Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 30
Текст из файла (страница 30)
3. л юн своа аа г*аюча з,з С Эвах» э э с м йс а эзекентэа с-а т-1 (ю а Ь целью (9.60) (9.616) (9.6!в) (9 81г) дзшй + (Уют+ (Узиз + !У,йг (9.62) 4(ллюстративный пример 9.1. Показанные на рис. 9.7 базис. иые функции для билинейного элемента с яумерацией 'узлов 1, 2, 3 а 4 получаются яо отношению к локальной системе коор. донат бйц азедующнм образом. Базисная функция длн узла 1, Рае. В.7.
уапнзамэ баланеаана ыенант с. определяемая равенством (9.67), после опускания (с упрощения записи) верхних индексов принимает анд йгз йзп=б~(!)(ч(Ц). Полстаноака (9,20) в (9.80) прн гп, и = 2 дает й, ( — )(-9 — ~ )=(,,)( 1,)-Т(6-1)(9-1). (9.61а) Точно так же можно определить Уз = — 4 (6+ П (ц И щэ= а (й+!)(ц+!), з(, = — Т (6 — 1) (ц + 1). 1 Тогда пробную функцию й можно записать в виде с базисными функциями, выгнсляемымк аз уравнении (961).
В.З.З.2. Снаенянпэвы Влэкенги В табл. 9.З приведены первые три члена этого семейства. Пледует заметить, что характеристИка этих элементов как линейного, квадратичного н «убнческого относится к изменению пробной функции в напраялеани 6 при постоянной ц нлп в направлении ц при постоянной й Пробными функцнямн для этих злемен. тов являются неполные полннамы второю, третьего н четвертогп порядков по Ь и Ч соответственна.
базисные функции для первых трех сиренднповых элементов первоначально были найдены путем подбора; они пред. ставлены а табл. 9 4 в .токальных координатах $ и ц Для определения этих базисных функций потуг быть также нспользо. вани следующие иепощще полпноииальпые пробные функции линейная а = а, -1- оаь -1- п,ч -)- агйц, (968п) яаадрогичкал й = а~ + от!+ озц + пй'+ пзйц + озчэ+ + айтц + пгйцт, (9.686) кубическая я= а, + пай+ пай+ щ!'+ озйц+ оацз+ «тйз+ -(- айтц -)- па!от -!. аащэ+ а,йзп+п,тйпэ. (9.63в) Заметим, по а уравнениях (968) нз полного полнпома для сохранения геометрической нзотроппи (см. равд. 8.1!) опущены симметричные пары членов. зоз Вмивю с и м свойства Первоначально разработанные свренднповы элементы обладали равным количеством узлав по направлениям х н у. Позднее (36) был развнт алгоритм длк снренднповых элементов с розным нли неравным числом узлов в двух (нли трех) направлениях.
В той же работе показано, «ак построить модифияировиниыв сиреидипоаы элементы, имеющие полные полпномкальны» пробные функции, без дополнвтельнмх узлов в двумерном слутае, но с узлами, лежащамн на середние боковой грани, в трехмерном случае. Моднфнцнрованные элементы'более эффективны с аычвслнтельной точки зрения, чем лагранжевы прямоугольные н полные треугольные элементы. Более того, использование элементов с разным чнслпв узлов вдоль каждой стороны позволяет согласонывать элвмвигы низкого порядка в областях, где ве прелполагастск резкого нзменеккя характерн. стнк, с влеиснтими более высокого лорлдки в другах областях. Пробвак функция снренднпова элемента вдоль границ эле.
мента представляет собой полный полнном, к, следовательно, имеет место непрерывность пробной функцнн прн переходе через границу между злементзмн. Снренднповы элементы образуют полезный кнасс прямоугольных элементов, которые в комбинация с треугольпымн элементзмн могут достаточно эффективно кспользоватьса в областях с крнволнвейвыми граякцамн. Зд.з.з. Эзи о вввивятм Базисные фуннцнк вля црвмоугольнмх эрмнтовых элементов могут быть оцрсделены путем перемножения эрмнтовых полнвомов в наждом коорднватком направлении аналогнчно тому, кзк это сделано и равд. 962.( для лагранжевык прямоугольных элементов.
