Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ПоэтомУ' УРавненйа (!2.6) н (127) могут быть записаны соответственно как ~йтзйдО О. р 1,2,., л, о й=~ (У,д,. (12.9) Кажлаи базисная функция в области «властев суммой элемент. вых базнсньж функций; зто можно показать следующим образом. Для любого элемента е пробная функция выражается ла этом эле епте в терминах бгчзнсных функций Л)3 следу»ощим образом: й'= д, й»лйл в е, э-~ где т определяетси как ш ад.
(!2.1!) В уравнении (!2 11) з обозначает общее число узлов элемента, а р — число степеней свободы в узле. Нижний индекс >злового параметра 3» в уравнении (!2 10) указывает иа локальную нумерацию узла, а не на номер узла во всей системе (см. равд. 9.2). Пробная функция в уравнении (12 10) может быть записана в более общей форме как й*= х„М;из в е, (12.12 а) гда, очевидно, й»р= 0 при л, не совпадаюпгеы с номером узло.
ваго параметра, принадлежащего элементу е. В >равнении (!2,12а) гп нол»еров узловых параметров и, валяются номерами узлов ва всей систеые, соответствующими номерам из уравне. нзя (!2.!О). В матричной форме уравнение (12.12а) принимает впд й'= Н'и в е, (!2,126) гле п — узловой вектор системы, а Н' — расширенная матрица базисной фуакции для элемента е Набор пробных фунипнй, возникаюн»их при применении уравнения (12.126) к элементам системы, позволяет записатв кнтерполир>чоп»ую функцша в области кая » й= х, й*= д,' Х'п в О. (12.!3) 274 Г зра Гу ЛШ р Фррлуриуррээ лргсдз ммчнюз рм ррррр (! 2.176) -1 П, Из (12.18) видно, что вклад элемента Х' можно выразить фарыулой Х) ) йг,'( (б'! х,) бо,. (12.!9а) а, Для линейных эадач подстановка в уравнение (12.19а) выбрав. ной ватерполнру ошей безпсной функции йля б' й подледующее пптегрпровазие позволях\т получить Хр в виде Х,'=й;п'+ РрС (12.! 961 Уравнение (12.9) описывается в матричной форме выражением й р)п, (! 2.! 4) где Р( определяется из уравнения (12.9).
Сравнение уравнений (12.ГЗ) и (12.14) приводит н выводу, что й) Х у)' (12.1ба) н что элемент йрр матрицы К определиетс» по формуле г У,= д Дг;, (12.!66) что н требовалось доказать. Система уравнений (12.8) мажет быть рредстзвлена в матричной фармер Ы)( до 9. (Рйдб) Подставляя уравнения (12.4] и (12.15а) в (12.16), получаем Г ' ~~ РР~(п(61 »969 О. (12.17а) 1 Сумм»разек»а в уравнения (12.17а) можно вынести из под вавка интеграла, что дает ~' ( ~ рр(,(б'1 х,) бо,~ = О.
1 Г.а, Выражение (12.176) опредеяяет систему уравнений Рассма. грим р.е урабйепие системы, которое имеет внд 1 гцр)а (Д ! »1) 6П О. (12.18) где узловой элементный вектор а' состоит нз узловых значений элемента е в соответствии с узловымн номерами (указаны ниж. изми индексами), в й', — матрица-строка. Объединение элементных вкладов, задаваемых уравнением (12.196), в уравнении 912.18) дает р-е ураввевве системы в виде т Хр — Крц+Рр О где матрица.строк» Кр форм»русте» расшмрением матриц.строк йр да размеров сисгамы и сложением расширенных матриц йр, а Рр получаетс» как сумма членов РрС Матричное уравнение системы, р й строкой каторога являетс» уравнение (12.9)), можно записать кап Кп+ Р О. (12.21) Элементы матриц К н Р в уравнении (12.21) можно представить саатветствеяно выражениями Кур= Д йм Р = х Рр (!2.22а, 6) где р и у — номера узлов и йрг — элемент матрицы-строки й'. Процесс объединения, использованный выше, соответствует объ единению по узлам.
Матричное уравнение дл» элемента е, р-й строкой которого являетси уравнение (12.196), записывается в зиле Х' й'в' + Р'. (12. 23) Объединение этих элементных уравнений согласно (!2.176) соответствует объединению по элемштам и вновь дает с»стему уравнений (12.2!). Лагко показать, что ураваеиия (!2.22а, 6) остаются з силе ллз этого последнега случая.
