Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Первую подсистему пз уравнення (619) описывают выра. жемнем К фа+ С,ф,— йь (6.21) которое после нспользованвя равенств (6.20) я обратной матрнцы (К,)-' принимает впд ф~ =(К~) ' й — (К~) ' С~Фа. [6.22) Для второй подснстемы нз уравнения (6.19) получаем выраженне С~ф~+ Кафа+ Сафа= йз, (6.23) «отаров после подствновк» ф~ из (6.22) н нспользовання ра ависта (6.20) мозкет быть представлено в анде Из уравнений (6.22) н (624) становятся очевндной общая форма решения фа» можно легко показать, что ф =к 'й — 1( 'Сафта, [=1,2,, „йг — 1, (626) Глава й (6,26) Используй (6.20) н (6.26), придем к выражению фе (К!) 'Ие.
(6.27) (8.28) что вместе с (626) определяет совокупность уравнений ддя всех фг, 1 1, 2... „ 57. Поснольку подматрнны известны явно, уравнение (6.27) может быть разрешена относительно фч. Зз. тем последовательная обратная полстановна с нспольчоввннем уравнений (6.26) для г' = 8, 8 н 1 дает решения фэ, фэ н ф,.
Иааю ра й р мер й.!. Рассмагрим вадачг геплонерюмчн риа 2,1 н эюэнием кенюноьлеменгюа сеснн ряс 24. Пуст облаю я юа ро дэч р зз, к вкачано на рис. 64 Ма р пз сисючм трав е нй б ла волгч р не о реаепвюся амрамеааем (236) Кан показею в рис164, реме и и но в гэ вз с иоиерамв 1, 2, 3 н 13, 14, !5. Слеювэтезь о, сеотвегсгетююв грв и инн в !злак ммух ймгь июлю енм в юогвегсгвни с алтари мом, о с нн м в резв З.Н4.
Молве показ г . чгп матрена юссг. «пег с сю К кр олпе я вилг д нона юм л нвн рззй н е, ю гмгствгююне риа 84; можно авдею ччо мэ рена К си гр на Ура еэю 18.291 может Вить такие представлено в виде К, С, Тг Иэ (6.30) юю подмятрншг соогпегсгвгюг раэзвеннго уозвн ивя 10%1. Иэ последней подсистемы получим Сзфэ + 10964 — Ие ° Обобщенна этого результата дает фиюЯ ')ийю 10 — 2 О! — 4 О Ог — 2 2) -2( О -8 О ! 0 — 2 1О' 0 0-4( -4 0 О, !Π— 2 0! — 4 0 0 0 — В 0~ — 2 20 — 2: Π— 8 0 0 0 — 4, '0-2 10„: О 0 — 4 ~-4 О 0'10 — 2 0 0 — 8 0 (-2 20 -2 0 0-4~ 0-2 !О уз уй уг уэ уз Т,.
3 гэ Зк я о р апой еяю. разееемпе н р зезенпе 151 Иснсльзтв р иенс ва (520) для К н й ри э=1,2 3, мык оеозугпг ( 10 -2 0) )3301 (6.31! 0 -2 1О ЖО ( 8 36667 2 33333 003333) (!0((( ((э ? 33333 1666667 2 33333 йэ 200 163% -00%33 - 2,33333 8,36667 100 В.ОО% - ?,5533 -0,0893( ~456%57~ И» = 25833 !58333 -2,5833, Из 9333333 ° 14331 ( -00893 — ?,5833 80060 4666667 Дал ич» .
