Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 27
Текст из файла (страница 27)
в(„ ебв.), рр. 79-!Ы, Ашаапгс Ргюв, Ме! Гиге, 1973. б. Чо Р Ь О, йау Л, й 5о1нпо Ы Ве 5пппея Мэ(гм Рш гоня гп ' АБКА, йср Мо Ы, !па( (бг 5!а!й «6 Оуившк О гч Бшцпэг(, грей. 6 йау л. и., м г(с( еггиг гп а1ш ыге( юыио э, л. 5ггиш. Вш, хбсе, ш, 1039-)пм (197Н. 7. йй(огу» К, А 5 чеу о( АррЕсаЫе Мвйешан в, 1Ийе Вогез, 1 ео, 1069. В Мнзэнн С Г, Вврнавюн и тода а и юившчша В фнэиаи — М Иау. ав, Г)70 9. Мопге О. Н., де Чпев О, Тве ж Ие Е( е 1 Ме(Ьоа, Асвиешк Ргсвз, Мшч той, 1973 Со р $ 61с(ыыз (п 5ЬисЬ а( МесЬап( в (Ре . 5 Л, е( а1, 4 ), — исш Ргавв Н, Одел А Г, Р(шы Е(епепЬ о( Мо .Ынбаг Со Инна, М О -НШ, Мен То 1с 1972 [И ш неревоа Оден Лш, К аечн» зависаю н аннев.
вой и э ю . а з сред — М: Мнр, Ш76) 12. В(ье(у О Р., СЬ пн У. К., 1гона В, М., Ше Ые 1* О. С., Тгшави1ас е)е пЬ 3 р(а(е Ьепсйн. — соп1апп!пв пс поп. опвк (пв во!и!ганя, Р са Сс 1. Ма(нз Лыйоб» 5Ь с(. Ме Ь., Н'пвш-Раис зоп АРВ, Оыо, О,юьсг ж-36 йЬЬ',АРМУЬ Тй.ббам), рр', Му-676 Мо,е Ь г ЮЬЬ. 13 лоьааои м % Лг, М $. у Е м, Соп гегнепс о( ик )ь )ь (е спг шейш$ !» Ии йеагу о(.)а'*Ис!!у, Л. Аррг,' Меж, Й, »4 — туз (1 103). 14, Мсьау й. Ш. Сокр!мелею впа юп Ве се ргорег(ю Ы Инне е1ешеп1 егвр1все си( (и (шпв, А1АА бй Аегозр с Без. Мюп В Мек Тогй, Рарег Ма 67 — $43, Лап а у )ГМТ.
15 Соарег О, й., Коьио Е ЫпаЬегк О М., Ойкп М О, А ЫвЬ ршсш1ои (папва1вс р!Ы Ье Лпв егепеп), Маноны йвеигсЬ Соилы! с$ Салана, Аен . й р Ьй Б(4, Эшашьег (аы. 16 Ое Агэи1 з О(гика Е. й, Твеогеп в( (оипб Ии э о( Ве И йе Ыешен1 шейо6,1 Г эсТБоггбэз гжг с!иге,4,929-Ш2 (!365). 17, Репе воп с., 5 игию1 сапашо ьг с вчегие с ш Ве !шне еь е 1 Вос (о а у ио!а(оп о1 Ь Не епсгну, ги ТЫ МагЬегизцсв о( Шш(с Е1апе Ь апе Аррвсаиоаь (ЮЬ!скан Л. К., еа.), рр. 213-224, Асабоп1с Р еав, 1973. !В, хкае) !с О. С., Имен! 4 ЬршспЬ (ш бз э 6 аррпс Иона о( Вийе Ыешеа( ше(Ьоив, Ргос Ы! шаг, Гк 1. Ь(ш(е Е(эшен( Мейсав !п Епк Н, э.р! о( сшп епк к., Ош, о( Ауегагие, эешшьег 6-0, !976, р,. !.1-!.зв'.
19. 1гою В М, Тие раи! 1 1 (о гю е з, Ршс. Нине Ег а( бу р., АП * ришг Наь. СЫ!$ н, !Иа $ ВВЬ 4 Ы вЂ” 23 М Ь, Ы74, рр. )Н вЂ” Ыт. Вй 1 опь В. М., ТЬе эир р 1 Ь (Ьюгеш аии ШЬег ргоровй в )вйпв (о !Ье ашг (ез1, Ргос, С и 4. С прею Арр(. МесЬ.„5$Ц Опгюса(у о( М* гш,в Ы!', ж-Зо М у, (ШЬ, рр Ф! — ЕП 21, Бггв К О Чш(а)ши! сг!шй Ъ Ве Ишш Ые еи$ егЬоз, ш ТЬе Ма1ве шэп а( Ггоипб !3 э о( йе Ггп!е шешеа( мейое (Авь А. к, еь), эр. %9 — 710, А зеш(с Ргюв, Мез' титц 1972.
