Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 28
Текст из файла (страница 28)
хежю значение во всех другнх узлах; арн агом П сводятся к йь когда урааненне (9.18) рассматрпвзется в узле й. Как поназава в следующем разделе, зто свойства позволяет попользовать пн терпаляцнанные формулы для получения базгшных функпнй. Рассмотрим аппрокснмапню функцнн и(к) полиномом р-га порядка, где значеняя э(х) заданы кзк и»,, а,, в .р+ ! тачках хь „,, х , Из чнсленяога анализа вззестна, что ф»як цвя п(х) может быть запнсана как поляком р-го порядка »ы в(х)= х„Е»(к)и», (9.19) где Е»(х)-полянам Лагранжа, определяемый равенством лн Е,(х)- Следует отметнть, что так называемые базовые точки х», ..., х,», не обязательно расположены равномерна, хотя это часта бывает улобным.
Использавапне равенств (919) н (9.20) нз стороне 1 — 2 пря. маугольннка е (рнс. 9.1) позволнет определнгь й на эгей старане: И1» »=Е»(Ма!+Ег(х)йь (9.21 Аналогично для стороны 4 — 3 получнм й(» Е»(х)й +Е (х)аа (9.23) где Е,(х) н Е,(х) определены равенствами (922). Представления твоа (921) в (9.23) используем прк постоянных у (р = у» в у = й» соответственна). Снова может быть применена кнтерполяцпонная формула Лагранжа, на этот раэ в напр запевна у: й = Е.» (у) й !»-» + Еэ (р) й 9-», (9.24) Подстановка равенств (9.21) н (9.23) в (9.24) позволяет окончательно запасать пробную функцию й элемента е в зиле й = Е, (х) У., (у) и, + Ее (х) Д (у) й, -1- М (х) Ез (у) из + Ее (х) 1.» (р) ие (9 26) где разные полпяомы Лагранжа заданы равенствами (922) п (9.26).
Сравнивая выражения (9.26) п (9.18), получим базис. ные функция в виде й», = Е, (х] Е, (р), 3»з=Ез (х) Е»(у), Агз Е» (х) Ез (у), 3»» = Ез (х) Ез (у). Можно показать' что базнсвые фуинцвн, полученные подстановкой равенств [9,22) я (9.25) в (9.27), ндентпчны базисным Г«яэа З Л«ш««м ««зоз«гаа функциям, следующим кз (9.13), что свидетельствует об эквн. валентности обоих подходов.
Проверка этого факта предо!таз. ляется читателю в качестне упражнения. а.т.т,т. Вэватозн.еле впв Базисные функции для эрмнтовыд элементов могу~ бмть получены аналогичным образом, но с использованием зрлиголых лолннамоз вместо иоливомов Лагранжа, При этом узловой век.
тор будет нключать узловыг значения не только фуниции, во н ее производных. Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент е с з узламн, причем узлы не обшательно расположены равномерно, Пусть у каждого узла имеются дае степени свободы — фувкцив я и ее производная дп/дх. Следовательно, пробная функция для элемента а может быть записана в ваде й ~ ~Мы (() ш+ Мы ( ) у„ь]. з $ У базисной функдвв Нс в равенстве (9.28)' первый индекс обозначает порядок дифференцирования соответствующей узло.
вой переменной, а второй в ноыер узла. Дл» того чтобьг (9,28) в узле й давало Н« и дй«/дх, функции Мс;(х) н Ми(х) должны (прв !чь1) удовлетворять соотноше. пням Мм(хд- 1, Мн(«В=0, М!з(хг)=0, М(~(хз) 1, Мэ, (х!) = О, Мп (х ) = О, (9.29) Маз(хз)=0, МЕ(хг)=0. Раненствам (9,29) удовлетворяют эрмиговы поливомы (19) ()= Ц „„(.
