Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 13
Текст из файла (страница 13)
!О будет показано, что при решении системы уравнений нет необходимости размещать в оператяаиай памяти зсю ыатрицу жесткости системы К Обычно при использоеанни прямых метадон решеяин а каждый момент зреыени активной является лишь треугольная матрица элене!Пое, тогда. как дли иепримых методов необходимы всею лишь несколько строк, В случае больших конечнозлементнмх программ оперативная память современных машин может бить недостаточной для раз.
мещеиия асей матривы жасткостн системы К В этом случае необходимо, чтобы активную часть матрицы можно было последовательно считывать нз внешней памяти н постепенно решать матричное уравнение системы. Можно также органазоаать данные тзн, чтобм требуемая актнаиан часть могла быть добавлена е любой момент, когда это необьалнмо Таням образам, объединяются ячейки даяных. Этот подход прн решении системы урзенепнй может существенно экономить оператиеную памяти, од. неко требуется тщательный план программирования для того, чтобы дополнительные вычисления н обмен с внешней памятью не прееыснлн стоимость экономии оперативной памяти. Если для решения системы ураанеиий, саотеетстну!ащей отдельной ячейке матрицы, примеияютсн прямые методы, то процедура, осиазаннан на ячеечном объединении, назыааетса блочно.ирммоц Процедура использовалась, например, зо фронтальном методе Решения, который был исследован и пропагандироеался Айронсам )14) и з методе'леревюрядоченил Книга ))0).
Ячеечное объединение и исключение, тек же каи и др)тие подходы уменьшения требуемой оперативной памяти, описаны е недавно вышедшей кинге Бай!а и Вильсона )15). Ли а уав 1. В)Ш Н С, М Шнапсе еиз ю рю !!миге, Лтег Зг, Ва, Ма. 1,93-91 (3зааагу — РеЬ аагу 1975). Р!иие е!еюеа) м шаа, Аеаа м14 Р ею, ме Таш, !97З 3. Ре1!Рэь С А., С!юеь й Ф. ТШ Пине е)е 1 еща) !а за!Ы тюЬ е! меюепе 1 задами о) Р3414 Ргаыеен 3а саа!Юшю Рьузнз 451АмРгас.), Р ! 3, РР 2!Π— 232. Ы)аиа, 1970.
4 Оьу А С, А Место-Ргасюзю !аг РойТйАМ ТЮЬ йер. Ме 2, Сеюрмег Сеанс 13а1 ми!у Сопеве 1.а Жи, Еап)аад тйзюагу 1№. 3 Виед ЬЧ. й., Вюн В, А„ М зЬ К зегапа — а зй у, 3. Е. )Ы, 93, Мо 1,332-339 !1973). 6 5еЬе ° 3, Гахиаа 3, А !а «1и аюЬ пел!гана Юг 1 апе де е ! заа)у Рюе с 5 — 34рае зеаю саари) мешаае 51ии! 41егь О 419х 2иа, Вещ 1еУ, Сажа !а, А 9 М 1972 104еи 3 Т. С)аикн П %, Т з е!о Е, еае ), РР. 307-ш4, 13Ан Ргею, наину не, А)аьь иа, 1972 Глэээ 3 7 Ка 1 Н. А., Емеле!ею Н. А, Амипмкс емэЬ Еепегеноп !и 1 пд щ ы-Лщщмо э! !и(егюпиес(ед Ли е! ь Р щ 5уюр.
М(егпэ( Оп. ТЬеог. АРР1. месь. Й10ь кеыд с рщ е!аэне 51 41., Опн. Мене, Ве(выпь Агжиэ( 1970 (де УэиЬэье Г, и!), рр 455 — 475, Ой) Ы Оэяе Ргеээ, Ве11 а!ш, 1971. 3. Ренрра С. А, Ап а(рь и ж пс Ьп(е е1ещеп( меэЬ р(оце, М! иэ1 Г. еит м гарм еил и., 5, Йи 2, 217 — 2% (1072). 9. 7епюе !ей О с., Рйг(!ы О у, А а !оп н пмэь кепегацоп эгье м юг р(апе апд сит ед эицэс э ьу ьормэще(114 сэигд!пэ(еэ,!и(н э! г. л эг. МщдгЕЛа.,з,но 4.М9 — 523Н97О, Ю. Кпя 1.
Р, Ап и( !й щего«юп эсьеще Мг э ив*не иэ Чи !юп де Щед Ьоп! пэ( гь уэ(ип, Мг эиг Г. Е мгг, М Недэ Е Егк, 2, Не.4, 523 — зш 0970) 11, се1еп ц, 1, В пд юь едщ(юп ьу эжощ ье юи ьемк, )иге!па!. е Еи э М М ! Еидд 6,но 3. М5 — 353 Н973). 12 Огие иэ Н, Ц, А)пи Ийщ !аг па1гЬ Ьэпд (д!Ь г д Н!оп, Р ос АВСЕ, ! 51 Г. Огец 93,51 1 203 — 214 (!972) ю Аь э О, Оьэн О, Аэ амоаэе м(эь нми !ко иьщ !о ьэпд ыю щ и1 !*4Но . Рпн.