25 Эе А эп1ев О(яшек Е. й., Соп квелое ие ю а у (и $Ье В Ие е1ешеп( ше(Ьоа Р . Шо14 Со ш. НШ(е Ег п( Мейиав 5(икг МесЬ Воиг. иешии(Ь Е и!аас, 12 — 17 ОсЬЬег, 1976, рр. 0.)-ОЫ; йоЫпэо внй Аюос3а!с, Чсг. сои, Эогэе(, Епн(в 4 23 Ое чгг О, 3.аьги)е е т, моп( О н А !ею(-эчиаге липе е)выси( ю1ипоп Ь ри) пиа( Ион, Э р(, 1 Мыза !са( ЕпШпееппа, О Ь шйу а( Сага у, Иср 30, Э впЬег 1976. 24. Н Ьпсг К Н, тТй Р В Е1 епг Мэйси 1ш Епфпюсв, Ылау, Меа Тоги, 1976 Зк»э»а и и ик»»обстав ЭЛЕМЕНТЫ Н НХ СВОЙСТВА В прелылущнх главцх при формулировке и в придожеинях ме. тола конечных элембнтов использовалось несколько различных видов элементов.
Пробная функция каждого элемента представ. лялась линейной «омбииациай узловык переменных. Последние состояли иа значений самая функций в узлах н, в глуше элементов с производными, нз значений их производных. В прин. цнпе возможна аппроксимация, учитывающая нелинейную за висвмасть от этих узловых переменнык, однако некоторое улуч. шенне точности вряд ли оправдывает дополнительную пчож. ность такого подяола. Ранее было отмечена, что пробная функции должна быть согласована с соответствующим элементом таким образом, чтобы ее коэффициенты а, определялись однозначно.
Однако в общем случае пробная функция, положение и число узлов эле. мснта, так же как и числа веиааеатиых параметров э узле'), ве могут быть укэзаим независимо. Волее тога, тип и порядок опрелеляющих урааненяй и требования схалимости вариациов. ной процедуры такжедолжны бить приняты во внимание при выборе элементов и пробнык фувпцнй. О учетом вышеупомянутых ограничений бил разрабатан ряд приемлемых элементов; некоторые, наиболее важные из них, рассмотрены в данной главе Дополнительные подробности можно найти е различных обзооах [1 — 4], а также в стандартных руководствах по методу конечных элементов [5 †!. В последнем специальном библиографическом издании [18) указываются работы по многочисленным различным типам элементов.
9.1. КЛАООИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ Наиболее очевидная классификация элементов делит их ва одномерные, двумериме н трехнерные; последующее изучение элементов в данной главе булет делаться нв этой основе. Далее, эти группы могут разлелшыя в зависимости ат того, включают ли узловые переменные только значения функций (лагранжеви элементы) или также и значении производных (эрмнтовы элементм). »1 Чакка »и »а боди у»л» 9.2. БАЗИОНЪ|Е ФУНКЦИИ ЭЛЕМЕНТА Пронзвольнан прабнав функция, определенная на элементе е, записывашса в линейной форме / й' М'п', (9.1) где И вЂ” иогрица базисной функции а и†узловой вектор элалеига ').
Для лагранжева элемента в узле имеется талька одна степень свободы — значение функции, и, следовательно, уравнение (9,1) может быть записано в виде (9.2) й=[М»М» ... М» ... М! где 1, 2, ..., й, ..., з — номера узлов, а з — общее количество узлов элемента е. Дли эрмитоаа элемента каждая из гюмпоиент й, должна записываться как столбец, включающий и произволиые указанной функции, которые в этом случае также являются узловыми переменяыии Если каждый из з узлов элемента е имеет и степеней свободы, то кажда» компонента й, в уравнении (9.2) представляет собой столбец: ны й=!, 2... з, и»» (9.8) и аналогична базиснме функции М» должны записываться кая строки: М„=(Мы Мы ... М»р], й=|, 2, ..., з, ' (9,4) Таким образом, уравнение (9.2) при соответствующем выборе переменных являетсн общим дли случаев лагРанжева и эрмптоаа элементов.
| И рывши» часта гк»ан аеохииа вилюс дк* усрппеина з»паев бул»» свускат са, Глщ» У й ел ягн и * гзоп за (9.6) (9.6) 1 х, у, х,у, 1 щ уе хеуз А = (ал) = ) 1 «з уз хзуз ~ 1 х, у, х,у, аг а = (а,) . (9.9) г„,гз (9.13) В предыдущих главах было установлена, чта базисные функции являются фуикциямв незавнсины глобальных (нли локаль. ных) координат х, у (влн 6, т)) и координат узлов. Дсйствитель. ио,зйазисиые функции всегда ивляются функциями везавнсимьы переменных и узловых координат.