юогс матрены, оервгние к Кь К, в К (БЛВ) ('196 20 41 Ка ' = — 20 1ОО 20, (6.34) 4 20 196 !зэ 19,6 5 !1-'- — '!!98 70 Ш6 ~, 10752009 б Ю,В !31 120,08% 20,9126 8,0874 К ' 20вй20 бйшй! НЬ91% ~ (52%) 3, 906,0783 80874 20Я28 !2ОД8% Текер понт эе ся рюеви Т, ю Т, (К) 'К в де !200880 919)28 8%71 Н 4655857 ! ! 8750 т,— 1 2091% ечеазг хо%% ~! эзззззз ~ ( йтйо ~, (ззт) ~,б7ВВ ) РСЮЕВИЕ Т СЮД7 т ТРааи Ни 1825] При 1 2: -(0%78%0 ~ нш 70 10,0 ~~ ~ 2%~ ~ о -8 о ~~ ш,зо гздо 75,0О (В,зп) 75,оо НВ ОИЮЬ Т, ЮЧНСЛ' Е С Из ТРВВ Еи (бы) ПРИ 1= 1: Т вЂ” 0!%1%20(4%( — !Π— ВО!75,%~~=~52,50) (В.з ! 152 Г зяб Из урзан ннй (6 37) — (539) манна пютавнгь сьадзу знзченна рмаеннн.
Т, 50, Т 50, Т бд У 625, !' 62 Д уз 62,5, Т, 73, Т, 75, Те 76, Гм 57А Тп 876, Тп 57А тп-ЮО, Ум-!пц ум- Мц «омр я с едеет лрлв д знал ранее ( м (231Н. У р н 6.1. Со з е б ончнему н рвзработааю! емчнслнтельную нро р му, с у а р г ар д трехдззюнельвому знду, ал с ннамт рз л 74 (бло) Л Иратур» ! Ое гя 3 А., О йе 4 Ну 1 Нпп ! и! гпе!пюз, улз л !. у. унюе м гл ле тюх х, ь, ню — зю (!рж) 2 Вз!ье к.!., %пвю е 1.. навп!сзт л1еж б !п.рыке е1 ае ! Апе1узм.
Ргепгюе н и, епще юа синг, ые 3 пеу, 1976. 3 Реагеь 5 3, Репж Н., Помаяла А д., ЗсЬпаЬгмЬ щ С гека). На зг!са! епа спнр !ег ме!ьабз гл 51гас1нгермюьзнгы, Асеаею! Р, не таы, 1973 4. мо и О н, ас упы О, р!пке е1енюа! В!ьеакгарьу, Р!епнж, не тай, !976. 5 %9 е. 1., 5р 11 л ю ье! епа ююаом гесьпсюея ут нм апагу ! о! Ппце !ею ! у !ев, Р О 5.— белизну 5уюр.
Тотам!а!юпь ьма О жрягмюпз! А!яоп!ьпм ю нлн е! юеп! А згуьм, 9-!3 Аааям 1976, М1Т, СзюЬпаяе Мама Ью Нь ВА) ИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕЕО приложение В этой главе кратко описываются некоторые основные понятия теории вариациоииого исчисления н нх приложения к задачам расчета полей. Дополнитвльные подробности вариацнонного исчисления могут быть найдено я соотпетстзующнх учебниках (! — 2).
Варнациониое исчислеяие широко применяется в физике; некоторые наиболее важные приложения описываются н конце настоящей глазы. 7.!. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ 7.1Л. МУИКИИИ ОДНОЯ ИЕЗАВИСИМОЯ ПЕРЕМЕНИОЯ Основная теорема математического анализа устанавливает, что любая функция р ((х), непрерывная'] н области и ( хнб Ь, достицзет *ноях минимального н максимального значеннд и этой области. Более того, если /(х) достигает своего минимума (или ыаксцмума) в х хо, где и,( «е ~ Ь, то хе может быть иайдаяо какрешеиие х хо уравнения 67 (х)М О, (7.)) если в «о существует первая производная функции 7(х). Утэержденне, приеоднщее к уравнению (7.!), может быть вмражено в следующей альтернативной форме. Бел» непрерывная функция р=((х), определенная в области о х~Ь, достигает своего максималыюго илн мннималыюго значения в точке х хо, то первая производная ((г) по х в этой точне должна обращаться в нуль, и, следовательно, первая вариация функции А обоэиачаеман ЬА которан нногла рассмлтрноается как дифференциал бл должна обращаться в нуль для любого изменения бд в М т.
