Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(3.24) н Обобщение понятия копенках элементов Для приближенного решения этого уравнения разобьем область на элементы (фиг. 3.2,б), для каждого из которых где [ф)е — набор параметрон, представляющих собой в данном случае значения функции ф в узловых точках элемента. 3.5.1. Минимизаг4ия функционала Равенство (3.4) выполняется, если матрицу [Дг) определить так, что функция ф непрерывна между элементами, и, таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением типичного элемента. Подставляя (3.25) в (3.24) н интегрируя по площади элемента, получаем =16( — ":.' + —..' +-) — '+ При заданных форме элемента и функциях формы все этн величины могут быть вычислены и система уранневий для ансамбля будет определяться соотношениями (3.7) — (3.9).
Задача будет полностью сформулирована после учета граничных условий, а ее решение находится из решения системы линейных уравнений, Глава а 3.5., .52, Метод взвешенных нееязок С помощью уравнений (3.22) и (3.23) личное уравнение: и ( . ) можно получить тн- И, ~ — ' т [а'Ф аев е + 1 е +С1нхт(у О (3.29) в котором функция ф определяется соотношением (3.25).
О г аиицам между эдеме таин с тем чтобы вто о можно использовать интегрирован раничения, егрироваиие по частям. Так, например, дФ вЂ” — /«т/5 — ~ ~ — „— Нх ду, (ЗЛО) а а 3 где 1„— косинус угла меж в ду ~вешней нормаль«т к поверхности и направлением х, а конт ный и рется по всей границе. ур ый интеграл по 5 бе- н (3.29), Проинтегрировав таким же об з . ия ( . ), можно записать образом н второй член >равне— Ы У ° ГдФ да — йг, ~ — « /„+ — /„) дз = О.
(3.31) П э ервый интеграл не содержит вкла кл дов от границ меж н. лементамн, если функция ф непрерывн . Т, а. еперь необходимо ду б вложить ограничение на весовую ф йт. О функцию,. Она должна обя ыть непрерывной, поэтому метод колпак аций в точке нли под- ' ле кин яасти неприменим. Однако можно испо, о использовать иетод Гапре ывна. еркина или любой другой метод, в кото о ф р м функция й", не- ция веса Для примера используем метод Галеркина, кина, в котором функЧгт —— йгт. (3.32) Используя соотношение (3.25), вклад каждого элемента а интеграл (3.3!) можно записать в виде и й[гфг+ (р ) — ~ дт ® /„+ ф /„) т(5 = О. (З.зз) Обобщение понятия «онечния элементов В соотношении (З.ЗЗ) выражения для й[г и Рн по-видимому, не случайно идентичны соответствующим выражениям (3.27) н (3.28), полученным вариационным методом.
После суммирования вкладов всех элементов получим систему уравнений, акалогичную прежней, за исключением того, что добавляется поверхностный интеграл. Ясно, что этот интеграл не лает вклада в уравнения для внутренних точек (г. е. когда точка 1 не лежит на границе). Если же точка 1 лежит на границе, где заданы значения фь, то становится не ясно, как вычисяять этот интеграл; учет же краевых условий делает задачу разрешимой. Для рассмотренного примера при использовании метода взвешенных иевязок и вариационного метода [11) получаются одинаковые результаты. Однако если бы использовались другие весовые функции, то совпадения можно было бы и не получить.
Тот факт, что прямой метод решения, не требующий знания вариацнонного исчисления, приводит к тем же самым окончательным результатам, может быть сам по себе интересен читателям и указывает на возможность выбора различкых методов решения. Кроме того, интересно отметить, что поверхностный интеграл в (3.31) имеет определенный физический смысл.
Фактически он прелставляет собой взвешенный интеграл от потока дф/дн через границу, так как (дФ 1 1 да 1 ) «5 — ~ ))т Ф дз (З.зч) Иногда на границе бывают известны не значения функцяи фо, а значения дф/дн В таких случаях правильное решение мог бы дать прямой метод Галеркина, но при этом функционал должен быть модифицирован введением некоторых граничных величин (как это будет сделано в гл. 15). 3.6. Следующий пример.
