Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 40
Текст из файла (страница 40)
нне методе конечных элементов к задачам раввовссвя. С целью яллюстрвцны процедур в различных сытуэц»ях рады простоты было выбрано урааненне Лапласа. В этой главе,рассматрнваются нрылажеыыя метода конечных алементов к другнм задачам. 11.). МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА — ПЛОСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ И ПЛОСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ' В этом разделе рассматрвваетс» тольыо прастедшая задача упругосты — плоское напряженно-деформыровааное состояние. Для более полного ознакомления с првмененнем методе конечных элементов в мбхаынке твердого тела чнтателю следует обратнться к снецнзлнзнроваяным работам [1 — 9). В задачах о плоскнх дефармацнях предполагаются рввнымн ыулю деформвцнн, вормальныс к плоскостн нагружен»я..Такнм образом, перемещеывп ы ыапряже»ня в дляывом прямом брусе нагрувгенном равномерно в ыродользам направлениы) могут ыть определены в нредположеняя, что поперечное сечснпе остаетс» плоским н ые доворачнвастся.
В задачах а пласкаыапряженноч состоянии тонкой пластнны предполагаются равнымн нулю напряженна, нормальные к Олсскостн пластнны. Канечназлементные формулнровк» одинаковы для обонх случаев, но мвтрнцы упругнх постоянных различны В дальнейшем ради простоты будут нспольтаваться лпвенные треугольные пщемевты. Однако, «вк показано в прелыдущ»х главах, анз мажет быть мол»фин»рован для аппрокспмапнд высокого пааядыа Рассмотрнм двумерную область О с границей Е (рпс. 1[.1,а), являющуюс» плоской броекцкел упругого тела тол!Инны 1. На часты Аг наружной граничной Роверхнастн прнлагаегся распре. деленная нагрузка, которая в любой тачке может быть выражена в ваде снлы Т, прнложеннан к еднынчыод плогдадн.
Нагружен»с равномерно вдоль толшнны 1, я честь Ег гран!шпал кривой соответствует часты Аг наружной поверхна(тн. Обозна. ча» через Т, и Тг соответственно х- н у компппеяты кагрыыы Т в точке, матрнцу возерхпасги»в папряженнД Т а тачые мох!па гза гт записа~ь следующим образом Т=( *.1, Пусть Р— массовые силы иа едиянцу объема и Π— вектор рш ремешеннй в точке аналогично заданы через пх х- и у-компоиеиты соответственно в виде (11.2) Для двумерных задач механвки твердого тела иа основе прнадипа линилумп потенциальной анергии можно получить следую.
шяй фуикпиоиал; Х = ~ —, вгп ДУ - ~ Югр АУ вЂ” ~ Оту ДАг, (113) и т лг где векторы деформаций в я иапряжеиий а определяются ма. трицамн е в„, и а„, (114) т*з т ы а па объем У и внешиюю поверхность А, действуют соответ- ственио силы Р а Т (рпс. 11.!), и ар ярилэзтелза лзтода юнее ьм юелеитоз ввт тельное напряжение. Первый иижпий иидекс при т обозиачаст ось, лорлгллэную к плоскости касательамх иапряжеинй, а второй указывает ось, параллельную касательиой силе.
На'пскове прнпцапа минимума потсвцазльиой энергии можно показать, что поле перемещений, удовлетворяющее уравиециям равновесна (и совместности) для двумерной задачи упругости, также минимизирует фуикинонал, заданный уравиеивем (11.3) . Для разбиения, показанного яа рис, 11.1, а, выражение (11.3) может быть записано в виде Х=~' Г, ~ — 'егпбР,— ,'Гт $ И РАР— ~С, $ !)гТАУгп (116) о, о, зг, где Р.— элементная подобласть. 1,— ее толщина, а 1 — общее число элементов Ъ системе. Последний справа член не равен нулю лишь для зиемеитов, расположенных вдоль границы Зо Мзтрацы в, и н О для каждого элемента чогут быть выражены.
через элементный вектор узловых перемещений 62 как показано ниже, это позволяет определвть Х в виде функция вектора узловых перемещений системы 6. Кроме тоот, смещения П внутри элемента вырвгкаютс» через узловые смещснвя с использованием базисных функций: О =6('6' г х, р з а Р с.
