Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ютсз аесиоиээии и ииоиээидмими В Гз г зх ааы ю ю т ыкого зиэизэ эт ю коззезтва, а, игизем з зээризиость з тзриивэз 6 фэикиии, такое представ ение кожно согласовать 16, 6). 165 Вар ечяаш«ш за ершахш Глаы 7 Для задачи вз равд 7.3.2 необходимо рассмотреть следую. щне условия непрерывностнг трсбша з л з.зшаеи и ваа ая Нег ел фвл Чве «) д )ф Эащззль ю Неча Эмееасть фгизпне .н ерзая я зтазев уваз еров заденз В) фтеяп а з Невэеэнеиость фуекпия кусо з з з е. е ть ез оя прон ад *я е) В Э данае ззеоа.
Йе Э Э за ть фт п » Т а зз лэ З з. Э за Класс пробных функций а) входнт в классы 5) и в), поскольку непрерывную функцню можно рассматривать как частный случай кусочна-непрерывной фуннцнн. Рассматрам теперь случай, когда рйшенне дифференциального уравнения ищется посредствам выбора среды допустимых пробных функций нменна той функцпн, которая абеспечнвает стапнонарвае зваченне функ. цнонала. Еслн не указаны деполннтельные условна гладкоств, одна и то же решенне может бмть найдена пезавнснмо от того, сделан лн выбор нз ограниченного множестна пробных фупкцнй, ука.
ванных в а), илн более шнрокого класса, допускаемого в в). Зто ешенне непрерывно вместе с первой н второй пронзводнммн. ак показано Курантам н Джаном [7), варнацноннав процедура всегда дает решение, непрерывное вместе с пронзводнммв, если допустимые пробные функцнв обладают такой же гладкостью. Однако если пробная функцня описана в термннах конечных элементов, то тнп выбранного элемента может помешать непрерывностн пронэводпык прн переходе через границу между элементами.
Для цаясненнн этих идей рассмотрим линейный трехузлавой треугольнмй элемент в задаче нз равд. 7 3 2. Непрерывная пробная фуннцнп для температуры 7 имеет точно') кусочно-непрерывные первые производные. Поскольку прн условнях непрерывности б) н а) варнацнонпая процедура справедлнаа, то в классе допустимых функций может быть найдена конкрет. ная прабнаи функция, для которой функцнанал прннпмает ста. цпопарное значение. Может бмть показано, что длв рассматрн. ваемой задачн стацнонарное звачет!яе, полученное варнапнонной процедурой, действительна является минимумом. Однако прн выбранном коне щам элементе этот мнвнмум пе так мал, как мнннмуы т), который был бм получен, еслп использовать проб. ную фуннцню не только непрерывную, на а нмеющую непрермв. нме производные.
Поэтому решенне, полученное с папашью ко. '! Т,е еееюшз зрзчзии. ее|зашя и вэ р з««з рз и еа зз х 1 Он давшее а ть зеив зьш ззашз ззз фуззпшигш,, ра можно шлучзть зрз рэнзчз зяз из глздхост, а»велевшем«нарзан оееаа пэаеехтреа дтз Эзшвшгизз оз шгзчв, печных элементов, является апцроксямацпей точного решення ') днф еренцнального ураввепия. з вшпензложеннога следует, что выбранная для некоторой залачн пробная конечноэлемеятная функцня не должна нару.
шать варнацнонной процедуры, т. е. ее гладкость должна удав. летворять условням допустнмостн з). 7.5 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Длк многих фнзнческнх залач правильно сфорчулярованный ва рнационный подход прнводнт к функцноналу, стацнонарнае згга. генне которого лает решенне задачн. Некоторые' часто нсполь. зуемые функцноналы удачно оппсавы Десан н Абелем [8). Как замечено Фннлейсоном н Скрайвеном [9), нсгннеые функцно. палы обычно могут быть найдены только для лннейного н само. сопряженного определяющего уравнения.
Для другнх задач было предложено большое количество разлнчямх так называемых варнацнонных врннцнпов. Олннм на первых был варна. цнонный прннцнп Онзагера [10); за ннм былн введены прнп. цнпы Розена [П вЂ” 13), Чамберса [14), Херайвала [15), Хейса [!5], Гленсдорфа н Прнгожпна [он ввел локальный потенцнал)' [!7,!8] я Байотв [19 — 22). Упазангзые варнацнонные прннцнпы былн проаналнзнро наны Фнилейсоном н Скрайвеном [9), показавшнми, что этн прннцнпы не являются енота варнацноннымн, а эквнвелентнм методу Галерккна нлн аналогнчному методу невязак, который фактвческн легче применим. Другие варнацнонные прннцнпы разработаны Лнбером в др.