Уравнения вязкого течения Оператор основного дифференциального уравнения (3.17) может зависеть не только от одной переменной. Можно также рассмотреть систему дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, уравнения, описывающие плоское установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости без учета инерционных членов. Неизвестные — давление р и компоненты скорости и и о в направлениях х и у — связаны между собой двуми уравнениями равновесия (уравнения Стокса, полученные вт Глава Э др l д'и д'ин Х вЂ” — +р( — + — )=О, дл Х длэ дуэ У (3.35) (4))- (3.42) (3,43) каждого элемента, имеем где, опять выделяя вклады (йе!' 1 амтв Ме — ~ в дк 1 дЧ~ — Ме— и ду дМ, дМГ дме дМà — ' — + —— де дя ду ду дМ дМ дМ дмт дл дя ду ду 1 и» вЂ” М~— и ду вид 1 дмт — Ме— дя (3.44) (3.43).
Таким образом (Х1 (~)э~МУУ)~М 0 У е(3. (3.45) + ~ рМе —,„" МЯ=О. (3.39) (3.40) нз более общего уравнения Навье — Стокса) (12): где Х и У вЂ” объемные силы на единицу объема жидкости. Уравнение неразрывности дает третье соотношение между этими тремя величинами (3.36) Запишем выражения дли р, и, с через узловые значения: р= (М)(р) = (М)(и~. = (М)(с), (3 Зу) где (М) — функции .формы, обеспечивающие только непрерывность переменных.
Йспользуя метод Галеркина, можно записать для точки е систему трех уравнений. Первое нз них имеет $ М,~Х вЂ” — "+>( — "", + — — 'е)~ЫУ =О. (3.33) Интегрируя по частям два последних члена в соответствии с соотношением (3.30) и ныполняя некоторые преобразования, получаем После подстановки выражений (3.37) в первое слагаемое имеем Второе уравнение имеет аналогичный вид н получается из предыдущего путем замены х н и на у и и ссютветственно.
Последнее уравнение, получающееся нэ уравнения неразрывности Обобеиение понятия ноненнем элементов (3.36), имеет внд ~ди до)„У ~~М ~~~Р1 (я).1 д(м) (и))~дУ=О (341) г г Группируя все переменные, относящиеся к рассматриваемой точке, в виде получаем уравнение ансамбля в стандартной форме: ((() (Щ + (г ) = О, Поверхностный интеграл в (3.39) исчезает на той частя границы, где задано и, ибо в этом случае М, = О.
Там, где задано ди(дп, он дает дополнительный член в вектор (г) в уравнении В приведенных уравнениях поверхностный интеграл берется только по внешним границам, на которых заданы ди/дл или дс/дл. Если же на границе заданы величины и и з, то н грзинчных точхах уравнения не составляются. Задача о течении жидкости в более простой постановке рассматриналась Докторсом (13). При другом подходе к решению задачи внодится понятие функции тоха.
Если положить, что в= —, (3.46) ду ' дл' Глаза 3 3.7. Заключительные замечания то уравнение неразрывности (3.36) тождественно удовлетворяется и остаются два уравнения Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х и вычитая одно из другого, исключаем р, в результате чего остается только одно уравнение Н гьдке + дра уггчдхг + д з )+ — д =О. (3.43) дг дг дгз дгВ дУ ВХ Это уравнение можно решить описанным выше приближенным методом, Читатель может проделать это в качестве упражнении.
1!ри решении матрица жесткости получится симметричной и основные соотношения, по существу, будут идентичны соотношениям, рассматриваемым в глазе, посвященной изгибу пластин. Однако з этом случае функцяя формы должна удовлетворять условию неразрывности первых производных между элементами, так как з интегралы будут входить производные второго порядка.
Осеснмметричные задзчи такого рода рассматривались з работе [!4]. Примеры были приведены для того, чтобы проиллюстриро-. вать общность метода. Однако рассмотренная здесь задача представляет значительный практический интерес, так как в настоящее время большое внимание уделяется разработке методов решения уравнений Нанье — Стокса.
