Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть нова» функция Р(хах», ..., х; Хь Хь ..., Х ) оаределяетсн «ак Р(зб Ьг)=/(Х,)+Х,Х»й»(Х»), 1=1, 2, ..., В, (7.20) »-1 /=1, 2, ..., ш, ш<л. Поскольку ш ураввеннй связи (7.14) включены в выраженне (7.20) для Р(кг; 1»), очевндно, что Р(х»! ХЛ есть.функция л+ ш незавнснмых переменных. Пбзтому (см. равд. 7.1.3) кля стацнонарностн Р(хн Дг) необходимы н достаточны следующне усло. ння. др(кб д!)/дхг О, ! 1 2,, л, . (7.21а) др(хц ЛГ)/дз.»=0, Я=1, 2, ..., пг..
(7.216) Подставляя Р(кг! Дг) вз (720) в (721), полушм систему ш+н ураваеннй — +~ Х»» ' — — О, /=1, 2,:.„а, (7.22) дх »-» й, (хд =О, Ь = 1, 2... „»а, которые совладают с (7.19) н (7.14) соответственно. ше умма 7 перепишем (7.2б) в виде ь (7.29) Изложенное выше поназыаает, что метод множителей Ла гранжа является эффектпвяым средством, когда приходится иметь дело с уравнениямя свиэн.
Часто граничные условия в задаче расчета поля могут рассматриваться как уравнения связи и может применяться метод множителей Лагранжа. 7.3. ЬЗАКОИМУМ И МИНИМУМ ФУНКПИОНАЛОВ 3 р чиа р игчагмлзс а гго зрзломеазг -1[-". -" г'-' Гдр др др, , др( Интегрируя по частям второй член (7.29), получим В предыдущем разделе рассмотрена задача поиска стационар. иых значений явной функции. Во многих приложениях, однако, требуется найти стационарное значение интеграла, а не фуяк.
цин. Поскольку известно, что интеграл нвляется функционалом, будут рассмотрена условия, необходимые для его ствпиоиар ности. тв.1. ОднА незАВисимАя и нескОлькО зАнисимых ПЕРЕМЕННЫХ вЂ УРАВНЕН ЗЯЛЕРА В этом разделе будут исслеловены функпионалы с одной 'нева. влснмой и нескалькнчн зависнмымн иеремеинымн Рассмотрям функционал - ~ [,( ), — ш'~.. '=1* 2, .
° ., ш, (724) ири уСловиях М (о) = пь у,(Ь) (7.23) где функпиз р зависит не только от х, но и от лт функций у~(л) п их первых производных ду,(х))бх. Пробные функции у~(х) в (7.24) должны быть допустимыми, т. е, онв не должны нарушать каких-либо требований вариацнонного процесса. Для этой задачи к лопустимым функциям отиосятси те функции, которые являются непрсрывнымн и имеют «усочно-непрерывные первые производные в а ( х ( Ь Рассиотрнм теперь вариацию Х, которая для стационарного значении интеграла (7.24) примет внд') (7,23) записывая <7.27) у, ду,<бх Ь <бр,<дх)-Л <Ьу )<да=(ЬР )', н замечая, что (7.
28) ') Исссльзг'з стазззртше обозначение су зрозакзз (см, раэз, ЬЗ 3) ЬХ=~[ — д (- )1бугб +-д Ьуг(;=О. <7ЗО> Если пробные функции уг(х) удовлетворяют главным гранич- ным условиям (7.23), та (7.30) сводится к ЬХ ~ [ — * — — ( —,)1 ЬР< бх О. 17.8!) Посиолькр вмрвжснне в квадРатных скобиах (7 31) иутрц интервала интегрированнн непрерывно, а вариапнн Ьуь 1, 2, ..., ш, произвольны, др Л ; др ь — „( -)-О, г-1, 2, даг и* 'Хдр ) т.зд ОднА 3АВИсймАя и нескОлькО незАВисимых ПЕРЕМЕИНЫХ Во многих задачах функционал имеет юлька одну зависимую и несиольно независимых переменных.
Для иллюстрации необхо. диммх н достаточных условна наличия ст цнонарного заачення будет исследован функционал Х -' ~ ~( — дд, 1 + ® ~ оВ+ ~ РПдз, <7.33> о з где р — функция координат точки, расположенной на границе 3, заключаюшей область Л, и где для допустимости пробных функций Т<х, у) требуется вх непрерывность вместе с кусочной непрерывностью первых производных в 0+ 3. Уравнения (7.32) явлшогся обыкновенными дифференциальНымн уравнениями второго порядка и называются уроелелиямп Эйлера для этой залечи.