[23, 24], Внссером [25) н Гартнном [25!. Метод последней работы был нспользован для навечно. элементного анвлаза длнамнческнх задач [27 — 29], по по крайней мере в одном случае была показана [30) эквивалентность этого подхода методу Галеркняа. Из вышесказанного трудно не сделать вывод, что, кроме линейных самасопряженных задач,не представляют особой ценностн попытка найтн варнацнонное коаечноэлементное рещенне более простым путем, чем методом невязок Как было указано Фннлейсоном н Скрайвеном [9], я сх и» а пз м е евазха зегш зесазяпя а с «ш ер ав е ад ') Т.». вше е ееззрпзпа з сге а аз и з Э н анин Эашваземшз. ') Няагза мошна неру~ешь зте ус азз в эс ше о Г» решз теэае ее толью хает удозлегзоэетюьнтю зззэазсзя е о эеше но е схадашя я чешу, зогде вымер зземеетз стре ши у ю !ся.
зазвав. аю з эзэх ее, еасззш зпма зесаглесаззезнн эзс штз ). 188 Варациаюм исчисяе ие и' са лрияокейгм 187 ку шн прап дур р н 2 а рокс м и» по к бхойя с б расее нар»аннан ой формулнроа , и не рида к особою нйчен э а р ° ь'гр Крам чшо, лииейиме са о а р к нне емм ° ар «а р к ср а и ся но релно, чеч чо ар ю о 8 форму иро с об 2 ра ° юй иеобхакннссгнУД еу е пр б.нкс р ш у ш с ечоюг умному.ирн ад и«у н н м н ру и рхги м зоаа дл нх еле гош прямил е прок м и ю ю, оби раза ра ся «ааэн ар аннан»их формулир*а эй н ограни н мх а рн пюиимх арин.
Ш пахи Лн ере ура 1 5 Ыс!ег й 5, ТЬс Ъз (Окпп) Не!боб ги Епвпсюпй, М О а НВ, Ке Усй, 1967, (Ймычс пгреаадг Шехтер Р С, Вари пиынмй ешд а шк нершгх рас мгах, — М. Мир, 1971) 2. Раггач М. 1, Час!або»а! Са)си(иь гп Бе!енсе «пб ЕщЬееппй, МсОгаиНШ, Ке» тогй 3 Михина С Г., Еарнаююнмс меюдма маю ешчмк й физики — МсНау- , 1970. а. 5(м»».гй ьй 1.
«б Бп~И Т. 1... ТЬ ТЬ ч о( Р 1 йа) б Бриебса) Б. Супа Р. Ф, А уз 5. К, Р) бе е)мпчп1з (опии)йсб Ьч И МЫеб 1еаа( зяюгез чик!оп, 1Ш. 1. Киш. МШЯ б б и, 8, 71-90 П974). б. 5ьзпи О, чапшки 1 шипю !а йе (юь е)елки( шсгь б, гп ма1ь ск 1 Роипбагьпя.о1 Ва Р!ппе е!ешеп! мешал мй Аррисчйопз (о Ра иаг ОьП !сиба! Ея абаи (Аьм А. К, Ы), рр. ЗМ вЂ” НО, Асайшк Рюю, Кеи Тоги, !972.
7 Саман! й, ! Ьп Р., Са1с»1из апб Апа!уме, Чо1 2, ЬП1еу ((и(с э»елее), Кит Ь,1974. 8. О зш с. 5, Аь! 7 Р., 1 1 б иап ш В мппе ю епг мс!Зоб, чаа Коь!Йгэпб йешпош, РИ се!о 9. Р и!аузан В. А, Ркпче Ь. Е, Оп йе магсб (о а !абаи! Рппс)р!ез, 1яш 1 1 П аг М г Тю < , 19, 799-321 (1967).
10. Опыйег 1, йес!Рюсаг ге1абаш !п и ч ияк рюмчмг, Ргйк йс, 37, »В — 426 ПВ(1 Н. йамп Р, Оп чаг1а(шпа1 р !ас)ргеь (ог Ю ге )Ые ргассыег, 1. САет пар ., 21. Ко 7, 1220 — 1221 (В53) 12. Еое и Р, 1.ье о! юзгг)срм чапа(шпаг рппс)р1ы (аг )ье гогшайо 1 ЗП1е. .еп!!а) я»або»а, 1, Арр! Ряр., и, зм — Ззз ()вя). Ш й еп П., Ча ЬЙ па$ арргаасЬ ш шайпма-Ьубюбуп шкь, ряр М МА 1, 251 (19В).
И СйашЬ 1, С, А ЬЬапа1 рбпс1рк (ог бк с бис1кп »1 Ьеа1 Оиа.1. 16 Нш»11 %. Акюега) э ьИо 1 рс!п !Р) Ьгшьер 1Ьееуемпа,)АИ, барюбеп$(Ьеппа! сапбисИ 1!у, )п. Коп-ЕяшйЬгшш ТЬ г абу аш)се, Чагга. ИапЫ тесЬпким япб 5ЬЬйгу (Роп е1у й 1, Нег»пап Е.. Рг)йоб<ие 1„ ебз), РР. 17 — $3, ПпЬ М СЬ сайо Ргеш СЫсаиш И)шо!а, 1266, !7. О1а эбагП Рч Рг(До81пе 1, Оп а »сима! е оМ!ай с бейб» 1» пш сгаьсаР!е рбумся, Рая, Зб, ЗМ-З74 (19М) 18 Ог пебаШ Р, Рг!йойгпе 1., Би геь рпрпМЬ бййгеабеПс б Ь ргобис.
