Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Для заланного набора операций ошибка может быть уменьшена путем использования кратных слов' ) и большей длины слава. При заданной длине слова ошибка может быть уменьшена за счет процедур с меньшим числом операций. Заметим, чта резкое увеличение ошибки происходит при аычптйзнн ачтп равных чисел. Если, например, значащими цнфрамн явлнются только дие послелнне, то последующие вычислительные ошибки вскоре поглотят зти дзе цифры полностью. Таким образом, при определении скорости нарастании ошибок длн фиксированной длины слона необходимо принимать я ра. счет кроме числа операций и их типа также и относительную эеличину чисел Например, если матрица А плохо обусловлена, то это означает, что отяоснтельные значения козффнцнентоз ') Напри гр,пак п аппучпп и с х ойпп а пст ю а ю Ы адм рем аил уа ш а э гажааа лрагр л г а ЗЗГ таковы, что в процессе решении ошибка в Х быстро нанапл»- в ветс».
В случза заданного прямого метода решения есть два пути повышения тошостн решения Х Можно нснользовать арнфметику с двойной точностью, что непрактично для больших задач, так как требует прнмерно в два раза больше оператнегюй памнтя Прн непользования арнфметнкн с двойной точностью также увеличивается я вреыя выполнения операций. Другая возмогкность состоит в нспользоваяин итерацнонного уточнения пря условии, что зчементы матрнпы А н ее треугольного разложен»я -сохраняются' ) в процессе исключение нлн разложецня (деком.
повинен). Этот мв)од имеет пренмущество в том, что энзчнтель. ное увелнчеяне точ»осте может быть лостнгнуто за счет сравнительно малого увеличения времени Вычнсленнй н некоторого увелнчеаня памяти пря условна, что матрица коэффицнентов «орошо обусловлена. Если для бачьшнх задач желательно повыше»не точности, то выбор итернционного уточнення очевндеи.
Для ме»ьшнх за. дзч может использоваться либо двойнан точность, либо нтераннонное уточнение В таках случаях чнс.генные зкспернменты [3, 4] показывают, что арнфметнка с двойной точностью является легчайшнм пуюм для выигрыша точностн без звачнтель. яых затрат времен» вычнслеинй. 103. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Итерационные методы по сравненню с прямымн имеют слепующне пренмушества оин а) значительно проще дл» программнровання; б) могут эффектнвно сыравлятьсн с разрежеппимн матрицами, сохраняя и обрабатывая только ненулевые коэффнциенты; в) требуют меньше оперативной памяти Сходнмость атерацнонных методов быстрая, если есть преобладание диагональнык членов н матраце коэффициентов, но она может быть очень медленной для плохо обусловленных задач Если нспользуютса нтерапнояные методы, то предпочтительнее объеднне. няе по узлам (см.
равд. 6.3 3) Итерацнонные методы особенно полходят дла конечноэлементных формулировок, а котормх объединение в матрнчное уравнение системы я его решенне осу. ществляпжс» с использованием ячеек (см равд. 3.3,8), чем обеспечивается дояслннтельнан экономия оператнвной памяти Следовательно, для очень'большнх задач, плн которых неизбежны ограничен»» на онерзтнвную память, итерационные методы ока. зывзются предпочтительнее. Однако разработанные длв решенн» таках задач программы нспользуют прямые методы [19,32]. '1 и эао эчзаьзо а ов г и зава зачата с ослслгюшев леры .юа за паш Обычно счятаетсн, что, за некоторымн исключениями, пря.
мые методы требушт меньше времен», чем нтерапнонные. Однако это явлвется Чрезмерным упрошеннем, так как колнчвство вычнслнтельных Операций завнснт не только от метода, но также от тяпа и рлзмера') задачи. Исслелованяе некоторого заданного класса задач с помощью различных прямых н итера. цнонных методов показывает, что колнчество вычвслнтельных операций обычно связано с некоторой стевенью.й от размера залачн [2, 36].
Оценка общего чнсла операций для нтерацнон ныз методов, вычнслнемая ум»вше»нем »псла операпнй оп»ой итерацнн на число итерацнй, необхолимых длз пост»гвен»я точности, энвнвалентной точностн прямого метода, позволяеТ сравнить вреыя вычнслемнй для этих двух полхолов Если это сдыано, то становнтся ясным смысл сравнен»я велнчнны нндекса й лля прямыз н нтерапноиных методов.
