Норри Д. - Введение в метод конечных элементов (1050664), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В заключение этого раэдедв остаиовимса иа вопросе о таи, кап обрашатьсв с криволинейными и поверхнастныии интеграваии прн вычислениях, есин, конечно, получен функционал с учетои главных и естественных граничных условий. Вкдючение криволинейного нди поверхностного иптеграха в конечиоэдементную формулировку будет показано нв примере.
Рассмотрим трехмерное яваэигариопичное уравнение дх Ь " вг ) + ду ( э,уу ) + ва Гй* в ) Л (х, У, в), (4.7) где Яо Ят, й, и й — функции к. у и а. Зто уравныгие описывает ряд физических явлений в неазогуопяой среде, т. е, такой среде, свойства которой различны в равных направлениях.
Форма этого уравнения саответсгвуег совпадению главных осей характеристики среди Я с осанн х, у н з. Например, для задачи тепаопро. водности 1 в температура, й — внутренний источник тепла, а я., д„ н й, — коэффициенты тепяопроводностн а направлениях х, у н з щответственво. Друще физические яввениа, к которым поимениыо уравнение (4.7), описываются в аитератуае (3, 4 и тр). В изогуоояаи среде Д =Дг=й, и уравнение (4.7) сводится к уравнению йузссоаа'). Если член, характеризующий источник, обращается в нуль, та уравнение (4.7) становится уравнением Лапласа ') Рэж строгости неаб од е еже ущаьие одьададисста срьэп— Па ч мрэ 4 3 .аээ Г ос Рассмотрим тенер~ двумерное квазигармоническое уравнение,'которое в соответствии с (4 7) имеет аид — [й„— ) + — [йэ — ) = й (х, у).
(4.8) Пусть иа части граиипы заданы условна Днрихле Т=у(х, у) иа Яь (4.9а) а на остальной частя — условия Коши й„—,а„+йэ — а„+ р+ ОТ=О на Яь (4.96) где яь л« соответственно хь у-компоненты единячнай инешней нормали к Я, а у; р и 4 — заданные функции точки ив Я~ я Яг. Исналыуя варнвционное нсчнслеине, можно наказать, что функционал для этой задачи апнсываетса выражением ,' Ц [й„®)'+й„( — ") +2271дхду+ [уу+ ! 47*) дль (4.10) Уравнение (4.10) удобно представить в зиле ко'1 хш (4.11) где слагаемые в правой части равенства обозначают интегралы по области н поиерхностн соответствеино.
Каиегноэлеыентиая формулировка для интеграла по области аналогична заложенной в предылущнх глава«. Присутствие поверхностного пнтеграла в функционале приводит к дапалиительяым членам в элементном матричном уравнении, вычнсление которых сейчас будет рас. смотрено. Вапамним, что пробная фуикиня Т' в полниамиальиой форме, выраженная через глобальные каардннзт», имеет внд Т' аг+ «-(-а,у+а,х + ..., (4.12) где число членов ряда н значения коэффипиентав зависят ат типа используемого конечиага элемента. Применение равенства (4.12) к каждому нз узлов элемента дает систему уравнений Аа-Т, (4.13) где А=]ао] — матрица коэффициентов, вычисляемая через координаты узлов, а — матрица.столбец с элементами аь а, а Т (Т] — элементимй узловой вектор') Обращая матрицу А, ') уэлсам« юр зетом Г, З д т а ъ за«е зс Г з уз.э « х ярона.
ь дене, если з «ояс мм эзечейыу и аоз «уотс» Эозззолчме Шэире ер, зля Воссел з Эу зт ) Гэоезымэ ус«осел обознача» полученную матрицу через В Аш н умножая равен. ство (4,13) на В, получим дли а формулу а = ВТ. (4Л 4) Если равенства (4.12] записано в виде ог Т' =- [1 х у к (4,16) то обозначение Х = ]1 х у хэ...] (4.16) позволяет получить следующее представление пробной функция: 7" = Ха.