Для получения базисных функций лабота отдельиога элемента применимы даа' подхода; в одном из них попользуются обобщенные коорлинаты, а в другам — иитерпсляциаиные формулы. Эти процедуры кратко рассмотрены в следующих двух разделак. Вх.т. ПОЛУЧЕНИЕ НАЗИСНЫД ФУНКЦИИ Н ОБОНШЕИПЫХ КООРДИНАТАХ Этот подход особенна удобен дл» Ьрастык элементов, исполь. зующнх полные полниамы низкого порлдка'). В случае более з с Рна Вл.
Ну»незлы Ю гнзехт с З зл иезт сложных элементов уназанный полках стааавигся неэффективным в высота него обычна применяется метов интерпо»янин. рассматриваемый подкод иллюстрируем на прямоугольном элементе е со сторонами, параллель ымн ас»п глобальной системы координат Оку (рис. 9.1). Простейшая пробна» функция дл» элеьгеита содержит тольио четыре неизвестных параметра а, соответствующих четырен узлам элемента. Пробна» функция й мажет быть получена щйрасываннем двух членов из полного полниема второгО порядка, который оодержит шесть глеиов. Отбрасывание симметричной пары к', у' с целью сохранения Ч Па.
не за еаонязльан . » буну з зе ~ы гее .зи, «зздрещч ли и т, А з аот е шин е аорз»аон по."зас з. геометричесной изотрониа дает пробную фуняцию й = а> + азх + азу + а,ху, которая линейно меияетси вдоль границ элемента. Здесь коэф. фициенты аг я»»»затея ойайщеивыма коардинатаци элемента. Поочередно используя (9.5) длп четырех узлов, получиы следующие уравнения: н, = а, + азх, + озу~ -1- а,х,уь й, = а, + а,х, + п,щ + а,ххуь йз = а, + аещ + а,уз -1- азхзуз, й,=а, +а ге+ щуз+щхзуе В матрячном обозначении система (9.61 мажет быть запи.
сана нак н=Аа, (9.7) где п — узловой вектор элементы, н =(нД= а, Равенства (9.9) позволяют записать уравнение (9.6) в виде й Ха, (ЕДО) где ° Х (1 х у ху!. (9.П) Матрица А в равенствах (9.9) может быть обращена, если е» гаределнтель отличен ат нуля. Можно показ»Уь, чта йе1А= — й', (9.!2) где й — площадь прямоугальнлка. Следовательно, йе1А пе равен нулю, если матрица А ие выраждена. Обращая А, обозна. чая айрататю матрицу черш А- н умножая слева уравнение (9.7) иа А, получим а А ~и.
гзт Влемгхгы и ах ееакг ео Глаз» Э (9.14) (9.16) где Е (х) = — '. ж — к, (9.22) где в( й=юп=[)7» Д»з Д»з Аг») й» й» й» (9. 18) 2.2.23. Дага»алеем »левекен Подставлая (9.13) в (9.!О), получим равенство й ХА'н, которое может быть переписано в анде й мн, где матрица формы !6 есть )(=ХА ' (9,!6) Описанная процедура может быть заппсана и в терминах ло. пель|ай свстемы каордннат Л86, где, напрнмер, Л совпадает с узлом 1, а оси 1 я ц парзаэельны осяч х н р соответственна Последу»шщне действня упрощаются бдагадаря обазначевням а=х,— х»=хз — хь б р» — у»=у» — уг. (9 !7) Для лагранжевых элементов с нзвестной в яаном анде фар.
мой аппрокснмкрующего полнномз бзэвсные фупннип в прин. цппе всегда могут быть вычислены согласно описанной про. цедуре. В случае большвх алгебраическнх выражений можно првбегнуть к.численному рзс»егу базнсных функднй. Для эрме. товых элементов прнведенный подход требует модифнкапнй. злл. поднчйпнп пазисных екнкцип интннполяциеп Снова рассмотрим прямоугольный элемент е (рве. 9.1), на пред- положим, что пробная фупкцня, заданная равевствам (9.6), ае. известна. Однако связь базнсной функцнв с й всегда известна в общем виде нэ уравнения (9.2), т, е. Базисная функция Аг» должна нметь значение 1 в узле й п пу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