Рассматривая общее чнсло операцнй для линейных второго норад»а задач нзлучепня, Биркгоф н Фнкс [2] установнлн, что показатель й меньше ддя после. довательяого метола верхней релаксация (БОК), чем длв стандартного ленточного исключення. Однако хотн для задач вто. рого порвдка небольшого размера ленточное исключение требует меньше временж чем 30й.метод снтуацпя меняетс» на обратную, если задача станавнтся достаточно большой Действнтельяо, численные эхспернменты подтверднлн это [36].
Отсюпз был сделан нывол, что «нтерацнонные 'методы нмеют больше пренмущест», чем прямые, для большинства эллнптнческнх задач с лостаточно большим чнслом неизвестных Такнм обрцзом, онп становятся более предпочтнтел*нымя для довольно большнх линейных задач нзлученяя в двумерном н трехмерном случаях, в также для довольно балыках трехмерных аадач четвертого порялка. Едннственным исключением (орели проверенных случаев) валяются лннейные четвертого порядка плоскне задача, подобные задаче с бнгармоннческнм урввненнем, длв которою, по-внлнмому, нет такой точки, котла нтера»нонный метод становятся более эффективным» [2].
Эта оггенка смягчается в той же работе замечаннямн о том, что, «хотя предылущие выводы опярэютс» на экспериментальную роаерку ., асе же необходимо сделать некоторые оговоркн. Прежпе всего этн выводы до некоторой сшпенн завнсят от задачн, н экспернментальпые тесты,. не покрывают широкой облзстн задач. По.внднмому, це. лесообразно нспользовать некоторую кмбннщгню прямых н нте.
рацнонных методов пля решен»я большых лниейнык эллнптиче. сках задач, но такне комбннацнн не нзучалнсь (в цитированной экспернментальной работе)а. ') Овршелазне~а, аз рн р, рзз э сть атр цн зеэфбишезтзэ М гм р » рраэщ и и г * «а ярогразээгюая»и» 2ЗЭ Г* Ю эза юал. Нтерлционные методы якОБи и ГАуссА — пепделя Классическим итерационным иетодам — алгоритмам Якоби и Гаусса — Зейделя — саойстэеины следующие достоинства: 1) простота; 2) оба метода асегда сходятси'], если матрица коэффициентоя А снммщуична и положительно определена; 3) требуется меяьше оператняной памяты, чем и методе ис«люченпя Гаусса.
К сожалеггню, эти достоннстаа обесцсниэаютс» крайне иедлеиной скодимостью. По сраиненнн» с другими нтерационныни методами, описанными ниже, процедуры Якоби и Гаусса — Зейделя требуют большего числа итераций дл» достижепн» той же самой точиоста. Таким образом, дли больших задач методы Якоби н Гаусса — Зейделп совсем не подходят.
Для малык залзчррямыми методани можно обеспечить экниаалеитиую точ. ность при гораздо меньшем объеме эычислеиий. Например, пля денточной системы на 100 урапнеиий лучшая из двух полпрограмм Гаусса — Зейделя требует прн сушестаепно худ»пей тпчиости я 25 раз больше машинного времени, чем самая бмстрая из програмы, осноиаиных иа прямом методе (4]. Срази»»земна программы были специально преппазиачены пля разреженных матриц н использовали только оператнаную память. Иэ сказанного выше следует, что нетоды Якоби и Гаусса— Зейделя сыграли определенную роль а разинтин ям»почит»хм иых методов, но не имеют сушестяеиного утилитарного значения.
Ю22 ТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Обычно и итерационных методах соэокупиость приближенных значений элемеитоя х нензэестной матрицы Х (см. ура»пенне (10 1]] используется э качестне нсходпмх данных для процедуры, иычпсляющей новые аначення этих элемептап Итерацпон. иый процесс начпнашся с походной оценка соаокупности значений х» н прололжается до тек пор, пока соотаетсгэ]ющие разности для совокупностей значений х, последних диук при.