11Л. Двумер эе Гпртом тело, раээяюе на «о чн т ю и нт . В выражениях (Н 4) величины е„в„и о,, а„представляют собой нормальные деформации и иапряжения а направлениях х и у соответственно, у „ вЂ” леформация ') сдвига, а т., — каса. '1 тч — Мтяэгиээ З«фОРИЗПИ СЗЗЗГЗ, СЗЧЗЯИНЗ С З фОРИЗКНЕа СЗЗЗ з ., и юэ з 4>оризязв саэша еии т„= Х .„. )'и~1 и % дтз йгз)~й,~, (' б, 1 и (йт, йгз йтз)~ бз~, (Н.У) й где й, гтт, бз — х.компоиеиты, а бь бз, бз — у-кочпопеиты узло. вых перемещений бь бт, бз саответствеиио (рис.
1!.1,6). в з,ьм Здесь рр — матрица базисных фуикций элемента, а 6' — вектор узлавмх перемещений злечеита, определяемый вмражеипем (бг, бз, бз) =(Уь б., йт. бз, из, бз)г. С целью упрощенна записи и оставщсйс» части этого раздела иидекс е будет опускаться, если контекст исключает возможность недоразумений. В случае линейных треугольных злемеитов, выбранных для рассматриваемой задачи, выражении перемещений и и о через баансные фуикцви имеют инл Глаза !! у, ' (11.8) иа ' з нлв, проще, (П,16) я=фа, е те„ Е Е (1! .13а) (Н 235] П !.13и) (11.19] ое е„— Т: — + -й., зб -1-ч) У„г — Т вЂ” тею Испольэуи (11.2) н (!1.7), можно записать выражение (11.3) следующим образом: ~з1=~ О' йГ, О' йГ, О' Л,~ В двумерном случае деформапни свнэаиы с перемещениями стандартными соотношениями эа де еи Ее Используя (11.9), матрицу дм!гармаций е можно записать в виде -~'1-(' "1(]-~' "1 Т е д/ду д/дх д/ду д/д» Подстановка (11.6) в (11.19) дает ! д/дл О е ~ О, д/ду Мй Вй д/ду д/дх .( где матрица В определена самим равенством.
Можно пооето похавать, что для рассматриваемого трщузлового линейного элемента матрице В имеет внд Б д, — д, О д, — д, О д, — д, О ! В= — О кз — кз О х,— кз О к,— х, . (11.12) хз .тз Уз Уз л~ «3 Уз. У! «э х1 У! Уз Теперь выражая ж через е е гюдстзвляя е нэ (11.11), можно определить матрицу напряжен!!3 л п териннах 6. Дли цлоскнх напряжений (раэно нутю яапряжеене но «ормальное к рассма.
трнааемому плоскому телу) на учебнинов по теории уяругостн известны соотноц!ения узнаа лю арион ая лгтеза коееоиа ювлектее С использованием (11.13) а мажет быть записано как е а„— — ч 1 О а„, (11.14] где  — модуль упругости Юнга н т — коэффициент Пуассона Решая (11.14) относительно е,, о„н т,г. получаем о я„-1- — „е т 1 О а„, (!! 15) *г — у*е где О определяеега выражением (11.15).
Поотношеаае (!1.16) также применяма к задачам о плоской деформа!тип, но в этом слуеее матрица О имеет вид 1 т/(1 — ч) О О О (1 — 2ч)/2 (1 —. «)! Заметам попутно, что матрица О в уавенствах (!!.15) и (!1.17) симметрична. Наконею подставляя (11.6), (11.11) н (11.!6) в (Н.5), получас!! следующее вмражение для функционала у: г ! х-~х'-~ 1, ~ фб'В ОВйдо,— о, ! ! ~йтмгрдО ') ! ~ йгжгудд (Н!3) ,-!- е, зг, где матрица О задана либо равенством (11 !5), либо Раасн ством (11.17) в зависимости от того, рассматривается лн задаче о плоских напрнженнях нлн а плоских деформациях. Теперь из уравнения (11;18) получаем элементное ыатрнчное урааненне дифференцированием ') элементного внлада х' по б, + ~ 1,ВгОВЗУО, — ~ !/Игр дО, — ~ 1,йгудЯ,.