(".17) Рассмотрим теперь крпволянейима интеграл в выражении (4.10), который может бить записан в анде суммы интегралов по границам элементов, принадлежащим гранире Ят'), Лля некоторого элемента, граница которога имеет общую часть с границей Яь элементный граничный вклад с учетом выражения (4,10) мажет быть записан в виде (4.18) э где Е' — длина граннпм элемента, принадлежащей Яь а Т'— представленпв пробной функции на этой границе, В более обшеи случае криволинейный интеграл равенства (4.10) может быть представлен через элементные вклап» следующим образом: ~ (ру -1. — Чуе) дЯ, = ~ 2], (4.!9) 3 где 1 — общее число элементов в О.
Такиы образом, функционал задачи, заданный равенством (4,10), мотает быть записан в виде г К=ко+к, ~[26-рк],]. (420) Необходимо отметить, чта, хата суммирование в выражении (4.20) выполняется по всем элементам, фактически будут необходимы для вычисления внлада Ка лишь те элементы, часть границы которых аринадлежвт Яз, ') Н ааоразсяяазаоззоз снмсле, Ггэюн З вю Гы.а Э то! Элементный граничный вклад в вырежеинн (4.18) после под- стопоакн (4.23) принимает аид с' ' ~ ~Рха .1- т п(хи)т1дЯ. а (4.24) С использоааннем (4.14) можно зьписать (4.24) следуюшнм об- резом: Х' = ~ (РХВТ .(- ! 4 (ХВТУ|д5.
э (4.25) Из предыдуших глав известно, что-элементное матричное уравнение, основанное на функционале, содержащем лишь иятеграл по области, описывается выражением дх5/дт = й'т. (4. 26) Дл» функционала, имеющего внд (4.10), в уравнение (4.26) должен быть добзалеи член ддз)ду, учнтыееюший «рнеолннейный интеграл. Этот дополнительный член получается дифференцированием равенства (4.25) (см.
приложение Е); — „* - ~ (рй'Хг+ дйгдг ХВТ) дд. а (4,27) Так пак матрице В ябляетсв функпией юлько координат уэлсе, то выражение [427) можно записать в виде — ~ рйгдд ~+Вг~ ~ ЛХгддд~ВТ Если уравнение границы элемента задано выражением р= +Ь, (4. 21) то подствиоеке его в (4.16) позволяет следуюшим образом зепи. свть интерполяциоииую матрацу из рваенстее (4.15): Х.=(1 л(ак+ Щлз...). (4.22) Черта в выражении (422) указыаает нв то, что матрица Х вы. численв ив границе. Пробная функция ае границе с учетом (4.15) и (4.22) может быть' записана как 7' Хи, (4.23> Использование обозначений г.
Р Г~.рйгдЯ, О=~ 4ХгХдд е э (4.29) позволяет упростить запись выражения (4.28) т — = ВгР+ ВгОВТ; (4,30) Наконец, сложение равенств (4,26) и (4.30) даетэлементное матричное уравнение длн элемента, часть гранили которого принадлежит Яь а виде зх зхф д!гз (4Л! ) 4.3. ДРУГИЕ ФОРМУЛИРОВКИ ГРАНИЧНЪ|Х УСЛОВИИ Кроме процедуры, описанной в разд. 4.2, существуют и другие способы удовлетворения граничным условиям а методе конечных элементов. Например, в гл.
7 показано, что путем использования мложкгезеп Лагранжа а вариациониую формулировку могут быть еключеиы ураапеиия связи. Тек как граничные условна можно рассметриеать как уравнения связей, Значение такого подхода очевидно. В методе множителей Лагрпнжа граничные условия вводятся иеносредствепно в матричное уравнение системы. Хотя достоинством этого метода апляется простота, его су. Шествеиный недоствЮк состоит в том, что раситирснлое матричное урааиение системы гшлжио решаться н для дополнительных неизвестных, т.
е. множителей Лагранжа С детелями этого метода, выходящими за рамки пашей книги, читатель может ознакомиться по работам (5 — 7). В прелмдуших главах в кзчестве узловых параметров конеч. имх элементов использовались только значения функции В еле. дуюшей главе предсгавленм конечные элементы, узловыми пв. реметрамн котармх могут служить н производные. Пренмуше.