Рассмотрнм, например, показанный на рве. 9.8 эрмн. тов прямоугольннк, где используются локальные ноордипаты 6=(х — к,)/и п П (у — у,)/Ь, а пвраметрамп в каждом узле явииютсв зваченпя и, дисдх, ди/ду н дти/дхду, В равд. 9.2,2.2 было показано, что длв одномерного эрмнтова элемента с двумя узлами я первымн провзводнымн, вхо. дящимп в число уаловых параметров, аппроксимацию я на элементе можно записать как зст, т "=Х1 ()'+:с ) д.1 (9.64) Подобно лагранжевой, эту ннтерползцню можно распространить на двумерный случай (к н у). Используя систему координат Пйп, для прямоугольного элемента рнс.
9.8 й можно аппро- 907 Эюлддгм е ю свейдые Ггддс й (965) где ь, -Луь у-чт ! 3 ЬаЯй — )Удтд+дй! -',ь'д В (9.69) ксимировать выражением [37] Д = ~ Уггщ л- Узг — '+ Уи — '+ Ми — ', Ьх Ьд 3 Лд Уп = Уи 6) Ми(Ч). Мзг = Уэг($)%г(Ч), (9.66) Ми=Ум($)Уи(Ч), Ми УиВ)Уи(ч). функции Угг в ураянснняк (9.68)') определяются как Мд~ $)=Ми $)=1 — 3]з+ 22з, Мэ~ (Ч)=Ми (Ч)=! — Зцз+ 2г(т, Уи(В) Ун(5)=а(5 — 2ээ+йз) Уи(ч)=Угз(ч)=Ь(Ч вЂ” 2Ч'+Ч), з (9 67) Мм(3)=Узз (Ц= Зйз — 2ы Уйт (ч)=Ум (Ч) =Зцз 2з)з Ми(П=Уи(5)= — а(йт — !), Уи(Ч)=йи(Ч)= — Ь(Ч' — Ч). Пробная функция является неполным полнномом шестога по- рядка по 5 и Ч.
Можно также помазать, что пробная функдия Рзс. 93. Эриэю здзцетгахьиий ыеиезт з рана порядка [уравнение (9.65)] н ее первые производные непрерывны Матрица жесткости для прямоугалыюго эрмнтояа элемента первого порядка в задаче изгиба пластины получена в работе [37) Были построены [38, 39] пробные функции более высокого порядка, основанные на эрмитовых элементах с более чем двумя узлзмп на стороне н использующие производные более высо- ного нарядна чеч второй, но онн слишком сложны и используются редка. Смитом [40) была ираведено сравнение результатов применения нсснолькик зрмнтоэык элементов высоиага порядка н нагибу пластин. ') Базнскне фуэкчзн Фе из удзэнеэий (999) (937) тожд стзееии айка ерк аэзесни фуккцэям Юе зз уравнений (933) з (934). В.ЬЛЛ.
Лаэмеу ш Ю ьюисет с аинекзьтичаеаюю ю емок Базисные функинн элемента типа рнс. 9.7, имеющего узловыми параметрами и, ди/дх и ди/ду, можмо определить па методу равд. 9.22.2 посредством неполнота каедратнчнога полиноме, с (2 членамн. Полный полинам четвертого парадиз содержит Уайюйе 9.3 Баэ с мэ фуекцее дзв язеезкцэтечлекееге чет зекуга ьаэ а Лдлысид руды /Уфдлтдшид и„ и„и,, ',У,д,ь й Ьтйю — (УЬ-«У-дф ' -д*й — ЗЫ д-д-1 й, з' !' )УН)дг — ! д — д- дй) 57мд — У'Ь Ь 3, й (уд)уд - ! ь т у т дй) Зуд'ь — у'д ь - ! + ! 'ь 3 з !5 членов, поэтому трн из них должны бить исключыгы.