блнжепнй станут меньше некоторой заданной «езпчниы. На А-й итерации готе«ного тераг]пои»ого метода приближенные решения к» для неизаестнмх х, определяются явна из ураэнсиия, сотержащего приближенные заачениа х, из предыдущи» итераций В раиных прнмеиенияк этих методов каждое хг епинстиенным образом соответствовало некаторои точке а области физической задачи п поэтому было естест»спи» описы. вать такие мстокы как точечные итерационные (полразумеэа. ') А» ерэ» и Гаусс» — 3 Эз о»зтс бщтр » а. »»рпт а Я»оба. лось, что уточнение решения получается последовательно а каждой точке). Такое определение и настоящее ярема нельзя признать упоялетаоритедьиым, так как а коиечноэленеитиык формулнроиках высокого порядка несколько переменных х» могут принадлежать одной точке, Общая линейная итерация для системы ураииеннй (10.1) может быть определена я энде Х» = О,Х'-'+ Ям (1О 25) где Х», Х'-' — приближения лля Х иа А-й и (А — 1)-й итера. нияз соотяетстаенно, О» — матрица, заинсяшая от А и В, а Я,— вектор-столбец.
Для различпьж итераций С и Я», яаобше го. аор», разные, иа что и указывает нижний индекс Е. В предельном случае при 2 ю Х» сходится к точному решению Х=А В, (10.20) и, поцстааляя (!0.26) я итерационное рааенсгао (10.25), получаем А В=О»А В 1 Я». (10.27а) Иэ (1027а) определяем Я а инде Я» = (! — О») А В. (10.27б) Таким образом, еыполнеиие рэяенстэа (10.27б) излагается а качестае услояня согласояанности на итерационный процесс (10.25). Раэенстао (1027б) можно также записать э виде Я»=М В, (!0.27 ) тле М» определпется формулой М»='(! — 6»)А '. (! 0.28) Общую итерационную схему теперь можно записать следующим образом: х*=а,х' '+м,в, (10.2У) где матрица Д», как зто можно видеть из (10.25),,знменеиа па м в.
Различные линейные точечные итерационные метолы разлн. чаютси конкретизацией итерационных матрип О» и М» и будут рассматрняаться иа этой осиоие. Математический аыяод методон и соотаетстаующяе условия схолиьюсти эпесь рассматриваться не будут; онн могут быть найдены и работах (37 — 41], ша г и м»года р»мали ээ в и е э гю «а лэа»эаээ»эаеа эл »4! где 5 в строго ') нижняя треугольная матрица, Π— диагональная матрица и Ю вЂ стро верхняп треугольная матрица. гол.й.!, жете» п»е»э ') В этом методе итерационные матрицы С и М в равенстве (10.29) не зависят от номера итерации й и выражаются следую. щнм обрезом: С= — О (5+С), М =- О (10.31а] (10.316) В алгебраической форме на основе (!0.29), (1031») н (103!6) итерационная схема может быть записана в ваде к,"= 2„6»к», »]+до (10.32) тле к», й,! в М вЂ” элементы Х, С н О-'В соответственно, а аре.
дел суммирования л означает число элементов в матрице Х. »Ожт.т. М» е» Г»г« вЂ” Э й» в Длв этой итерационной процедуры матрицы С» и М» также постоянны для всех итераций н записываются следующим образом: С= — (1.+О) С, (!0,33а] М (ь+ О) (10.336) В алгсбраяческой форме иа основе (10.29), (10.33») и (10.336) итерационная схема может быть представлена я виде -! к'=(,'6 х»+ 6,' П к»-»+6.
(1034] и! (, »(! Здесь обозначения »г же, что н в равд. 103.2.1. »ез»А м аж во л»сват!лью» э* й эе аксэев (60ц) Метод 509 может рассматриветьсн как обобщение процедуры Гаусса — Зейделя с усаортаем сходныостн, Итерационные матрвцы здесь также постоянны для всех итераций н имеют соот. 3 о сто» часа паз эа * методом рас ой юерац»а.— Пэ» егю. Рял методов нсполюует представление матрицы А в виде суммы А=!.+ 0+0, 00.30) вегственио вид С (О+еЬ) '((! — е)Π— вЩ, М е(О+еЕ) (10.35а) (10.356) где в в параметр релаксации (фактор верхней речаксации). В алгебраической форме н» основе (10.29), (10.33а) и (10,356) итерационная схема может быть записана в риде (! ! к»=(1 — е)х! '+в~ ~6, х»+ ~ й,х»-'.1-6,], (1036) ! ! ! »ю где используются введенные 'ранее обозначения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