стоо гаках (эрмлтоамс) конечных элементов состоит в том, Что где й+ВтОВ, (4.32а) 1' В Р. ' (4 326) Дополнительные члены ВЧ)В и Вгр е элементном матричном уравнении были выведены с использованием глобальной снсте. мы координат. Подходашая модификация позволяет использовать локальную систему координат со значительным упрощением процедуры. Геее4 граничные условия, содержащие произаадные функций, могут быть зключеаы и элементную матрину жесткости непасредстаен- но кан экеиеалентные условия Диргыле. Этот способ зключеиия граничных условий также аписыаается э следующей главе. Литер ур 1, есгк Р м, с !с ьг о1 тане!ьп, ь.
не дьооь ы епйаееп' я жесьа ьм (Р)анне \Ч., ед ), СЬар1ег 16, М Оге .ЮН, Мет Твк, 1962, 2 зсьв!ег й б, тье чм(агвпа( мейод (п Епйпвппк, мсагеч"нщ меп той, 1967. [И ее ск персе! л. Ш стер Р. С, нернаннов мй метал кннв. керк р сене — М. Мнр, 1971) 5.
Н Ьп ц. Н, ТЬ Ргпв Е1 вен! Невод 1ог Епф е э,шаеу, Ма Той 1975 4. М* Ь О. Н, дс ЧН . О„РЬИ Юевеп( ЕйноигерЬу, Р)епьв, Ме Той, б. 2( ьвп О с., тье Рг не е(анси( ыейод гп епкьвппб бонн«с, ы Оса .ни, ме т ь, 1971 [имеевк перв аг эенксен О., м с в. б Оеиекь г Ц. Й., Р(пцс Е) в п1 А «1ум, Рг нисе-Наи, Епа!«аоод СШЬ, Ме )ег ет, 1975 . г(- Ьап«1 р !пар( е г (Ь« Ение е!епеп1 ппй д, А!АА 7, 7, Мо 7, 1254 — !269 (1969). [Им «п«рекал: Ракетка те* нке к кос онзетк«е, т.
7, Ю 7, с, 47 — 55, 1969.) 5 ЭРМИТОВЫ ЭЛЕМЕНТЫ, КОНДЕНСАЦИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В предыдущня глазах уэлоаыми параметрами элемеатоз нзлялась значенйя фуакнин (переменной] з Талах. Такие элементы, обычно нзаестнме как лагранжеаы, часто применяются иа практике. Во многих случаях, однако, целесообразно нспальзоаать а качестзе параметров не толы!о значения функпни, ао н ее произ.
задиыя з узлах. Эт» так назызэемые эрмитозм элементы по. дробно будут рассмотрены позже, а з настоящей главе иллю. стрнруются на примере четырехузлоэощ треугольного кубн ге- скогО элемента. Если эрмитазы элементы записаны е лоначьяой системе ко. ординат, то необходимы используя матрицу преобразоеапик, преобразовать пронззодиые из одной координатной системы э другую; зта процедура тамже опнсыяается а настоящей глазе. Преимущество эрмитааых элемеатаз состоит а там, чта красные условия, включающие произаадные (Неймана или Коши), часто могут рассматрияаться как экеиаалепгнмс услоеия Дирихлс.
Если услазия с пронзаолными'аключают дбдп, то можно получить экзнзалентные саяэанмые (саар)ед) рслокня Дмрихле, однако нх аиедение требует неиоторай осторожности. Такие саязонные у«лазил также рассматряаавтсн а этой главе 5.1. ПОСТАНОВКА 3«ТДАА[И И ВЫБОР ЭЛЕМЕНТА Для иллюстрации оснаяных поннтий зариационного. метода ковечных элементаа з предыдущих главах ширака использоаалась задача, сензаяная с урааненнем Лапласа.
Она вновь рассьгатрн. пает я з есгонщ й главе как удобное срслсгэо для пояснений. Попутно заметим, что предлагаемые принципы применимы танке н для нгщепий а других областях. Рассмотрим дзумерный тепловой поток !срез треугольную область ОАВ (рис 6.1). В точке д поддержиаается температура б'С, нигкияя поаерхность ОА имеет вмпературу 30'С, а бокаеые стороны АВ н ВО идеально нзалнрананы Требуется найти нзатермы ааутри треугольного блана Разделим область ОАЭ аа девять треугольных элемеатае (рис б 2) с л = )б н ! = 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