Обычно это ЗЧ(э плюс симметричная пара 5', Чй что дает интерполяцию Д а,+аэй+аэц+аДв+айч+ачцз+агйз ( еэ(зц ( + изйцз + апц'+ азгйэч + агз3ЧЬ. (Р 63) Пробная функция выражается через базнсеые функции н нх производные следующим образом: й-~'уид,+уи(3"„) +у„[Л'„') . ! При этом можно показать, что при использовании локальных координатных асей 3, Ч из рис. 9.7 базисные функции имеют энд, представленный н табл. 9.5. й.йд. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Согласно ошзаму нз подходов, четырекугальные алементы абра. зуют нз треугольных. Рнс 9.9 показывает, как можно предста. нить четырехугольный элемент прштыми линейнымн треуголь- никами Четырехугольник делится сначала одной диагональю, Л гв нм а ш шеэгме г э Рис.
ЭЛС. Ч Г Г ь с сшита, ВМ Пв;6-Х Е Ф 1З1. е затем другой Для каждого деленна четырехугольника элементная матраца й получается из линейного представленвя со. ставляющнч треугсльных элементов. Затем две элементные ма. трп~!ы й усредняются лля получеиня окончательной матрнцм четырехугольного элемента. Дггя фармнровання четырехуголь. Рис В.В, Че ге ггшьа Я элемент — гсзеэаезае янков более высокого порядка можно использовать треугольные злементм более высокого порядка.
На рнс. 9.!б,а показан четмрехугольный элемент, построен. ный де Вебеке (41> пз четырех полных кубвческнх полнномяальных треугол ьнпков. У этого элемента 10 степеней свободыг трп— и, ди/дх п диг'ду — в каждой вершине н одна — днгйп — в квж. Лом узле на середние сгороям Четырехугольный элемент, изображенный на рнс. 9.10,б, но. строен Клафом н Фелвппа (42( нз четырех треугольников, «аждмй яз которых образуется яз трек треугольных подобластей. У элемента нмеегся 12 степеней свободы, по трп в каждой вершине. Ркс. 9.11 нллюстрврует другой полкод я четырехугольному элементу, по которому четырекугольпвн формируется нз ква дратв путем преобразоввнкя пз естественных коордвнат в гло.
бальные. В этом случае связь между естествепнымп (Е Ч) н глобальнымн (х, 9] коорлннатамн опрщгсляетсн в ваде а 4(иц(19)кг+(1+2)()зг)кэ+(1+2)(!+Ч>лз+ + (1 — 4> (1+ Ч) хг>, (9.70а) р 4 ((1 4>(! Ч)щ +(1 + й>(1 Ч)р + (1 + йН1 + Ч)р + + (1 - й>П+ п>рг>. (9700>. Пробную функцию в системе 040 можно взаимно однознач.
ным соответствием перенести на четырехугольннн, поскольку пробнав фуннцвя в соответствующих друг другу точнах Е ц в рве 9л 1. тапнчемя ч тыве*ум я эммет. г .э м эз х, у нмеат одинаковые зваченнв. Например, можно перепестн с помощью преобразованнн (9.70) пробную функцню й для отдельного прямоугольника с четырьмя узлами, полученную в равд. 9.5.2.1 (уравнение (9.02) >, на общвй четмрехугсльный эле. мент. В общем случае оппсапная процедура может бить использована для преобразования простого порождеюшего элемента к элементу более обшей формы. Этот подход рассматрпвается з равд.
97. 9.6. ТРЕХЯ)ЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Трехмерные задачи обусловливают большое числа степеней свободы. Напрзмер, в механика твердого тела трн перемегцення н, е и ю н нх производные по направлениям к, у я а прнводят н 49 степеням свободы для простого тетраэдрального элемента. Лаже с умерепныч числом элементов система может иметь несколько тысяч невзвестнык. Поэтому пеуднвнтельно, юо Эщ вюм ° э свойства Г э ка.1,г. лэпмюкввм ты щэзр ,г — ~ зевъвзг трехмерные конструкция, даже гипс оболочек, которые попользуются в яетательнык аппаратах, автомобилях н корабляк, могут солержать десятка тысяч неизвестных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