Езээд С ок Арр1 МыЬ., 5Щ Ргедег1с(еп, 26-30М у, 1975, рр 691-692 14. ! опз В. м, А (гю!а( юьщм р евгэ и (о ьпие е(ещеп( еп 1уэн, мм иэг ' Г Л«л'.. лань д. Е 2.2., 2 3-32 Нрто). ш. Вэ!ье клц %1 и е 1, н щег1еа1 м Аодэ ю Гм(е е!мпеп1 Апэ)уэн, .
Ргепбее Нэ(1, Е 2)е~ оод СЬЙэ, Юе дегыУ. 1976. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В предмдуших главах рассматривалнсь только граничные уело. ви» Дирихле и Неймана Однако существуют и другие тяпы грв. ничнмх условий; применительно к формулировке метода конечных элеиентов некоторые из иих весьма сложны. В этой главе дави определении большинства обычно встречаю!михея грани 1- ных условий и наказана, как ноно!о модифицировать функционалы для тоюь чтобы удовлетворяаись различные виды граничных условий. В заключительном разделе кратко рисснвтривв ются другие подходы к учету граннчньщ условий.
4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ Наиболее распрострвнениымн в ва)чнмх и технических задачах являются граничные условии Днрихле, Неймана н Коши, иногда называемые граничными условиямн первого, нторога и третьего роца соответственно. Если граница разбита иа несколько частей, для которых заданы граничные условия рааличиых типов, то та. кис граничные условия называют смешанными. В случае граничных условий Днрихле на грвиипе Е задаютсв значения зависимой переменной 'Так, например, в двумерной задаче с зависимой переменной ф соотношение ф=й(.г, у) на Е (4, 1) залает граничные условен Дирихле, причем предполагастси, что функции Е[х, Р) известии явно. Задание напряжения иа границе для электрнчесиого поля в проводящей среде нли температуры дтя теплопровадящей среды — это прячеры граничных условий Днрнхле.
В случае граничных условий Неймана па гравице залается нормальная производна» завасимой переменной. Применительно к двумерной задаче зто условие может быть записано в виде дф(длд-Р=О иа Е, (4.2) где р — заданная явно фуакния тачки. а л — нормаль к Е. Спе. ннальньщ примером условий Нейнвиа являются книематиче. скис граиичнме условна в потоке, при которых нормальная ком. паиента скорости жндипсти на границе равна нормальной компоненте скорости грвнвим.
Гав 4 Гуааач ья у ло иа 4.2.ЗАДАНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИИ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ ПО ГРАНИЦЕ Рааее отмечалось, что в вариационной фариувнравне граничные условия можно разделить на гдазмые и естественные. Из вврва циопного исчвсленвя известно, что любая пробная функция, кра. не тога что она должна быть допустимой, должна удонаетворять глаанын грани~пни условияи, тогда как естествениие граивч. пые условаа удовлетворяютса в качестве естественного следствия вариационной постановки задачи. В гл 7 детально будут исследоваться усдовня, при которых функционал Х )[ьа ) «[ду))дхду+~ртдз д 5 имеет стаднонвриое значение.
Будет показано, что функцвк Т(х, у), на которой функцнонав принимает стационарное аиачеипе, удовлетворяет уравнению Озу=ц в О, а также условиям Дирихле Т=й иа 5~ (4.ба) (4.6» и Неймана (ОТ(да)+ Р=О на Яь (4.66) где 3 = дг + Зз — нолная граница области Р. В равенствах (4.6) переменные у и р яалпются заданпыии фуикцияын таяня на 81 н дз соответственно. Ч Потоку теааа, вилка тз алз злектркчеекому гаку. — Пр м левее. Говорят, что заданы условия Коши, если зависнпая перемен. ная н ее нормальная пронэводнаа связаны на границе условием вида д /дп -(- у+44=0 на 5, (4.3) (р ) где р и у — известные функции точки на границе 5.
Например, таяое условие появляется, если на границе есть свой сопротивления'). Рассмотренные выше граничные условия включают только зависимую переменную и (или) ее первую производную. На практике могут встречаться н более сложные граничные условия, содержащие более высокие производные. В сведующеи раз" деле описан метод включения граничных условий в конечвазлементную формулировку, нвдюстрнруеиый ради простоты иа тра ничных условиях низкого порядка.
Одкано он может быть распространен н ва более сложные случаи, Из равенства (4.66) видно, что есин р равна нулю иа Зз, то задача, определенная равенствами (4.5) и (4.6), становится тождественной задаче а распространении тепла, рвссиотренной в гл. 2. Второй чаек в равенстве (4.4) обращается в нуль, и функ@панах иринииает прежний вид. Отметим, что возможна ситуация, прн которой функпионал дяя задвчй с граничными услоаияии типа Коши потучзется из функционала с подходящими условиями Неймана просто прибаваеннеи дополнительного интеграла.
Возникает вопрос, всегда ли граничные условия для любой задачи могут быть актючены а фуикциоиаа добавлением подходящего интеграла. Во многих случаях это таи, хотя апре. деденве дополнительного интеграла не всегда просто. Дли двумерной задачи, к которой такай подход возможен, дополннтельний интеграл будет крииодинейним В трехмерном сдучае дополнительный интеграл будет поверхностиыи. Дальнейшую информацию о соотношение между таииыи интеграламИ н граничными усдовияии задачи можно найти в ионографняч по ва. риаиионнаыу исчислению [(, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