С целью линеаризации уравнений (3.35) были опущены динамические члены ди ди де де и — +о —, и — +о —. дх дв' дк др' Нх можно было и оставить, но тогда уравнение (3.43) получилось бы нелинейным, причем матрица [У(] зависела бы от скоростей, Решение таких уравнений слишком сложно, чтобы его подробно рассматривать здесь, однако можно использовать обобщения рассмотренных в гл.
13 методов решения нелинейных задач. В этой главе понятие конечных элементов используется для приближенного решения ннрнационных задач и рассматривается возможность непосредственного приближенного решения дифференциальных уравнений Области применения обоих подходов еще недостаточно изучены. Некоторые общие идеи, изложенные в этой главе, рассматривались Оденом [(3].
Обобщение понтия консчкыг еаеиеятое ЛИТЕРАТУРА !. Сгапдап Б. Н., Епз)пеег(пз Лпа!узж, Мсбгеж-ып(, 1956. 2. %азызе К., ЧапаИопа! Межадз гп Е1аьИсну апд Р!азцсну, Регзатоп Ргезз, 1968. 3. %е!пз(оск й., Са!си1из о( ЧапеИопз, Мсбгаа-ИП, 1952. 4. ВегБ Р. Ы., Са1сиюз о( Чаг(абель, СЬ. 16 !и: НапдЬоай о( Епя)пеидпй Месьапгсз, Е)бкке %., ед., Мсбгап-НП), 1962.
5. Боищпец й. Ч., йе(ахаиоп Меюодз !и ТЬеогецсз РЬумсз, Ох(огд Ыпы. Ргезь, 1946. б Еогьу!Ье Сг. Е., %азам %. й., ШпПе ОП1егепсе Мейодь (ог Рагца) О(пе. гепба( ЕяиаИопз, %Псу, 1966; есть русский перевод: Вазов В., Фор. сазт Дж., Разностные метахы репгення кнфференняааьных урааненна в частных пронззонных, ИЛ, 1963. 7. Р1ап Т. Н, Н, апд Топя Р., Ваь(ь о1 Шпце Е!еюеп( Мецгодз 1аг Бо1Ы Слп.
Ипиа, Уи(. У Миж, Ме!И. гп Епд., 1, 3 — 28 (1969). 8 Ме!озЬ й. У., Вазм (ог Оептапоп о1 Ма1г(сез (ог Ше О)гес1 БИ!!пезз МеИгод, УАУАА, 1, 1631 — 1637 (1963); русский перевод: Мекош, Основы получения матрна кая прямого метека жесткостей, Ракетчик тзхиике и жжиокаегикя, 1,М 7, стр. 169 †1 (1963). 9 Р1ап Т Н. Н Оегыа11оп а1 Е1еаеп1 БИПпезз Ма!Всеь, УАУАА, 2, 576- 577 (1964); есть русскна керенок; Ннан. Получение матриц жесткости зле.
ментов. Ракетная технннь н космонаатнна, 2,Ю 9, стр. 26 (1964). 16. Б!зкяо16 1., Воопдагу Ча!пе Ргоыеаз !и Мещептацсз апд РЬуз)сз, Маса!Пап, Х У.,!966. Н. БхаЬа В. А, ).ее С С, Оег)сапап о1 БИИпезз Ма1псез !аг РгоЫепп !и Р!апе Е1азпспу Ьу Са1егюп МеПгод, Упт, У. Чиж, Мею, Еед., 1, 301 — 3!О Н969). 12. Еаяегз1гою Р. А., СЬаой 1. О., Р1ом а( (огч йеупо!дз Хнтьегз,.СЬ. 81 (п: НапдЬоок Ы Епя. МесЬ., РЮБКе %., ед., МсОгап-НП(, 1962. 13. Оос1огз 1.. У., Лп Аррпсацой о1 1Ье Нине Е1епгеп( Тесин)ггне 1ог Вожгдагу Ча1ое Ргоыегпз о( Ра)епна) р!оп, уп(. у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
