Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Еиж. Мей. ьяд., 2, 243— 252 (1970). 14. А1Ыпзоп В., ВгосыеЬапв М. Р., Сагд С С М., Бпп!Ь У. М., 1.огч йеупо!де ХнюЬег Оете1ооюз Р)опз, А. У. СЬ Еиз. У., 15, 548 — 553 (Ш691, !5. Оден У. Т., А лепета! Тьеогу о1 Р)пце Е1ежеп1а: 1, Торо!ошса) г.опзюега. Полз, рр. 205 — 22П П, Аррпсацапз, рр. 247 — й)0; Упг. У. йигл. Мею. Епя„ 1 (1969). ГЛАВА 4 з1 Плоская садака теории упругости ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ И ПЛОСКОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЯ 4.1.
Введение Решения двумерных задач теории упругости были первыми удачными примерами применения метода конечных элементов (1, 2). В гл. 2, где были получены основные соотношения метода, такие задачи уже рассматривались для иллюстрации его основ. Этн основные соотношения ((2.!)— (2.3), (2.9), (2.10) и (2.16)) для удобства собраны в приложении Н. В настоящей главе будут более подробно рассмотрены и проиллюстрированы на примерах, имеющих практическое зна. чеиве, основные зависимости для указанных задач. В дальнейшем мы будем придерживаться именно такого подхода к изложению материала. Подробно рассмотрен только простейший треугольный эле.
мент, хотя аналогичным образом можно получить основные соотношения н для более сложных элементов, которые описываются в последутощих главах. Читатель, мало знакомый с основными понятиямн теории упругости, может найти их в элементарных курсах по этому предмету, в частности в книге Тимошенко н Гудьера (3], обозначения которой будут здесь широко использоваться. В обеих задачах — о плоском напряженном и плоском деформированном состояниях — поле перемещений однозначно определяется перемещениями и и о в направлениях осей х и у прямоугольной системы координат.
В обоих случаях рассматриваются только по три компоненты напряжения и деформации в плоскости х, у. В сл>чае плоского напряженного состояния все остальные компоненты напряжения равны нулю по определению и, следовательно, не совершают внутренней работы. В случае плоской деформации напряжение в нзпрзаленни, перпендикулярном плоскости х, у, не равно нулю. Но поскольку в этом направлении деформация равна нулю по определению, это напряжение также не дает вклада во внутреннюю работу. При желании его можно определить через значения главных компонент напряжения.
(4. 1) (4.2) (б)' = б, Перемещения внутри эдемента должны однозначно определяться этими шестью величинами. Ясно, что простейшим пред- Фат 4.1. Вдемевт сплошной среди дяя расчете плоского деарямеииаго ияа плоского деформвроееяаага састаяодя. ставлением являются линейные полиномы и = и, + и,х + аеу, о = и, + иех + иеу. (4. 3) Значения шести постоянных ал легко найти из двук систем, состоящих из трех уравнений, которые получаются в результате подстановки в (4.3) узловых координат н приравниваиия 4.2. Характеристики элементов 4.2.1.
Функции перемещений На фиг. 4.1 показан типичный треугольный элемент с узламн 1, 1, ш, прон>мерованными против часовой стрелки. Перемещения каждого узла имеют две компоненты (Ьс) =~,"',~ а шесть компонент перемещений элемента образуют вектор Гласи 4 Ляоския задача егории уиркгосги бй Выбранная функция перемещений автоматически гарантирует непрерывность перемещений между смежными элемеитамн, так как вдоль любой стороны треугольника они изменяются линейно, и, следовательно, из равенства перемещений в узлах следует их равенство по всей границе. (4.4) 4.22.
Деформация (полная) Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно охарактеризовать тремя составляющими, которые дают вклад во внутреннюю работу: д где (е) = е„ а, = х,ум — хну|, Ь,=у,— у„=у,„, (4.9) (4.66) С| = хм — х> — — хм|1 Используя равенства (4.7) или (4.5а) и (4.6), имеем дМ,' дк дМ„' дк и| о| и, дМ, дд - ',~о с| Ь,О Ь„ с| 0 с,„~ 0 (Ь)е, (4.10) с> Ь| с Ь„ с| Ь> что явным образом определяет матрицу [В) из равенства (2.2); Следует заметить, что в этом случае матрица [В) не зависит от координа точки внутри элемента, и, следовательно, деформации в нем постоянны.
Очевидно, что эти функции формы удовлетворяют критерию постоянства деформаций, приведен. ному в гл, 2. (4.8) 4,2.8. Начальная деформация (гемнературная деформация) Начальные деформации, т. е. деформации, не зависящие от напряжений, могут вознинать по разным причинам. Усадка, рост кристаллов или чаще всего колебания температуры будут перемещений соответствующим перемещениям узловых точек. Записав, например, и| = а, + агх| + а,у|, и| = а, + а,х| + азу|, и =а, + агх, +изучи выразим аь аг, а, через величины узловых перемещений и|, и>, и и окончательно получим и = — [(а| + Ь!х + с|у) и| + (а| + Ь>х+ с у) и> + ! +(а +Ь х+с у)и ), (4.6а) остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов |, >, т, а величина 26 определяется соотношением 1 х| у| 26 = бе1 1 х| у| — — 2 ° (площадь треугольника |рп).
