение пз. Оа ди е а нмс фор у ааз оэффнни сэ эекентй а Эпин жестакт й све о рапааг у оа и упругие еэ г аю ае даа и преп пр юк пагода а ««а .
ипюа 2бб тэеупыы го элемент с стеэпн мв аеф*рм е япа (скт.элемпкэ>: а) в и с з асформап эх, б) плоски напр ш нн г. Упэ ые ве П.з. П пк е, чы л. аннщн рвмоугаэьно о эа э ишана эасиенга, э встав. вво о на рис. 11 5, атрек» Н опнсмваегся фоэ>ш й О -- — 0 — 0 у у аЬ а аЬ ай п окюд опэ л эн фф 3 . н но патин ги сс осп и чеэеэ «оэффэка втм уэыз в упру к пмс ах аз» пл е и д ф р знай, тйк и а ас ки*а Э папий Пвыпг 11.1. Й поэьзу С5Т- ымент». сост э е прв а Г э Эеш и закз к о 3 э мыы о со т ан э, показана й а э .
1>д и е э е Рис 3!Д О ер тне в нагруп ином бр> е а» дэшы э рн обе гк ° а эу и па оыове аыеапмз расчеюв оиы т ффна снт ке ц тэаеи эпр шыэй н срази е апуб пкавапн а виюы. Прапусг пэ э у дв пдн лз эа пк э менов э Пваев 11-2. Мод финивуй прогвакпу Э гэ П-1 лээ Эс .» уха а зыкэх дефор чиж, аиазогпч ой эы ай ы эвс. 114, но Э уг люми атаев! ыго «Эуыэога. Й о.юуйт,ав й и* пв а.
Йроыт 11.2. П э изба вите ебо ироэ 11-1, вибо прыг! 1! 2, иа еьыауг отверг!и С5Т-эеемента в ир уга ьиы э и нг отавы!ой абзасти, 11.3. АКУСТИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ И ДВИЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН Пернодичеспие волновые калении типа сиободных колебаний обычно опнсываютс» уравнеииеч Гетьмгобьца — '(܄— ) + — (йг — ) + — (Ь, б ) + А'ф = О, (Н.йб) Г.мэа ж И у ээн лг ° э г За каэечэих ээ вэ а Ва7 где ф — скалярная перемеаная, й„ йг, й, — свойства среды в направлениях главных координатных осей х, у, а соответственно, а Д вЂ” частота колебаний. Для однородяой н нзотропной среды к*= йэ=й,=у =сопз1. В этом случае й можно вшсти в частотный параметр 1., н уравнение Гельмгольца запишется а простой- форме Tф+ Лэф=-б, (11З7) где рэ — оператор Лапласа.
Обычно на части границы задасто» условие Днрнхле, а на остальной част» границы в однородное условие Неймана. Для акустического пол» внутри замкнутого объема определяющее уравнение Гельмгольца имеет внд Оф+(м)с)зр-о, (11В8) где р — изменение давленая (но отношению к внешнему давлению), м — волновая частота и с — скорость звука. Распространение электромагнитных волн в полом волноводе, заполненном однородным диэлектриком, также опнсываетсв уравнением Гельигольцат которое в этом с.чучве записывается в виде 9'ф + (ерр,с,е,) ф = О, (11.39) гдя ф — компонента вектора поля магнитной напряжеяностн Н нлн вектора электрического поля Е,м — волвован частота, ре— магнитная проницаемость а вакууме, а еэ и Ш вЂ” днэлептрнческне пропнцаемосгн в вакууме н диэлектрике соответственно. Стоячие волны для массы воды в озере нлн гавана могут быть описаны тем же самым уравнением в следующей форме.
ах!да*)+а!йу)+!у)а О(1140) где и†амплитуда стоячеи волны, измериемая от среднего уров. ня воды, й — средняя глубина водоема, д — гравитационное ускорение п Т вЂ” период колебаний. Дл» этих в других калений, опнсываеммх уравнением Гельмгольца, можно получить реше. ния на основе вариационной конечвозлементной формулировки, как это показано в оставшейся част» данного раздела. Рассмотрим уравнение Гельмгольца в виде (11.37), На асио. ве варнационного исчислени» (гл. 7) можно показать, что решение ф этого уравнены» мнвнмнзпрует функционал = 1 И вЂ”.".)'+( —,)'+( — ")'-"ф'1"' Н") о Пробные функции ф, исполшуемые в (!1.41), должны принад.
лежать классу допустимых функций. В данном случае требуется, чтобы онн были непрерывны н имели «усачио.непрермв. нме первме производные в 0+ 5. Кроме того, пробные функции должны удовлетворять заданному граничному условна Дн. риале. Однородное граничное условие Неймана дф)до=О, зх й.ф. дзй.ф Мамин показатц что элементы матриц й' н Ь' описываЮтся вы. раженннми гдп дпг дп„ дна дп дпв'э Э ~ (,, „+ — + з — уй(7, (Н.43) д д ду ду зэ дэ .) .и в й'.э- ~ )7,)раИВ„ (1!А4) о, где йг„р)в — базисные функции, а а, Р— 'локальные номера узлов (1„2, ...) элемента.
Для четырехузловых тетраэдральиых элементов с лннейнымн пробнымн функциямн представление через базисные функции имеет впд е ф' Х )УэФ». (1)АО) еш В гл. 9 было показано, что базнснме функции № дли этих элементов совпадают с объемаыми координатами уу Выполняя зту подстановку н дифференциру» по х, у я а, получим дх зг Зх г, дьг и 3 еу ' ду 61 ' д» ау ' где Ьг, с~ н Д определены в равд 9.3В. Следовательно, для рас. сматриваемых элементов выражение (11.43) может бмть запн. саво в виде й а= шу (й„йэ+ в„св+3 ба) (1!А 7) (1! .48) заданное на части границы, издается естественным граничным условием н выполняетеп автоматически. Первая часть изложенной конечноэлемептной формулнровкн блвзка к формулировке для уравненвя Лапласа, так как функ.
а»овал для уравнения Гельмгольца имеет лвшь один дополни. течьный член — Хэфэ. Разбиение области 0 на 1 конечных эле. ментов, подстановвв элементных пробных функций ф' в элементные вклады Х' н дифференцирование по компонентам вектора узловых параметров ф' лают элементпое матричное уравнение в виде Гз ее г! Аналогнчно выражение (11,44) с учетол! равенства (9.55)') дает ( У/1О, а=5 ), 1'/20, »Ф9' (11.48) Затем обычным образом пронзводнтся объеднненне элемектямх матрнчнык уравненнй для получения матричного уравнения сн. стемы Кф — 1ЕНф О, (1!.49а) где ф — узловой вектор системы н Π— нуль-матрица. Прелположнм, что граничные условна Днрпхле нмеют внд ф О. Учет як в (11.49а) позволяет ясключнть этн фг н множество урзвненкй (!1.49а) скоядеясяровать к К'ф' — Эзш"ф О, (11.49б) где ф' — уменьшенный узловой вектор системы (т, е.ф без заключенных ф,), а К*, Н' — уменьшенные матрицы К, Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
