Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Для симметричной положительно определенной матрицы А метод сходится (37) со скоростью, зависящей от параметра релаксадин в. Если матрица А имеет некоторое характерное свойство (определим его «ек «свойство А»), то можно вокааать (39, 4Ц, что оптнмалы»ор значение в, максимнзнрующее скорость сходнмостн, может быть определено непосредственно ао элементам А. Хотя матрицы со «свойством А» появляются в конечноэлементных формулировках нечасто, метод ЗОВ обычно дает очейь хорошие резулежаты, Иногда близкие к оптимальным значения е могут быть выбрани на основе предыдущего опыта решения аналогичных задач.
Например, «выбор 1,85 ( < е ( 1,92 обеспечивает хорошую сходимость длн хорошо поставленных двумерных залач упругости в напряжениях» (42). В тех случаях когда иет такай рекомендации для выбора е, можно использовать некоторые способы определения лд близкого к оптимальному (43, 44). Хотя итерационный метод ЗОВ давольно прост для программирования, он сходится намного бистрее.
чем метод Гаусса— Зейлел» Прн'выборе из итерационных методов в качктпе пер. вота можно рекомендовать 509-метод, за нситючением регулярной области, как.это виже поясняется: Существует точка зрения, что ЗОВ-метод в случае очень нерегулярных областей является простейшим н лучшим методом для программирования, требующим сохранения только одного вектора. Однако для вполне регулярных областей необходимо обеспечить улучшение сходнмостн метода, иначе время зычно. лений становится чрезмерным» (22).
Если задача настолько велика, чта вычислительные затраты даже для 509.метода неприемлемы, то следует обратиться к одному нз методов, описанных ниже. Для некоторых задач блоч. ные нтерадионные варианты 502-метода сходятся быстрее, чем точечный 50)(-метод. Полуитерацноинме схемм также иногда улучшают 50й.процедуру. г «а го га.э.тл. Газа е аыз негев Особенность итерационных методов этого класса ванлючаетск в том, что на решении Х уравнепня (10.Ц достигаетса мннвмаль- ное значение квздратнчного функционала Р ХтАХ 28тХ (10.37) Выражение (10.37) можно использовать для определения семейства полобных эллипсондов, общнй центр котормх соответствует условню мнннмума. Прнблнженнас решение Х' соотвшстэует некоторой точке на поверхностн некоторого честного элляпсонда.
Итерацнонныб градиентный метод состонт пэ последовательных щагов от большего эллнпсоидз к мекыдему; прв этом гочка, соответствующая прнблнженному решению, стремнтся по неправленню и общему центру. Граднентные методм раэлнчаютсн выбором направлення на каждом гпаге. В градвентном методе наискорейшего слрско нтераннонный шаг выполняется вдоль внутренней нормалн к зллнпсоиду, н можно показать [43, 45], что это првводвт к нтерацням, опре.
делаемым скемой (!0.29), где 0„=1 — т„гА. М„= т* (Вь-~)т Вь-яй»-г)г Айь-~ й» '= — АХ» (10.38а) (10.386) (!0,39) (10.40) !Е.ЗЛ.З. жеюд Рзчаадогаа Этот метод оснойан ва нтерзцнонной схеме, определяемой урав. нениямн (10.29), (10.38а) п (10 386), но нспольаует втеранноннмй параметр т»-г, выбранный другнм способом. Имеется не.
сколько варнантов метода определенна т« ь но в каждом нэ ннх требуется, чтобм.отклоневие приближенного решения Х" от Сходнмость метода относнтельно медленная, вследствие чего сн не рекомендуется лля практического нспользовання.
В методе солрлжеакых градиентов каждый итерапнонный шаг состоит нэ двух поджегов, прнчем первмй делается вдаль внутренней нормали, а второй — параллельно предыдущему нтерацнонному шагу, что улучшает скорость сходнмастн. Хотя уже основной вариант этого. метода полезен [45, 47] нз-эа малых требовзннй к памятн, существует усавершенствовввный вариант [22], который является еща более обещающнм.
Сопряженный метод Ньютона [48], алгебрзнчегкк эквнвзлевтнмй методу сопряженных грздиентоа, .нспользует кроме втерацнй значнтель. вое числа нсключеннй Гаусса н кажетсв перспектнвным. Метод г юз гза« и а гека«« чрогзз ~ р «а и 243 точного А-'В была мало в некотором смысле. При прочнк равных условиях предпочтиельнее нспользовать БОЙ метод, так как он сходится быстрее н требует меньше памяти, чем метод Рнчардсона [43]. га.эд.а.
Паз!мчав«чечена«т д Рассмотрвм общую нтерацкю (10.29) в вндс Х»" =ОХ +МВ. (10.41) Для некоторого заланного номера итераши Аг новое прнблнженне рсшеная Х = А-'В, обозна'гаемое У", мажет быть пестрое. но следующнм образом: ь У"= Е Вм,х', здесь козффшгкенты Рж» должны улавлетворять требованик» г', ри.ь (10.43) н миннмнзнровать в некотором смысле матрнцу ошнбок Е" =У« — Х (10.44) Прн условны, что последовательность Х', Х', ..., Х' сходнтсз, яз уравненнй (Г042) (1043) следует У» Х. Х прн Аг Уравнення (10.41) —,(10.44) определяют поаупгерацианный процесс. Прн подходящем выборе нтерацноннаго метода (10.41) нз остальнмх уравнений можно получнть рекуррентнае соотношенне, включающее У", У»-', У"-з, во не содержащее прнблнжевкя Х" основного методе.