Специальные пробные функции у,(х], для которык Х имеет стационарное зчаченне, также удовлетво. ряют уравнениям Эйлера. Г» ! Кэк н ранец необходниым )словнем стационарнастн д являегсн обращение в нуль вариации бд, т. е. вх= )'(~ б'Гз )+ з 6( — ))ИО+~рвтл$=0. (734) в Замечая, что М) =+ ") можно запнснть (7,34) в виде 4„=()( —," з (йт)+уз-зэ (зт)1ло+~ рбтб$-О (738> о '™ш Формула Грина может быть записана следующим образом: в о + ~ о (Б-и„+ — иг >Л$, (7.37) э (Я вЂ”,' (вт)+ — „'' — ', (бт7~ИО= — $ бто'тао ф о о + ~ (д а,+ з ггг)6765= — ()67))»ТбР+~ — 4ТЛ5, (738) з о 3 где р*Т = (омТ)дхг) + (Ут)дрх), Подставляя (738) в (7.36), получим окончательно зд= — ( р тзтло +~(р+ Язтл$=к л (7.39) (7.40) где л и и,— компоненты единичной внешней нормали к 5, обозначаемой п.
От функций н л(х, у) н о=о(х, у) требуется нх непрерывность в О+ 5 н кусочная непрерывность нх вторых производных в О+ 5. Первые производные функции и должны быть непрерыннымн, а фуннцнн о могут быть кусочно-непрерывными (4). Сначала рассмотрим случай, но!да функция Т непрерывна вместе со свонмн первымн пронзводнымн в О+5. Поскольку условна непрерывности 6Т те же, что н для Т, формуле Грина может быть нспольэовзяа для того, чтобы преобразовать нате грал по области к виду Вазшэ и и»»ис»»»ш а»»а кна»см»ан» )з) Поскольку интегралы по области н ио границе в (7.40) незван.
симы, имеем ') ртТ бт ИО О ' (7 4(а) л (р+ а') 6) 6$ о. (7.416) Ванду произвольности 6Т,в О нз (7.41а) следует р'т=о в о, а нз (7.416) (67!дл)+ р 0 на $. С другой стороны, есле функции Т(х, у) на части значаемой 5ь предписано условие 1 3, т, е. Т=о на Зь которое не оговарнваетсн для оставшейся части, 5,'), где (7.42) (7.43) границы, обо- (7.44) обозначаемой ~ (р+ — 'т ~зта$=0, з, (7.47) что с учетом произвольности 6Т нв 5» дает (»УТ)дл)-1. р 0 на $н (7.48) Теперь рассмотриы случай, когпа функция Т являетсн непрерывной н имеет кусочно-непрерывные парве(е пронзводныв. По.
верхнастн разрыва первых производных разделяют область О на подобласти К каждой ш подобластей может быть применена формула Грина, и, слеловательно, уравнение (7.38) справедливо дла подобласти Объедннеггне этих уравнений для подобластей лает уравнение для области, совпадвюгцее с уравнением (7 38), эа исключением дополнительного члена в правой части — интеграла по поасркности раздела. Этот интеграл оказываетсн слагаемым в ') И»те с.)час аса рхамгннэ аагеграа (!.Зз) мшхуюмнх !раз. неааах атее н са мотает та»нно к 3,. в з, 1»м 5 $, + 5„ (7.46) н, кроме того„если пробнме функции т(х, у) выбираются таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям (7.44), то вариации Т обрашаются в нуль не $ь т.
е. ЗТ=О на $ь (7.46) Тогда выражение (7.416) принимает внд Гзэа у среднем выраженнн уравненнн. Однако благодаря тому «то ВТ ' являетсн произвольной величиной на О + 5, интеграл по обла. стн, поверхностный ннтеграл н интеграл по поверхности раздела в (7АО) должны быть независнмымн н по отдельности рав. няться нулю. Поэтому уравнения (7.41) †(7.48) остаются спрн. ведлнвымн, когда функция Т непрерывна н имеет кусочно-непре. рыаные первые производные.