(4.6в) 1 х„ у„ Аналогично можно представить перемещение о в вертикальном направлении: о = — ((а|+ Ь>х+ с|у) о|+ (а|+ Ь>х+ с|у) о|+ ! +(а +Ь х+сму)ом). (4.6) Хотя на данном этапе в этом нет особой необходимости, можно записать соотношения (4.5а) и (4.6) в стандартной форме (2.1): [[) =( ~ = [Н) (6)' =[>М[, >М>, И ~[ (6)', (4.7) где 7 — едниичнан матрица размерности 2)42, а и + Ь|к + с|у яе и т. д.
Примечание; если за начало координат принять центр тяжести элемента, то за х|+х +х|=у +у„+у>=0 н а| — =а|=а . 0 — 0 дМ', дк дМ| дМ| — 0 дд дз дМ| дМ| дМ| дк ди дк до ди ди до — +— дд дс дМ„, ди днн дк б4 Глаза 4 у.ютчаз задача тео»аа »п»»гости бб (аз) = е„, (обм1 (во) =(1+ ч) ой' 0 (4. П) (4.12) Легко проверить, что (В,з)= ай' (4.12) 3 з,„из приводить в общем случае к начальным деформациям, харак. теризуемым вектором Хотя величина этой начальной деформации, вообще говоря, может зависеть от координат точки внутри элемента, обычно бзит 4 2.
Элемент ала расчета слоистого (трзисзерсзльна-изотрозиога) мате- риала. она считается постоянной и равной некоторому среднему по элементу значению. Это согласуется с условием постоянства деформаций, которому отвечает принятая функция перемещений. Таким образом, в случае плоского напряженного состояния изотропного материала для нагретого до температуры О' элемента при коэффициенте линейного расширения а будем иметь поскольку при тепловом расширении деформации сдвига отсутствуют. Сложнее случай плоской деформации.
Предположение о плоской деформации означает, что при тепловом расширении воз. ннкают напряжения в плоскости, перпендикулярной к плоскости х, у, даже если отсутствуют остальные компоненты напряжения, Следовательно, величина начальной деформации будет зависеть от упругих постоянных. Можно показать, что в этом случае где ч — коэффициент Пуассона.
Особого рассмотрения требуют анизотропные материалы,для которых коэффициенты линейного расширения могут быть различнымн в разных направлениях. Пусть х' и у' на фиг. 4.2 соответствуют главным направлениям материала. Начальная тем. пературная деформация для случая плоского напряженного состояния в этих координатах будет (е м ) (нзб') (ао)' ~ емз ~ = ~ азй' ~, (4.14) Уз'з'о где аз и из — коэффициевты тинейного расширения в направлениях х' и у' соответственно. Чтобы получить компоненты деформаций в координатах х и у, необходимо использовать соответствующую матрицу [Т) преобразования деформаций: (аз)' = [Т[т (аз). (4.15) соззр з)п () — 2з)прсоз() [Т) = Мпзй созе() 2 з1П р сов Р ззпрсозр — з!п()созр соз р — азп () где р — угол, определенный на фиг.
4.2. Таким образом, (зо) легко вычислнетсн. Следует заметить, что в координатах х, у компоненты деформаций сдвига отличны от нуля. 4.2.4, Матрица упругости Матрица [О), входящая в соотношение (23), которое в рассматриваемом случае имеет вид (о) = о» вЂ” — [Ц в„ вЂ” (аз) , (4.16) 'т.» У»» может быть записана в явном виде для любого материала (аэто соотношение не включен аддитивный член (оз)).
Пгосгаг задача творог упругости Глава и «а» аг в = — — + — +в, г Е Е ьо (4. 17) 2 (1 + ч) т»г ' у»г= Е + указ. 1 ч О ч ! О (4.!8) О О о, чаг чаг е = — — — — — +ай', к Е Е Е чек а„ чог в = — — + — — — +ой', Е Е (4.!9) 2(! + ч! т„„ укг и, кроме того, ок ч,о„ ч,аг в = — — — —— к Е1 Ег Е3 [()! ЕП - «1 (1 + ч! (1 — 2ч! ч 1-ч О . (4.20) ч,ак аз ч»ог в— 1 — 2« 2 (1 — ч! — + г Ег Е, Ег Плоское иаприжеииое состаяиие в изотропиам материале. Для плоского напряженного состояния изотропиого материала имеем по определению о, чог в = — — — +п Е Е ко Разрешая эти соотношения отиосительио напряжений, получаем матрицу[0] в виде где Š— модуль упругости, а ч — коэффициент Пуассона. Плоское деформироваииое состаяиие в изотропиом материале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