о, л, зг '1 игаеаьзг» вярамеаае (ндаа! чра о еае н Г.ьма П форме чаем (П.20) (П.28) Уравнение (11.!9) можно записать в стандартной -ж"=й Ь вЂ” Рг — Рг, дх где й'=!. ] ВгОВбО„ в, Рг = 1, 1 ы гР бР, в, Р;=1, ~(Ц Тббщ, зг (П.21а) (1 1.2 1 6) (11.21в) Пзбращаг Гьмквш лз да «ню иг . нг эз (Рр)з=! $У~рзбО рз! ~ %6Р -й'-рэ (!126] в, где р' — постоянное или среднее значение рз лля элемента е. Обобщан, можно показать, что пары элементов в матрице Рг, соответствующие локальным номерам узлов ! = 1, 2, 3, ма- гут быть записаны а анде (Рг) -+а [,.~.
(П.22) Тзк как размерность матрицы Ь' равна 6 Х 1 (см. (11.6) н (11.8)), то матрица й' имеет размерность 6Х 6 Равенство (!1.22) задает элементы и' в ниле функций от Е, т н узловых координат элемента. Таким образом, для случая плоских напряжений имеем й(> зв, (! — ф (рз "з) ' З(! 1-т) (лз хт]) (1!.23) Для другнк элемеатов й' пОлучаютея аналагнчвые выражения. Подстановка Ыг нз 7118] и Р нз (П 2) в (П.2(б) позволяет записать вектор столбец Рэ в внле У,р„ %из )узр Узрэ Узр„ )(ытэ '- 5 в (П.24) Нели р, и р„внутри элемента полагаются постояиаыми (например, раз ыми их средним значениям), то интегрирование в (!1.24) выполняема легко.
Так, лля второго элемента Рэ почУ' а нижни! индекс е у Ь в (1!.20) (а текгке в (111), (П.18) н (П.19)] сгущен. Матрнпы в выражениях (1!.2!) ие зависят'от переменных интегрирования и могут быть вынегены за знак ннтсгралз Остающийся «итеграл равен Л,— площздн треугольника, так -что элементная матрица жесткости й' принимает внд 1г'= ВгРВ 0,1,. Ц (.]] = ~.,~";~-П=~'.,<„'~'.
] зг где йг! — длина стороны элемента вдоль Уг. При выводе (П.27) приложенные нагрузки Т„н Т„предполагзлась постоинными вдоль границы элемеата (например, равиымн нх средним значсниам). Так как длн этого элемента пробная функция лниейна, тб базнснан функция Ут может быть записана (рнс. !1.2) в виде линейного выражения йгг =(1 — (з)Ь)1Н (1! .28) относительна з. После подстановка (11.28) в (11.27) и интегри- рованна получается следующее выражение дли (Рг) ! (Рг) з ~,~ (П.29) Дл» узла ! рассматриваемого элемента (рис. П.2) соотношение ЬГг = з/М, заменяет (!1.28), но легко можно проверить, что посзепующее интегрирование лает выражение, идентичное (П.29).
Следовательно, равенство (П.29) применимо к любому узлу элемейта, легкащем! на гранигге Зг. Дла узла, не лежа. щего пз граняцс, правая часть (П.29], конечяо, должна' быть Матрица граничных нагрузок, задэваемаи равенством (11.21в), может быть вычеслена в форме, вдентичной (1!.26), но с замен й яелнчин и .
и„ нэ Т, 7„ н г ннтегрнройзннем по бг, вместо О, Из этого*соотношении при условии, что ! — граничный узел, как показано «а рис. 11.2, соответствующая пара элементов в матрице Рг определяется выражением Г азы 7„' Рг=).м уа (!1.30) а„ а, е„ е, (Н,31) у*т уг у та тэ т, Рас, Нл, Гр в чвщ ы н са заменена нулем. Так, если узлы 2, 3 лежат на границе Ьт, з узел 1 — нет, то Рг булет иметь вид Следовательно, в случавх плоских деформаций иян плосних на.
пркжелнй выбор трехузловых.треугольных элементов с лннеймми пробиыып фчвчи мк ооэзол ет относительна легка апре- делить элементное матричное уравнение в виде (Н.20). Затем обмчным образом осущаствлкютсз объединение этих элементных матричных уравнений в матРичное уравнение системы н уЧет заданных переыещений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
