Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Задача форыулнруетс» з лаиальнык г эб ми ноординвтах с системой координат бйц (рис. 5.3); принята локальная нумерация узлов 1, 2 и 3 против часовой стрелки. Ко. з Рнс. в.! задача еплазрозодэомн ° л у у се туеунмьное аблзстн. ордиивты х и у всех узлов приведены в табл. 5.1. В табл. 5.2 длн каждого элементе указаны соотношения между локальными .у Рнс. Б.З. Рээбжнн эблассн а д э ть х с нэ элькен и глобальными номерами узлов, а танис характерные размеры е,бис В «ачестве пробной функции выберем полный кубнчесний полипом относительно переменных й и ц; тогда для зиемеитв е' Занэнээн жсн.нмэ, ксндээс Чнэ н эранэч мэ К о звб Рнв БЛ.
Лекал а м э к ординат у уэм его туэугольного эзэ ен а, Рнс. Б.с. У езне парапету» уэугчаьа*гс зчэнэнтэ. имеем Ть=а~-режь+ оэц+пээ + айэ)+оэб +сусл* + "й*б+ мйц'+. ч'. (5.!) Г ззь б Зале где нижний индекс Е указывает на дркальную снстему каордннат во избежание путаницы с интерполяцией в глобальных координатах Для определения 1О констант аь, аз, ..., аьь эде. мент должен иметь 10 узловых параметров; в качестве параме. тров выберем трп значения функцпн п ее первых производных Таб.
аче б! Кьардееатм уьзь а, а = [аь) = (5Я) а т В 9 !с ао в паждом узле вместе со значенпем функцкк в центре маСс' ), нзк показана на рнс. 5.4. Коордвнаты центра масс С, обозначаемые (Вц), задаютса в виде а — а [= —. 3 '!= 3 (5.2) Температура в третьем узле обознвчаетс» Ть а ее производные по Т.к ц запнсываютс» соответственно кап Ть, и Т„!. Длн узлов 1 п 2 попользуются аналогичные обозначен»»; т,.йсть температура в центре масс. Рассматривая функцию, определяемую равенством (5.1), и ее пронзнодные по 5 в ц поочередно для узлов 1 — 3 н в центре масс С, получнм 6,7) ! -ь а е а , а ' э а а а е а а е а е ь! -ы! (б. 3) '! !!р ыбар р б ы фуззннн оезрьрм м, из и рвыь прана.
эадн «уса!во-аы р рм а рыь агап аь аа абьастн. ь ь* а п -м а ! б е ы е ! а а а е ь ! ь а ; ! !. — ы:л .!. — ьш ь -ь' з зь' с а ь е з: з а з ь ! а 'и! -ы'л! д Ч Ра ь ьадсюь !07 Систему уравнений (5.3) праще можно эапнсать в матрн'!вой форме: Аа = Ть. (5.4) Мзтрнца А с элементами щ! в уравнен»я (5.4), т. е.
А=[оп), 1=1,2, ..., 15, /=-1,2, ..., 10, (5,5) является мвтрнцей поэффпцнентов уравнен»» (5.3), а в вектор- столбец, а Т, есть узловой вектор элемента в локальных «оордпнатах, а нмеино Т, Тм Т, Т, Т =[Т) Ты Т, Тм Т„ Т, Уравнение (54) относительно а может быть разрешено едпнственным образом тогда н только тогда, когда матрнца А не вырожден», г.
е, определитель [А[ отличен от пуля. Вычислояне определнтеля дает: бе! А = ) А ( = — с'(а + Ь)г/27 (5.8) Поскольку площадь треугольннна определяется произведением -с(а + б) н ннногдв не равняется нулю, нз (5.8) внлно, что ! з определитель [А[ также ннпогда не может быть нулевым п, следовательно, матрица А не зарождена н обрат»ма. Поэтому умноже»не слева уравнения (54) на матрнну, обратную к А, Эрлеюеи шел!зги, рчд и 1 е и гре инеи условия 102 Г е б , Г О.мц О.з Степени елецеиэа ь ого реле Г бац бл Сеетиамеи иб лу г бельииме е лезельзмич номере е ар* э дают тот же резубьтат, что п ранее [см. (2.74)), за исключе. пнем того, что верхняя граница суммировенвя заменяется с 8 из 10,т.е, И га к'= 2 Х Г а!ума!.