и бй г.р)'. Ряул. Пг", ЗО, 778-ум (Вба). 19 Врл м А., Ч 1 йшч) рггпс!Р1ее ь ше шмЫе Веппобу аписа йЬ ррй Шша 1 М ейзбсбу, Ряуз, а»., 97, )МЗ-КЮ (19М). 20. В!о! М. А, Ке Мейобз гп Ьм1 Поэ апе1узЬ »ЕЬ арр!кабоа $о ПМЫ з1пьс(игеь, А Де аи1. Бег, 24, %7фгз Н957). 21. В)а1 м. А., Ригйег бече)оопкпь ы пеи шшьобэ га ьеаг-пои ал )у э. 1. Амаарасе БМ, Ю, 367-381 (!959). Вй В!о( М. А, Чей Иона! Рг)псгр)ы 1» Неа) тгапи(ег, Охйгб Ип( . Р езч, Тоибов — Ке» Уо Ь, !970 М.
(бебег Р., Коа .5 пй чй А рг)и )р) аг п ш пиш б)ьшрабап $ог геа3 П»Ые, ' РЯ(ос го!се аГ. Со,бп Аррг М и., 9!Ь, В чшзЬ, рр 1Н-ВЗ, Вбй 24 Оеь Р. Ааб п О., коан.5*пй ю., А э гпс(р!е о! Шиа( ьзр(асепкпь Ьг геа! Ймб, Р . Ь! !. С б ДРр1 Мтд, 9!Ь, Вгюм)з, РР 106- НЗ, !957. 25 Угшег Ы, А Плие )еш $ пей б 1 В бегегсшпабоп о1 помгабопагу ьшреги(ию биыьийап апб гешрегегисе Вьюги, Р с сои< мш ь мак ь 51гисг. Аьсг, гм, Фийьг-Раис зон АРВ, Оыо, 28 — 28 О гоь г гмк <АГР01.-ТЕ-бб Ю), рр.
926 — УМЗ, КочевЬе 19Ю. 2Б Иосип м., чаиаиапа! Ргьсш1м 1о инее !лиан а) е р оыепм, Она 1 Дрр! М й, 25, Ио. 3, 252 — 2% (1934). 27. Виза» е ь, ккьеп е е, Арр(кабо а1 Ве ппб шешюг В б ь »кгузй, Ке 1 б и 2. Псм8»,4, 276 — юб (1988) 28, В о и й А., й! )умь В )зупгпкгггс баек Ьеа1 еопбчсгшп рюЫею Ьу Ппйе ег ш »1 шейаб, Р рег 89-)УА<НТ-37, А5МЕ йбпкг Аппиа( МыЙпй, А»йКы, Сэ(йог» я, Й»чмияег 29 За ааб 1 1, Фбье ьраол Р. А., Аррй ап »1 (Ье Ппбе Ыешеп! шейаб 1» (гапакп1 йа (а рогаиа пгебм, Бос.
Рсд Еаб $7. 7., 241-252 (5ер1мпЬег 1968) )ага» гп йе т ш» г!оп . Вм (1968)). 30. )ешш и ЕгС., Неа(оп М Б, Мснгасу, га1вбу апб оь И! йап сЬагасге. гЮкь о< Ппба 1ешеп! Вейоб гог з»!мни Ьм( Сааб»сбил яппи*и, Рая 69ЛЛА<НТ.ЗБ АБМЕ чйпшг дан»а! Меебпб, 1оэ Апйе)еь, Сай(олби Ко. чмп1кг 16 — 25, <КВ сходимость, полиотл и согллсовлииость Обычно решение, полученное методом конечных элементов, яз. ляетсн приближением к истинному, нли точному, решению. Как блиако это вычисленное решение к точному н сходится оно или нет — вот два важных вопроса. В этой главе с помошью эври.
стическнх аргументов оцениваются точность и сходимость метода конечных элементок 8.!. ТОЧНОСТЬ, УСТОНЧИВОСТЬ И СХОДИМОСТЬ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ Когда выбирается вычислительная процедура, необходимо оце. нить наряду с другими ее характеристинами точност устой«и. вость и сходимость. Точность в это мера близости гислеявого решения к точному, или ястинвому, решению. Устойчивостьг) определяется ростом ошибок нри выполнении отдельных вы.
числительных операций. Неустойчивое вычисление является разультатом аппроксимации, округления илн йгругих ошибок, ко. торце неограниченно накапливаются, вслепствие чего встиниое решение вскоре тонет в сшибках. Сходимость — это постевениое приближение последовательно вычисляемых решений к предельному по маре тожэ, каи уточняются некоторые вычислительные параметрм, такие, как размер элемента или число членов в пробном решеини Термин «сходимост~ в этом же смысле применяется н к итерационной процедуре, в которой некоторые или все результаты одного вычисления становятся вхопиой информацией для другого (повторного) вычисления. Такии образом, в сходяшайс процедуре рааниоа между последовательныьги ре зультатамя уменьшается, стремясь в пределе к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