Короче говоря, нз вышензложенного следует, что фунндия') Т(м, у), обеспечнвающая стацнонарность. функционала (7.33), является также решеннем ураввсннн для поля и Угу=О в О (7.42) н удовлетворяет условны Дирнхле (7.44) Т=у на 5, и условню Неймана . (дТ(ди)-1-Р=О на 5э (ТАВ) В рассмотренном примере граничное уславне Дврнхле (7.44) является предннсываемым, нлн гдавным граничным условием, тогда квк условие Неймана (7 48) представляет собой естественное граничное условне. Последний термин естественным образам вытекает нз самой вариааионной процедуры.
Кстатн, сле. дует заметить, что в некоторых случаях естественное граннчяое услопие может быть нзменено модификацией функцнонала, чтобы удовлетворить требаевнням наследуемой задачи. 7.4, ДОПУСТИМОСТЬ И КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Важно, чтобы была соверщенно понятна роль, которую нграюч условия допустимости, налагаемые нв пробные функцнн в вариационной задаче. Функционал для таной задвчн может быть вапнсан в общем виде следующим образом: х=) Р(у ° у ° у ) д о где уь 1= 1, 2, ..., т,— функции незавнснмых переменных Для использования варнацнанных процедур, опвеанных в равд 7.3.! н 75.2, нужно указать требования к глалкостн пробных функцнй уь уь ..., у, которые используются в (ТА9). Этн требававня к гладкостн являются услозилми доиустииости функций в рассматриваемой задаче. Для простоты будет про '1 Иэ .а ы ю ус их дункана т зк«к, «оюрие ззэзютгз неирг.
рмззиии и ииекп ку о з -игзр риззие исгзие ироиззодеи Взэи Чииииав игтигмгии. и еги «иимоиэииэ 166 аналнзнрован случай одной завнснмой переменной, т. е. ш 1 в (7.49), но рассуждення легко могут быть обобщены на слу гад двух н более зависнмых переменных. Следует отметить, что требования к гладкости, налагаемые на пробную функцию определяющим диффгргайиальиым уров. некием, функционалом н зариациоииыми лреобразозаиилии'), вообще говоря, разлнчны. Рассмотрнм в качестве примера за.
дачу нз равд. 7.3.2, которой соответствует дифференциальное уравненне второго порядка (7.42). В фнанческой задаче, описываемой зтнм уравнением, физи'ыское решение обычно являетсн непрерывным вместе с непрерывнымн первой и второй пронзводнымн. Функционал (7.33) содержнт только первые пронзводнме н может быть вы~пален, еслн пробная функцня непрерывна н нмеет кусочна.непрерывные первые производные.
Еслн бы функция сама была кусочно-непрерывной, то первме производные были бы неопределеннымн') в точках разрыва я значение ннтегралз соответственно было бы неопределенным Хотя иириациоиные преобразования между (7.35) н (738) нз. кладывают требовання непрерывности пробной функции вместе с венрерывнастью первых пронвваднык, заметим, что формулировке мажет бить обобщена на случай непрерывности пробной функции н кусочной непрерывности первык производных.
Условна дл» зтога случаи являютса самымн слабымн лопустямымн условиями относителыю гладкости функций, найгагаемымн ва. рнацнонной процедурой, и поэтому рассматриваются как усло. вня допустнмостн задачи Заметнм, что условия гладкостн, допускаемые варнацпон. нымн преобразованиями, совпадают с аналогичными условиями, налагаемыын функцноналом. Действительно, условна гладности, связанные с варнацноннымн преобразованиями, не могут быть более общнмн, чем соответствующие условия, опрелеляемые талька фуннцноналом.
В следующей главе будет определен довольно шнрокнй класс инженерных задач, определяемых уравнением (83). Для этого класса наиболее общие условия гладко. стн, допускаемые вариацнонной процедурой, совпадают с условиями, палучаюшнмнся нз функционала На, как показано в равд. 8.8, это не «сегдэ верно для другн* зла г ') Ус инз эоитстииостз задаю амк ть. тг ауемг а м загизциозноь гацзауги. Дзз уаоаюзз з зтаи г зз зе м лк тз, ааиусизем е фуинк»а и о и Ок а ьничи) зариаико и з гтоерзшззак и, гэ г р» аюкм и отд зьзосгк зоскотьку агюэгэ е а и нала ю 6 з изс к е треб зз° аз, чаи у э зиз зозуетнюктн Ц В з зюйз уре такие аеоиээле. энз раиззол ис и м ршстозэ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