е. 5( = (блбх) бх = О. (7.2) Дальнвдюю дифференцирование функции у= ((х) определяет относительный минимум, максимум нлн мннимзксное условие ') ЗдеСь н няне «редпола аею, чта удсязеюаряюгсе условия, неаблод». ммс дл» суисс!лозанна ь неарермнаостн фунзннн н ее пронзваднмх, г. фунадии Пх) в точке х «сс (7.8) где (7М) (7.5а) (7.56) Ь/ — ( — ) Ьх+(-/-) да=а (7.6) минимум, если Нэ//бхэ > О при к= хи, (7 За) максимум, если бс//бхс < О при х = кс, (7.36) с мнняманс, если Н //Нх' — О прн х кь (7.3в) Уравнение (7.1) (или, в альтернативной форме, (72)) прел.
ставляет собой необходимое условие существаващся минимума функции /(х) в точке «ь хотя выражения (7.3) наказывают, что оно ие является достаточным условием. Уравнение (72) явля. ется, однако, необходимым н достаточным условием стационарностн функции /(х) в точке х = хь Говорят, что функции /(х) стапнанарна в точке х =хь если она в этой тачке либо достигает своего минимума нлн максимума, либо удовлетворяет условию миннмакса тлл. Фуикцин двух нездиисимьщ переменных Теперь рассмотрим неабходииые условна стапионариостн значений иенрерывноо функннн х=/(х, д).
Поскольку з зависит н от к, н от д, необходимо днфферунцнро. вать по обеим переменным и совместно решать полученные в результате уравнения. Таким образом, если функция г является стапнанарнай в точке (хс,ус), то хс и ус будут реюеииями сн. стемы )'равнений а//д, = О, д//ду О С друюб стороны, если х=/(х, у) стационарнв в точке (х, у) = (хс. Ус), то варнапия этой фуннцни лалжна быть нуле.
вой для любых вариаций Ьх и Ьд, т. е. в точке (к,у) =(хс,ус). Уравнения (75а) н (7.56) следуют дз (7 6) ввиду произвольности и Ьх, н Ьу. т.!.3. ФУНКЦИИ а НЕЗЬНИСНМЫя ПЕРЕМЕННЫХ Проаедура, приведенная а предыдусцем разделе, может быть обобщена иа фупкпнн л независимы» переменных. Рассмотрим функдию /(хс, кь ..., к,), непрерывную в замкнутой области, Вириициаихщ исщслсиис и сса ирилммиис !Бз Можно ожидать, что наодетса точка(ха хи ..., х„)=у»ии ус, ...
.. „к'„) Х', в которой функция /(к,) стапионарна. Обобщение !Тэавнення (76) показывает, что необходимым и достаточным условием стаиионарностн функции /(хс) в точие Х' яв. ляетси равенство нулю в зтоо точке первоо вариации функции Пх,) для произвольных вариаций Ьхс, 1 = 1, 2, ..., л, т, е ь/ = ( — ) ьхс + ( д (-) ьхэ+ ... + (Х(-) ьх, -(- ... ... + ( д„) Ьх„= О. (7,7) Уравнение (7.7) может быть переписано в бачее простой форме: Ь/= (,'Г,с Ьх! !=,') — бис= О, д/(с ) ) д/(Х') ! ' / с / х' д/(Х") д/(хо ~ д» д есть частная производная от /(х,) по кс, вычисленная в тачке Хс. Поскольку уравнение (7.7) является верным для любых вариапно Ьх/, /= 1, 2, ..., и, все они кроме одной могут быть выбраны пулевыми. Пусть незавасимоб переменной, для кото.
