Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Для гаинк полнномов, полных только вплоть до порядка р, ошнбна больше н скоднмасгь хуже, чем для совершенна полного полннома. Эти результаты согласуются с рассуждениями в равд. 8.3 н критерием 1())]. Более общий подход к схадимости использует запись функционала в виде сумми вкладов. В результате производнис в функционале вычисляются ие дифференцированием по области а дкфференцированием на каждом элементе па отдельности, что позволяет обойти проблему разрыва производных прн переходе через граниду между элементами.
Позтому сходимасть даже несогласованных элементов может быть исследована на основе того, стремится ли функционал (вычисленный описанным способам) к истинному значению по мере стремления к нулю размера элемента. Анализ сходимостн наиболее удобным обре. зам формулируется в терминах гнльбертовых пространств и энергетическим норм. Оливейра (16) с нспалыованием послед. пята подхода пролемонстрнровал, что дяя класса Палач, рас. смотренных выше, можно быть уверенным в сходнмости метода Ритма, если и в вределах элемента аппроксимируется полным полиномам вплоть до порядка р (где р — порядок наивысшей производной в функционале) прн условии, что требование со. гласованиости аиполняется.
То, что полнота') и согласованность являются достаточными условиями сходнмости, била под. тверждено Оденом (1Ц с помощью боаее общего анализа того же самого класса зядач. Вмшесиззанное позволяет для рассмотренного илассн задач установить критерий ограниченной сходимостн. Критерий И (8). Условие сходнмостн состоит в том, что элементы должны бить согласованными, т, е, при переходе через и згат тярняя я пользуется лныь и дялы та с ноле, О лп р «гн НЮОюа нл э Опши язляется пзлннам, пОлн а ЯО поряюш р энлюч и лш Гл вл 3 Плов мосю, л ли а и слгласлл лмллгл гранину между элементамн должнм бмгь непрермваы сама функция н ее пракзводиме вплоть до порядка р — 1 включи.
~ельни, где р — наивысший порядок производных, содержащихся я функционале. Таким образом, вывод Оливейры состоят в том, что для одного н того же класса задвч кратерин 1(й) н П(й) являются достаточными условнямн схаднмостн четода Рнтца. В.б. ОШИБКА ПРОБНОЙ ФУНКЦИИ И НЕСОГЛАСОВАННОСТЬ Паттерсон (17), нспользуя технику гнльбсртоных простраастз, показал, что крнтернй полноты а критерий слабой согласован. ности являются достатачнымн условнямн скоднмостн зарнаннон ного метода конечных элементов.
Эта согласованность, т. в. межэлементнмй критерий, требует того, чтобы разность нлн разрыпность а й при переходе через гранниу между элеиентамн стремилась к кулю быстрее, чем диаметр наибольшей подобласти. В двумерных задачак этот критерий удозлетворнется, если разшкть б обрагдается в нуль как минимум дважды (на каждой граннне между элементами). Класс задач, для которого были полугены такие результаты, совпадает с рассмотренным ранее; отличае состоит в том, что использовалось более общее соотношенне Ши = 1, где оператор ю' должен быть положнтельно определенным.
В работе (17) рассматривались однород. ные граничные условии, но было ~акме установлено, что те жа результаты получаются для общего класса неоднородных условий. Мсжэлеме!гтиый критерий Паттерсона может быть обобщен, исхода нз соображения, что условие схадкмости !Г точному ре.
шенаю должно состоять в том, чтобы пробная функцяя б стре. мялась к точному решению по мере гага, как сетка становится все более мелкой. Вто приводит к более общему крнтерню сходимости. Критерий П, Условие скоднмостн состоят в том, что по мере стремления н нулю размерз злемента члены с нронззоднымн и функпней в функцнонале должНы стремиться к функции тай же гладкости '), что я точнов решение.
йб НЕСОГЛАСОВАННОСТЬ, НЕПОЛНОТА И ТОЧНОСТЬ Лля рассмотренного класса задач показано, что «рнтернй !(11) (полноты) и нрятернй П(й) (согласованности] являются доств'! Зле изсдвслз л л и лз рмлмо«ть тсчншл р и ы фюшесвм зллз, «а сэмх з ммвв эвзэмвнс, взвэвмсэ вб.зс зх, л мсм з у;ырвм юл«шн гр жв«м точными уславнямя сходямости. В более общем смысле любой нз кратериев !/1(Е) вместе с какам.нибудь. нз крнтеряев П/П(й) представляют собой достаточные условия сходнмасти зарнацноннога метода конечных элементов. Стоит отметить так. же следующее: 1) Если удовлетворяется критерий 1, то критерий П будет удовлетворяться как следствие, поэтому критерий ! есть необ. ходнмое н достаточное условие сходнмостн.