Это новос сшжнашение затем используетса дла получения последовательнык зваченяй У, начнная с заданного значбнпя У» Есле матрнца А имеет некотор е свойс за е может быть расчленена спецнзльным образом, то мшкно прнменнть тот нлн нной вврнант ~олуатерацнонного цивлнческого чебышевскога метода ]37, 43, 49, 50]. Сравнивая нх с лругнмк точечнымн 508-методамн, Бяркгоф н Фикс [2] полагают, что «для общего нспользовання могут быть рекомендованы полунтерацканнме многослойные цнклнческве чебышевскнэ методы» Другам полунтерацвонным методом, который кажется весьма обещагошнм, является полунтерацнонный метол верхней релаксацаи (55ОК), введенный Шелдоном [51, 52).
Г в 1д 1в.в.в.т. Нвиеиеиве абусве а Выше было показано, что скорость сходнмостн бсновных нтерацнаяных методов с сямметрнчнымн и положнтельно опрелелекнммн мвтрнцамн ззвнснт обратным образом от Р— числа обусловленности матрнцы коэффниневтов А [53]. Одни нэ путей уменьшения этого числа настолько, насколько это возможна состонт в преабрвзованнн равенства (10.1) путем умножении на подходящую песннгулярную матрнцу 4) [22, 53], определяемую равенством 4)=(! — а!.) ', ((ОА5) Е получается из следующего раыюженнн ма- где ывтрицз трнцы А; А 1 ! !г (10.48) Нетрудно напевать, что матрнчное уравненае (10.1] преобразуется в эквнвалентную спетому ВХ = Р.
(!0.47) 4(ясла сбусловленнсстн Р матрииы В можно мнннмкэнровать подходяшнм выбором параметра м, макснмнэнруя таким образом скорость сходнмостн вы5ранного нтерацнонного про. цесса решения уравнения (10.47). Допатннтсльные вычисленнп цля намевення обусловленаостн процесса по мере увелнченнн рвзмерностн задачн все более перевешнваютс» ускореннем скаростн сходамостн прв решенин ураввекня (!0.47) [22] Б работе [22] утверждается, что прн непользования рассмотренного здесь преобразовання метод сопряженных градиентов стано. внжя свссьмв правлекательным» 1ЕДЗ. ГРУППОВЫЕ Н БЛОЧНЫЕ НТЕРЛЦНОННЫЕ ИЕТОНЫ В точечных нтерацнонаых методах на каждой нтервцнп новое првблнженное решенне определяется отдельно дл» каждой не. навестной вслнчнны хг Более того, на й-й атерацнн значение кажлой велнчнны хь получается по явной формуле, вклюгаюшей ранее вычнсленные прнблнженные эначена» хь В групповых нтерацнонных методах новые приблнженные значенн» для группы ненввестных Х„ мэтрнцы Х получаются одновременно.
Этн метолы отпав»тая к неявным, так нак наеме прнблнжеяцые эначення группы переменнмх определяютс» яа й-й нтерзенн совместным решеннем снстемы уравненрй, включающей Хьс н ранее вычналепные нв эрелыдушнх нтерапнях эначення Хс. Если группы аолучены в результате простого расчленення векторе Х то онн нюмваются б юками. Групповой нтерацнон- Мсгодм Веи гии уиимгеюд юс исв иоврик иисвеивв З45 ный метал, основаннмй на таком расчлененнн, называется блочным итериииоииым методом. Любая желаема» группнровка элементов Х может бмть получена иереупорядоченнем уравненнй в снстеме (10.1) н затем попхолншнм расчлененнем Можно также выполнить переупорядоченне путем перенумерацни узлов конечноэлементной сетки, в затем получнть желаемую группировку расчленением.
Поскольку грунповые нтерацновные мета. ды могут быть преобразованы такнм способоч в блочные мстолы, то в дальнейшем булут рассматрвватъси лншь последяне. Длп любога точечпого нтерацноннога метода можно построить анахогнчный блочный нтерапконнмй метод, ва-первых, разбив»нем Х не блокн, ва-вторых, раэбненнем А н В сшзтветствуюшнм образом н, а.третьнх, постраеннем нтерацноннаго алгоритма юго же внда, что а точечная нгерацня, но с заменой элементов матрнцы блокамн Отметим, что алгебранюскае вычнсленне обратной велкчнкы в точечном методе заменяется операкней обрашення матрицы в блочном методе Такнм абрахом, блочная Гаусса — Зсйделя итерация может быть звпнсана в анде Хе=А[4 [81 — ). АиХЬ вЂ” д„' АОХЬ1 4], (10А8) 1:г,,ю где квтрнпа Х разбнта на ДГ блоков Х„в матрицы А н  — со. ответственно на блоки Аи и Вь Еслн матрица наэффнииентов А ленточная, то некоторые нв Аи в (10.48) могут состоять галька нз нулевых элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