(5.15) 1!Г ! которую обозиячим А-', дает:, А т. Введение обозначення В А '=[Ь,!), .1=1,2, „10, /=1,2..., 1О, (510) Значения 1[ц ведаются соатношением (2.90), уп=т,а!я(ем+юг — 2, и, +лг)+п,пгй(ги, +юг, л, +пг — 2), (5.16) для которого индексы !, / имеют. другие травины, а именно ! = 1, 2, ..., 1О, ! 1, 2, ....
10. Здесь Ь(а, п) определяются из 2.89 позволяет перепнсеть уреейение (5 9) в виде а вт (5 Н) ( ) Ь(а, и)= 1„+„12!! Рзвенство (5АВ) может быть записано в матричной форме к'=-а!ба, 2 (5 18) нли, по другому, используя стандартное обозначение суммира. вэния, о,=б,171, ! 1,2, ...,10, / 1,2, ...,10. (512) 5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИс/ННХ УРАВНЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ е с учетом урэвиеивя (5.11) оно иринимеет вид х*= —,,' т,'(в'ОВ) т,.
(5. 19) Из равенства (5.7) видна, что в метрике Т! узловые параметры записаны в локельной системе координат Ойц, Теперь необходимо произвести преобрззонание и» а глобальную систему Оху, Связь между перзымн произаоднымн е глобельиой и локальной системех, устзновленнзя в гл. 2, имеет вид Прабиея функция [равенство (5.1)) может быть записзиа в виде н Т:-3 аА" ц"г, (5, 13) где показатели ри н и, зядеются табл. 5.3 Дифференциравяние равенства (5.13) по 3 и 9 и пошгзиовнз этих производных в вы- ражение для элементного вкладе [равеиства (Вб9)] ду/дй 1 [ .
соз О з1п 0 1 1 '"'" 1 08855) [ 1 1 дТ/дц / Š— з1п 8 соя 8 Д ~ дТ/ду Д ' 2 )) [х а! ) +ц бгг) /дйдй (5.14) з 2 б 3 1 и б 1О 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 О 0 О 0 ' О О О О О 0 1 О ' 2 1 б 7 1О 0 3 2 1 О Зрм ори з гмем м омаг гаянэ еремее з Э оаиз нз 110 Г*мве З где (5.25) й КгВГСВК где 9 — угол между двумя системами координат. Следовательно, узловые параметры в системе 099 связаны с соответствующими парвметрамн в системе Олн посредством матричного уравнения есть элементная матрица жесткости й. Наконец днффереицнро.
ванне равенства (5.24) дает матричное уравнение для любого элемента е в виде дх')дт = й'Т', Т„ 7, тле верхний индекс е указан для того, чтобы различать элементы. С целью проиллюстрировать вышеприведенную процелуру для задач» рис, 5.1 подставим знзчення о, Ь и с, взятые из табл. 5.1, в матрицу коэффициентов А нз уравнения (5.3). В ре. зультате подучим (3. зв) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0' 0 0 1 0 1 0 0 0 3 0000 0 О 0 0 О О 0 0 1 0 0 1 2 О 0 3 0 1 О 0 0 0 1 0 010'0 0 0 2 0 которое может быть записано в виде т =кт, (6.21) где Т вЂ” вектор узловых параметров элемента в глобальной си. стеме координат, т е.
(5.27) Обращая эту матрицу, найден т=(т,)= (5,22) 0 0 0 0 0 0 3 -1 -7 2 0 0 -2 1 7 — 2 7 -2 0 0 ! 0 0 О 1 0 0 0 -3 -2 0 -13 -3 -3 -3 0-2 2 1 0 13 3 2 13 2 3 2 0 (5.26! В=А 1 в матрица Т, определена равенством (5.7). Матрица преобра. заваиия К представляет собой матрену коэффицдеятов в уран ненни (5.20). Подставляя (521) в (5.19), получим Х'=-' ТГКГВ СВКт, 3 (5.23) Из равенства (5.16) н табл. 5.3 Оолучается матрица С в виде, заданном равенством [5.29); илн х = — тгйт. ! з (6.24) Т„; 7 Ты Т, Т„, 1 О о ю в О -Щя О о О о о О и О О о о о О О О О О мн О 0 сочв О 0 О 1 О и в сото ΠΠ— Р П О О О О О О о 0 и О о О О 0 О О О О 0 0 О О 0 ввз О О онз О О О ! О о о сото О О.ппо О О Т, Ты Ты Т, Т Т„ Тз Ты Тзз Т, О О О О О О 0 О О О О О В О эве О сота О 0 1 1 О 0 0 1 0 0 0 1 1 ! 0 О 1 0 0 0 1 0 1 0 1 О 0 0 1 0 0 0 0 0 О 0 0 — 1 -7 0 3 0 О 2 7 1 7 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -! 2 27 0-1 0 0 0 0 1 -2 -27 2 -2 -27 0 1 0 лрмнтоз з 4 ен .