2) Как показывает работа Паттерсона, полнота представ. лает собой более сильное требование, чем согласованность, н на практике часта является достаточным условием сходнмости. Очевидно также, что критерии 1 н П становятся лосгаточными условиями сходамостн для других методов конечных элемеатоз, таких, как метол взвешенных незязок н метод аанменьшнх квадратоз, если термин фумкциоиал в формулировках этих крнтеряев заменить на оирздлляюгций, нлн ключевой, имгелрол.
Как было подчеркнуто Зеякевичем (!В), такой интеграл получается зо всех методаХ конечных элементов нз определяющего ураннення задачи с помощью соответствующей процедуры. Из предыдущего может показаться, что все типы элементов, для которых гарантируется сходнмсють, одинаково полевым, ио это далеко не так. Нельзя игнорировать тога, гта на практнке очень важна точность.
Если резулшаты пря «овсяном размере элемента, диктуемом экономней вычнслеаий, дают большую по. грешность, то наличие элемента, который дает сходнмосгь ревультата к точному решению по мере стремленяя размера элемента к нулю, является слабым утешеннем. Как можно на практике определять точность вычисленного решення? Ответ таков. в общем случае никак. Одним нз двух способов, однако, часто можно получать достаточный показатель точности. Первый со. стонт н там. что с помощью таких же элементов решается аналогичная задача с известным анвлнтн лескам решением Определенная таким образам сшибка может быть использована для оценки ошнбнн в рассматриваемой задаче. Второй метод тре.
бует того, чтобы тип сходнмости был предварительно определен для конкретной формулировки метода конегиых элементов н дл» ковкрегнай задачи. Если нззестно, что сходямость улучшается монотонно') по мере уменьшения размеров сетки, то можно решить задачу несколько раз с последовательно уыеньнгаемыми элементамя н для получепня оценки схадямости решения экстраполировать результаты Как было показано Оденом (11), монотапаая сходнмость метода Рнтца к тошгаму решенню нмеет место, еслнг '! Заме зм, ч а мозоюмвв схадююс ь сирсдсшсг только тап сшдн сгв, во вс глрзв руст з рзогс рсюснвя.
177 г. и з ьзэззаэ гв, а с а з сэг асзза азсгэ 1) тип элемента удовлетворяет условиям поляоты н согласованности па критериям 1(Е) и !!О()! 2) размеры сетки уменьшаются таким образом, чтобы зле. менты каждого воследующего уравп» представляли собой части соответствующих элементор предыдущего урони»; 3) подмножество раэбиеняй каждого уровня содержится в подмножествах предыдущего уровня. Рассмотрим, например, функцию, линейнуго на треугольном элементе, н прелположим, что удовлетворяются условия полноты и согласованности (1).
Разбиение каждого треугольника соединением середин его сторон удовлетворит условию (2); а поскольку каждое последующее разбиение является линейным, условие (3) также удовлетворяется. Однако для более сложных формулировок удовлетворить требованиям монотонной скадимости нелегко. В частности, уменьшение раамеров сетки определенной процедурой может породить после некоторого разбиения больше элементов, чем может быть обработано имеющимся вычислгпельпым оборудованием. Часто, когда не удовлетворяются ни условия палиотм, ни условия согласованности, а выполняются более общие критерии 1 и 11, гарантирующие схоаимость в пределе, предполагают, что ври ненотаром размере элемента получается единственное решение.
Однако при больших разиерах элементов вычисление может быть неустойчивым либо может существовать ыноже. ство решений; на па мере уменьшения размера элемента достигаетс» критическая точка, ниже которой волучзется устойчивое сходяпгееся решение. Единственнзя трудность состоит а том, что этот критический размер настолько мал, что вмчислания становятся неэконоинч. нымн. Даже тагдаукогдв для любого размера элемента получается единственное решение, ошибки для элементов разумных размеров могут быть большими н, если сход!!мости не мшютонна, могут таиже изменяться неожнданныя образом.
Указанные выше трудности не азна ~ают, что не следует нрнменят. несогласованные и/гглн неполные эле сэты. Бывают полезные несогласованные, а в некоторык случаях и неполные элементы, которые дают высокую точность и быструю сходи. месть Действительно свойства таких элементов могут быть лучше, чем у согласованных полных палниочиальных элементов той же степени Зенкевич (18) указывает, что в некоторых слу. чаях наилучшими дл» практического использоваяия «вляютси несогласованные, или несовместные, элементы. Несогласованные элементы, нонечно, не следует недооценивать, но и нельзя рекомендовать неопытаому вычислИтелю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