— д. (980% (« — «г)т В качестве конкретного примера рассмотрим случай а 2. Равенство (9 28) при этом принимает вид 0=Ам(х)кю)-Мп(х) л„' +Мюз(х)да+аз(х) л ' 0) 3!) да дз, где базисные функции (« — *, !' Мп(х)=- — *.-'~(х — х,) получены вз (930) и (9ЗП. В случае исвальзаванн» локальных координат З (х — «,)/Д где Ь=хз — хь равенства (931) н (9.32) принимают вид Й=ма~(!)й~+мп6) л» +мм!4)щ+м~з(З) э', (933) Мп (!) 1 Зсз + 2!з Мы Д) ЗР 2Р М, (4) Ц(! ЗР М (В 0(йз Р) (9.34) Узловые производные ди~/дх и диз/дх а (983) могут быть за. мевенм на ди,/д! а дйз/д$ соответственно с помощью саатно.
щения д/дх = 0-'д/дй! при атом 0 вз второго в четвертого' равенств (9.34) исчезают. Описанная процедура мажет быть (10, П, 1У) обобщена включением дополнительно к функции и ее первым производным также производных от в более высокого порядка. Для двумернмх элементов интерполяция првменнется дважды: первая — в явпранлевии х в вторая †направлении у (как в равд.
9.2.2.1), что дает базисные функцви в виде произведения одномерных базисных функций. В равд. 9.3.2.3 будет рассмотрен простейший прямоугольный элемент с четырьмя степенями свободы в каждоы узле, а именно и, дя/дх, дл/ду н 0«н/дхду. 98. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ Когда используется произвольная глобальная система координат, значения узловых координат ограничены только границами области.
Было бы полезным упрощением, сели бы экстремальнме значения этих координат принимали значения — 1, 0 или 1, Этого можно достигнуть выбором локальяой системы коорлннат, пРввязаииой к элементу так, чтобы координаты менялись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат таиага типа называется системой есгегтяелкых орб Преимущество естественных координат состоит в том, что интегрирование по элементу для метода конечных элементов часто мажет быть проведено в стандартном авалитвческом виде дв и ги и щ-вввавюв ю! Глава У вз.!. естествеемык координаты в однамкрпом случдк Рассмотрим одномерный элемент е с узлами ! и 2, каи иа казана на рис. 9.2.
Координатами узлов ! и 2 в глобальной си. стене Ох являются к, и хз соответственно. Ввод» локальную э иг Ри* Н.з. Оаиоивэвиа шеи к систему Ойг с началом в х, и с осью йь направленной вдоль оси х, получим $,=х — хь (9.33) или, разделив на длину (х, — х,) элемента, Ь в, — в, ' (9,36а) В равенстве (9.36а) и далее в оставшейся части раздела черта сверку испальзуетс» для обозначения нормированной координаты. Если выбрана локальная система О(в с началом, совпадаю. щим с «в, и осью йь направленной противоположно аси к, то тогда получим (9.366) Из равенства (936а) можно заметить, что йг = О прн х хг и йг= ! при х=хг.
Аналогично вз (9366) 33=! прн х х, и (в = О при х =хе. Легко удостовериться, что $~ н йв совпадают с Ьв(х) и Е,(х), определенными соответствующвми равенствами (9.22). Обе координаты кг и (э измйняются линейно е зависимо. сти от х, как мщкво видеть пз (9.36а) и (9.366). Прн этом незв.
внсима только одна из координат зг н йв, что следует из соотио. щения 3,-~-[гв йэ(х)+Ь,(х) (, (9.37) которое легко доказывается. Естественные координаты йг и йв [или Ьв(х) и П (х)] явля. ются фуикцвямн незавнсямой переменной х и узловых коорди. наг х, и х, и принимают значении ! в одном из узлов п Π— в другом. Поэтому зппроксимацией для й на элементе е будет й = Зя)г + $гйэ, (9.33) или й = Ь, (х) й, + (а (х) бм (9.39) Сравнение уравнений (9.39) и (9.2) показывает, чта базисные функции А[г и Агв определяются выражениями Агг 4 йг (х), Агв р Вв (х), (9.40) Используя метод обобщенных координат ггх предыдущего раздела, можно также показать, что пробная функция й = и, -(- иэк (9.4!) дает те же базисные функции, что и в уравнениях (9МО).