Неявно предполагалось, что пробная функции б точно улов. летваряет граничным условиям, поэтому невяэкн нз границе равны пулю. Это легко достягается для граничных условий Дирихле путем коррекции матрицы системы К. Следующий пример иллюстрирует эту процедуру для других условий: пзлюсш т»эзме пуп»ар 12.1. урс летун дзуюеузую асррст (рис. 12.1) с рхолзщ юср а»угри пстмаихаю те»за, грузющгю тсвло з результате «рз. вски»я у з часть траян»м )(зя лпорэдаса а »ретро»чае сузам спрчлмяющи язвите» тузазепие Пуэсораа (дРТГд»гг 4- (дгг(ду 1.!.
О а з О, (ПД24) где т(ю у)- гюпсрзгура з точас и О(х, у)- еиутрезппа (. ехзз з а) »отеч. »пз еплр Пурхпшоюхю чтр зр частя тарарам 5 зада р трю уатту Т=у(, у) зр хь (12дй ) 16* 273 Г оел !2 Дррена ф рмр р вкп легобв кв ю ьш вл змнгов 277 в через сагаев!умея чзсгь 5, е с юнвеклан пронсшлзг отвод гепл, г [бт[б«) + Л (т - т,> а нл Зь (122М> ле — направлен еш й нор эл 5ь Т,— темпера чро окружвюш й среды, й — оэфф а н вередачязавла кс а ел, е 5 =™5, -1-5 — раша, лгняэюшю бл . О (см ряс. 12 1) Пупь об.а разделю на ! юн к юемэнюа аша жоао с г п гак, чго уело арамюремн являкпю го ас температур С нсподьзов ° ш Р » 12.1 Зада в галл средам в двумерной об н с нсгач нко ге«ла.
м Юеуз ) пнем базнсной фуню1нв шкн апнсвгь пробную фу пню Т ва э енсе з в нде Т' м'у'. (!223) Пер м мвая уран ю [П2Е) в г рм н пробной фунюшн Ш н поде ля резул яю во д влеменге [ура н н е (!2.!9вЦ, по унш л'т' бет' х;- ~ м,'[ б у.+б~-+О)лО; (12,27) Подсгавовю уравненян ПЗ.Ш) е (12.27) лшг Х = ~ У [-~д" +-уу-]тгДО .!. ~ Д ОбО (\2>3) о, о Зам, >р е я, л уравкенпе (12 Иб> дог покойный д полтюегс п из врнапяоггяой формулировка, е жако сзуэ р, лл .эл . юг рл .
Ре л ляююем ура , гапш как лл варнапнокк й ф рмулнровк врон вод. ны злсменгво вяе нм юг бш зьвй порядо ( и. разя. 2 1> Тшвм обр зом, в случа ы да Галеркн олуюегсв, чго двз смыве с уюшей вар вцнсавой ф р улг розке гребуе с робнан фу яя болю в!« «а о но ряд з Дэзес, однако, и* ю но, чго э р бсвавпе н вшо обойггг Гр н ус овне Днрпклс (122бэ) мсж г нак алывагься обычны сноыбо» но о сом не огев дпо, юк вв г ТЬоа е Комн [уравнение (122бб)] Ннж ж будут рюсмозренм ср яю а, с вомоны рыз эгог мо ю лш к ! Фпрмулу Грена лля леул перс енны я о в облепи О, оюю заснешь сделуюшкм обрюом Член бт'>дв а в ге рале со ло еркнссгн иэ урал снн (12 31) макет б пспазьзо ан л в учегв овен ныл условий Коши [урэввснне П2,2ббЦ Ис.
по ьзуя выражение [!223), ускове Кошн [122бб) можяо !юдс авэгь в вн. ге рал пс псверавосгк нз уравнены (12.3!), чго позвслкег в» у нгь эле. менгный вкл д в в ае [дм дм' 35 дн 1 > ~ д д дй ду л, о, ~ М' [йм'У' — йт, >бйьв (12.32) Д любою элеммыэ ею клад задэегся формулой [12.32), во п гетра. п пюерзносгв сушесгвуег гошке длв зл ч го д ь ра ю!м 5: Зкдзд лша эле нга, вмчг..еняый иа. (1232), буд г ыражагься в фары П2,19б). Объедгшепне з з в .",вдов в млгрнчнае уравемы мажнв п овссюг бмю ы спс обом Пш ! о у .