рой выбрана ненулевая варнаиия, будет «», т. е. Ьк/ —— О, /= !, 2, ..., н, / чь Ь. Подставляя уравненяя (7.10) в (7.7), получим Ь/= д/(Х вЂ” )Ьх„=о (7. 1 1) дл» для ораиэвольнаго значения Ьк». Отсюда следует, что д/(Х Уа,, = О. (7.12) Поскольку независимая переменная к, была выбрана произвольной, выражение (7.12) должно быть справедливо для всех х . Поэтому необходимое и достаточное условии гтэпионврно. сти функции /(х) в траха Хс сводится к системе совместных уравнений д/(Хс)/дх, = О, ! 1, 2, ..., и, ПХ3) 7.2. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА В предыдущем раэпеле были рассмотрены необходимые и до. ствточные условия стадиоиариости фуннпин независимых пере.
менных. Однако во многик приложениях не все переменные !зт Гмз» 7 гза иезавнснмы. Рассмотрнм, например,неабходнмыея достаточные условия стацяанарностч непрерывной функднн /(х»), » 1,2, . ..., л, определенной в данной областн, если «» удовлетворяют ш уРавнениям связей й,(х,)-О, Д- 1, 2, „,, <, (7.П) Один нз возможных методов решенчя состоят в следующем/ ш уравнений связы могут в лринцнне быть решены для ш сеременныз в терминах оставшихся л — и» переменных Полученные такнм образом сааза после подстановки в функцию /(х»),1 = = 1, 2, ..., л, дадут новую функцню Р(к .„, х »ь ..., х.).
В этой фуккцнн все переменные к »ь к »е, ..., к, везавнснмы, поскольну уже «сключенз первоначальная эавнснмость. Поэтому крнтернй, оячсанный в рвзд. 7.1.3, может быть непосредственно применен к Р(к »ь к »», ..., х,), что даст н — ш уравненнй др(х„»,, х ь ..., х )/дх! — — О, 1 ш+1, ш+2, ., в, (7дб) «оторме вместе с ш уравневнямн (7.14) образуют систему л уравненнй, нз которой могут быть определены л нскоммк переменных ф хе, ..., Хм Хотя вмшевриведевная процедура дает правильное решение, она является весьма громоздкой на практнке, особеяно если рассмвтрявзются функции трех н более веременных. Более элегантный подход получается аря нсцальэоваявн метода множа. гелей Лагранжа, который описывается ннже.
Уже установлено, что необходнммм к достаточным условнем стацаоиарностн функция /(Ю) в тачке Х' являетсн равенство нулю в этой тачке первой варнацнн /(хд для произвольных варнацнй ьхг, т, е. ь/(х')= ~ —, ьх,= о. ащхо (7,! 6) В рассматриваемом случае, однако, не все х! незввнснмы, н, следовательно, нельзя сделать вывод, что все частные произ.
воднмс д/(Х»)/дхг одновременно обрашаютсн в нуль. Из урез пеняй.связы (7.14) получаем Ьй»(Х»)= У вЂ”," Ь,=О, 6=1,, ..., ш, ш< . (7.17) зн„(х 1 ! В зтн уравяеннн следующим образом вводятся ш навык пере. менвык — м»»ожнтели Лагранжа Хь Ьз, ..., Х . Каждое нз уран. неннй (7.17) умножается на соответствующее х», а результаты арнбааляютсв к (7.16), чта дает ь/(х) + ~' х, ьй,(хе) = » 1 -Хà —,+Хх; 1~6 -0 (7 ) " Гз/!х) " зн !х)1' Поскольку величины Х» проазвольны, ани могут быть'амбра. ны тав, чтобм пернме ш членов в квадратных скобках в' (7.16) обращалнсь в зуль. Оставшиеся я- ш переменных к, в (7.13) везавнснмы, следовательно, нх варнацна Ьх! произвольны н соот.
ветствуюшне а — ш членов в квадратнык скобках (7.16) также должны обращаться в нуль. Такам образом, этн два условия дают снстену л уравнелнй которые вместе с ш уравненннмв связи (7.14) .образуют сн. стему ш+ и уравнений с ш+н неизвестнымнхо Хь ..., Хш хо Процедура, описанная выше, может быть настроена нз других соображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