«Онбенсез н н зрннпмнз В н ! )3 й ооо"о е Вычисление элементов (3.29) с панопгью (б.!7) дает С в ниле о 'ь ФФ юь й 0 О 0 0 Ю 0 45 15 30 60 О 15 15 0 54 32 30 15 9 !5 15 60 0 6 9 0 54 9 15 6 . 9 18 !5 )2 3 6 .954 0 3 0 0 0 О 0 90 0 60 0 0 90 0 0 60 О 60 0 30 '30 15 0 0 60 0 0 45 0 54 0 !5 15 12 0 15 15 6 00450 0 0 15 0 15 45 6 0 !5 9 12 54 3 О б 3 )О 9 ' 9.54 е о ь 1 С=— 180 (5.30) о Ю Произведение В'СВ в уравнения (8.28) после подстановки из равенств (5.28) и (5.30) определяется матрицей ь о Н о о о Х 3 7! — ! 5 ! !! 42 ° Ыа -9 — 34 И М Зб 248 Ю 42 -9 -Я -З! -4Ю оооо Л в ов = °вЂ” 780 ь ь о о" (5.3 1) о й о о о ~ Ф Матрица поворота Ц длн наждого элемента может бмть найдена нз равенства (о20).
Из рис. 62 и табл. б.! следует, чта ООСзо "Оо Ж О=Ю', сааб=0, з)пб=! длн е= 1,3, 5,8, 8, 9, (5.32а) о Юо ыоо кц о оюза ь 8 — 90', сааб=0, з!пб= — 1 для с=2,4,7, (3.326) Ф н поэтому необходима вычислять талька две матрицы поворота. Подстановка уравнений (5.32) в (8.20) дает эти матрицы пава. оооооооьоо о 4 .н .н Ф бт 398 38 38 7! 4Ю 3 и 3 -22 -5Ю 38 38 !О О О !О !! 3 — ! ! 5 Ц ! -1 -! -4 -54 54 7! -22 Ы -4 5 -! 2Ю -52 -52 и 42 -9 1Е! — 34 Зб -9 -34 з 459 708 3 -22 ! †! -4 Зб -34 -9 8 1О -9 42 -М )4 -9 -9 !4 81 ЮВ -5Ю вЂ” 54 — 54 -459 юз -8! -459 -8! !08 )458 г Оа 114 рата в виде для элементов 1, 3, 5, 6, 8, 9 в 0 О 0 О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О О ! О О О О О 1 ΠΠ— 1 О О 0 001 О О О 0 О 1 ΠΠ— 1 О О О О О ! О О О О О О О О О О О О 0 О О О О О О О 0000 3 22 73 - 22 1 1 1\ -4 -5 Ю !2 НО -Н ь-е*в'овз.— $ " 180 1 ° 9 30 -9 Н Н.
-8 34 Н 2Ю 12 -$ ° 52 Н Ю .9 -42 9 $1 -Ю8 -459 10$ (5.38) 15.$0) Н $1) Н 1458) л.тн элементов 2, 4, 7. 5.3. КОНДЕНСАЦИЯ для элементов, 1, 3, 5, 6, 8, 9 и О О О О О О О О О О О О О О О 0 О О О О О О-! О 1 О 0 О О ! О О О О О О О О О 0 ΠΠΠΠΠΠΠ— ! О О 1 О О О О О 1 О О О О 0 О О О О О О О Узел, лежащий в центре масс, влияет только на вклад элемента, которому он принадлежит; следоватеаьно, обычные условия ми- нимнаации получаются в виде 1 + — ~ Е Зх зх' (5.37) а, кюзт, аг, где индекс с соответствует центру масс элемента с,. Используя (5.37), нз каждого матричного уравнения для элемента можно исключить узловая параметр, относящейся к центру масс Эта процедура называе3ся яолдзисая1404 н мажет быть использована в пбщем случае для исключения параметров любых узлов, ле- жащих внутри элемента. Использование (526) вместе с (537) дает для узловога параметра Т, в центре масс элемента е урав- нение яля элементов 2, 4, 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