внй Д р зле уран ню г мм м жао решнгь с юмаш ю.юбьй га дарююй проц дуры н анно опрслелаг узловые паремегрм Обзор о меголу Гаер. на, включая формулнро у голе кш шыз юе, мююю найгк в рабле [2]. управ е н 123. Р шите мег дом Г л р нн я умер ую зала у тепловровпд осгн (р с. 2 !), р зб я бд ь гр >го, ной «ой, в «взааной яа ряс. 2.Е, н восо.м у гр уэ. вме рсу ол ме л мсяс впл Шшмн проб- ) Прн >сювнг ю Л' а Т уд ле ворвюг гр бова! ям ладкосгн пе бзолнм м лю нсв . ьзо енв формул Грп а [ура пенке (7.37)].
ук тобО -(- ~ кргобО ~ п — ей д д« 0259) и, о, не 5 — гр нонкой. с О Зам э за М не на Т'в ура венка [1222П) пошолшг реебр эо в ъ ер й е рал пс обгвшн в (12.23) в лазе рад о об с (с ронэводны мс ше о ор дка) п нвшграл по по ерэаса н.
Зв нш м :-5":% — "'1"' 5" "- о, и, =[3;Ч 135, $( + ° )ЛО,+$УОЗОГ (12.30) прнвовнг к Г 35' ЗН' 35' дй' ] о, о, + ~ Иэ'] й ~ЛЗ„. [ПЗ!> юв Га Ш Лдвыы болат Шюекк дытода кок клык ююыягое т7й нммк бтнкккяне, Вычнслдт кюаны злемкнтск ео тразаеаню (Ш,ЗЗ) я ебь«днне нх ко ткд ы е магрк ее травкенне ск ы~ П еюрнте решенне. нсшыютк бьы н к кс . м нтам Скерреюдртй е матея мм тракеекн снсммы 7 еюы гв н т о нй Лнрндде к срккате р 7 ьтзт с трквненк ы (Х За!, е т м кар кекеннмм кокеююзк ыен м решенкеы. мошко еоказат [3), гм лкн йнмх сзыосеер шенных з ла, рае ааааа мыт зд сыв ккркашю й . е од анетных э.е ентоэ н м од Гамрюша н случае одннаааыд ем д н одииккаме атретнме трк яенк» сншемы.
!2.3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Основой метола нанменьшнх квадратов, как установлено выше, «вдается крнтернй (Рйт АО = а(п, (12.33) где й" (х,) — (положнтельная) весовая функция. Обычно (Р вмбнрают равной еднннце, н тогда крнтернй мвластн своднтся к выду ЮзбО=а!и, (12.34) Для нллюстрацнн формулнровкн рассмотрнм уравненне в двумерной абластн Ая=( в О, (12.35) подчененпое граннчному условию Вл й -па 3.
(12.36) В уравненнях (!2.35) н (!2.36) А н В являются лннейнынн днфференцнальнымв операторамн, ( н й опредставляют собой функцнв от л н р, а 3 — обозначает граннцу О, Невязка й, на элементе дл» элементной пробной фуннцнн й' в терминах уран. пенн» (12.35) определяетсн вырзженнем й,= Ай' — ) в е. (12.37) Представляя уравненне (12.34) как сумму ннтегралов по элементам н подставляя (12.37), получаем ~йкбО=~~~ й АО~=~[~(Ай. )РбО1, (!233) Пробную функцню й' на злементе можно эапнсать в термн. нах матрацы базнсной функцнп йак й' = В'м', (12.39) где и' — узловой вектор.
Уравнение (12.32) в другой форме нмеет вн д й' й)'я, (12.40) где й)' — расширенная элементная матрица базисной функцнп, а п — узловой вектор снстемы. Подстановка уравненнв (12.40) в (12.33) дает выраженне г АлбО-~ ( ~ (АН'п — ))зО1. (Шли) г йо Поскольку правая часть (12.41) представлнет собой функцню ат узловых параметров системы, мнннмнзвцня, требуемая по (!2.34), может быть достнгнута днффершшнровайнем этого выраження последовательна по каждому узловому параметре н прнравннваннем нулю каждого результата Полученное тайны образом множество уравнений образует уравнение снстемм. Этот же резулыат может быть получен непосредственно в матрнчпой форме днфференцврованнем правой части уравнення (12 4!) по узловому вектору н н прнравннваннем полученного выражения нулю: — '. Е 5~"~" =~""-' (! 2.42) .~о, Внося' днфференвнрованне под знак ннтеграла в уравненнв (1242), нмеем г А' 5 — а'„(АН п-(УАО,-6, (уйдз) \ л Возводя в квадрат выражение в скобках, прнходнм к вырвже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