Для рассматриваемого элемента базисные функции определяются либо неявка через уравнения (9.(3) методам обобщенных координат, лабо явна интерпаляциоиным метаном. Хотя оба метода оказываются а этом частном случае вполне простыми, ннтерполяционвый метод обычно выгоднее для элементов более сложного энда. Прн вычисление вклада элемента обычно встречаются пра. извадные, такие, как ди/дх, ди/др, и произведения членов вида хди/дх. Обычно элементные вкяадм могут быть выражены в естественных координатах как проивведени» узловых значений и интегралов типа ~(((х)щ~(х)дх, где а в Ь вЂ” целочисленные поиазатели степени. Интегрирование можно провести авалитнческв согласно формуле в~ы 61 (х) Ьт (х) ( = ( + э + О! А', где Ь' †дли элемента е.
элл. естественные координаты в двэмкэиом слэчле Коордииача площади в двумерном случае аналогична коорди- нате длины в одномерном случае. Для точка Р а трехузловам треусольном элементе такая координата определяется делением площади треугольника, образаэаннога точкой Р в соответствую- щим основаниам, ва площаль всего треугольника Поэтому, как показано на рис. 9.3, коарлииата Ь, раппа А, /., =- — ', а Р Р Улез яги я ях гясаггяр !ез гш муле 1' ' ° - ° я яцщ (я+з+гц.х)г йб' У Уг Уз Уя (9.44) уг у (9А8) т 3 «,\мз где Л| — площадь треугольиина с вершиной в точке Р' и осип.
ваиием Ег = О, а б — площадь треугольного элемента. Координаты Ез и Ез определяются аналогично. Основаниям треугольника соответствуют Е1 = О, Ез =О и Ез О, а в противополож. цык вершинах зти коорлииаты равны соответственно Е~ 1, Е ! иЕ,=1. Из простой схемы рис 9.3 асио, что свааь между декарта. вмми координатами и коордииатамн площади определяется ма.
трпчиым ураваепием где выраженгге для третьей компоненты летно получается ив рнс. 9.8 и определений Еь Ея и !я. Координаты площади !.г, щ Рис. ЕЗ Кяерд я и и а я т иопз тряхтзя * р у о. ною яяе- иянг и Ез подобны базисным функциям в том, что они имеют значе. пня О н ! в узловых точках. Г!оэтоиу аппроксимация для й на (линейном) злемегпс е пожег бить записала з ваде а = Е,а, + Е,,а, + !.,ае (9А5) Сравнение уравнений (945) и (9.2) показывает, что базисные функции уь уз н йгя для рассматриваемого элемента задаются как М! Е й ге Е Уз Ея (9.46) Вклад лемеита, полученный первоначально а глобальной онстеин координат, может быть преобразован н естественной системе коорлинат площади с помощью уравнения (9А4).
В общем случае элементные вклады содержат интегралы вида Егсзсза!У„которые можно вычислить аналнтически по фор- Заметим, что естествениме координаты могут быть опрелелеиы и для четырехугоньиых ьлемевтов (6). ацз, нсуественные коорднндты в трехмерном слнчле В треямерном случае естественными коордннатамв служат отиыленпя обьемов, или объемные коордниатм, Объемвак ноор. Р с Е4. Оаъеияие яе рд яги дая тяиячвсго тетив *узлов го Зяшряяьноп я я ентя е. аииятв Е, точка Р в показанном иа рис. 94 тетраэдрзльном зле- ченте е с четырьмя узлами опренеляется цо формуле где Уг — объем, окватываемый точкой Р и гранью, противоположной узлу 1, а 1г — объем всего тетраздра. Объемные координаты Ез, Ез и Е, определяютса аналогичггым образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
