Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 13
Текст из файла (страница 13)
рии тела полностью определяются . двумя компонентами перемещений. Такое сечение показано на фиг. 5.1. Если г н г — радиальная и осевая координаты точки, а и и и— соответствующие перемещения, легко заметить, что перемещеиия внутри показанного на рисунке треугольного элемента 1)тн могут быть описаны с по- (к мощью тех же самых функций перемещения, которые использовались в гл. 4. Соответствующий рассматриваемому элементу объем, по которому должны браться все интегралы, представляет со- фиг.
5.1 элемент осесимметричиого бой тело вращения, показан- тела, ное на фиг. 5.1. Как и прежде, треугольный элемент рассматривается главным образом с иллюстративной целью, хотя все основные выводы имеют общий характер. Для плоской задачи было показано, что в выражение для внутренней работы входят только три компоненты деформации в координатной плоскости, а компоненты напряжения, нормальные к координатной плоскости, не дают вклада в энергию, ибо равны нулю либо напряжения, либо соответствующие деформации.
88 Глони 8 89 52.2. Деформация (полная) 5,2, Характеристики элемента 5.2.1. Функция перемещений (5. !) ч (о (оч) (5,2) ч,(о,) где ос + Ьсг + о,н й((= и т. д„ 28 ди де (5.3) (е) = ди дг (5.5) и г ди до — +— дс дг С, = гм — г( = г,„(, В осесимметричном случае любое радиальное перемещение вызывает деформацию в окружном направлении, и, так как напряжения в этом направлении не равны нулю, в рассмотрение должны быть введены четвертая компонента деформации и соответствующее напряжение. В этом состоит отличительная особенность осесимметричного случая. Читателю может показаться, что математические выкладки этой главы несколько сложнее использованных в предыдущей, но, по существу, они тоже основываются на общих соображениях, изложенных в гл.
2. Используя треугольный элемент (фиг. 5.!) с узлами (, 1, ш, пронумерованными против часовой стрелки, определим узловое перемещение через две его компоненты а перемещения элемента — вектором (5)е Очевидно, что, как и в подразд. 4.2,1, для однозначного определения перемещений внутри элемента можно использовать линейный полинам.
Поскольку в этом случае алгебраические выкладки идентичны проделанным в гл, 4, мы не будем их повторять. Поле перемен(ений снова определяется соотношением (4.7) а ! — единичная матрица размерности 2 к,2. В этих соотношениях а,=гг — г а(, Ь,=г,— г =злю (5.4) Осгсиниотричное нонретеенное состояние остальные коэффициенты получаются циклической перестанов- кой индексов. Величина Л, как и раныпе, представляет собой площадь треугольника. Как уже упоминалось, в осесимметричном случае неабхо.
димо рассматривать четыре компоненты деформации. Это фактически все компоненты, которые могут быть отличны от нуля при осесимяетричной деформации, Онн и соответствующие им напряжения схематически изображены на фиг. 5,2. фиг 82. Деформации и яипряжеиня, опреаеняеиме иря расчете осесяннетрнч- яих ген Все рассматриваемые компоненты вектора деформации можно выразить через перемещения с помощью приведенного ниже соотношения.
Использованные выражения очевидны, и они здесь выводиться не будут. Читатель, интересующийся подробным выводом, мажет обратиться к любому учебнику по теории упругости Щ. Таким образом, имеем 91 99 Глоео д тле ди~ дл 0 сч д19, дг 1 — Н( Г Ьч о тд (вд = и т. д. (5.6) сче + — 0 т дтт', дт ди,' дг е (5.7) (5.9) ий' (5.8) Используя функции перемещений, определенные соотношениями (5.3) и (5.4), получаем ( )=(в)(б)'=(ви Вт в.) (б)' Поскольку матрица В содержит теперь координаты г и г, деформации в элементе пе будут постоянными, как в случаях плоского напряженного и плоского деформированиога состояний.
Эта различие обусловлено членом ее. Если заданяые узловые перемещения таковы, что и пропорционально г, то все деформац1ш будут постоянны. Очевидно, что, поскольку только такие перемещения соответствуют постоянным деформациям, используемая функция перемещений удовлетворяет основному критерию гл. 2. 5.2.5. Начальная деформация (температурная деформация) В общем случае должны быть рассмотрены четыре иезази.
симые компоненты вектора начальной деформации Хотя, вообще говоря, начальная дефориация может 'изменяться внутри элемента, удобно считать ее постоянной. Возникновение начальной деформации чаще всего обуслов. лена тепловым расширением. Для изатропного материала в этом случае будем иметь Осеслмметрочнае нолрютенное состояние где 8' — средняя по элементу температура. а а — коэффициент линейного расширения. Общий случай анизотропии иатериала нет необходимости рассматрнватчь так как при этом осевая симметрия невозможна.
Некоторый практический интерес представляет «слоистый» материал, аналогичный рассмотренному в гл. 4, плоскость изотропии которого перпендикулярна оси симметрии (фиг. 5.3). У та- Стиг. ЗЗ. Слоистый иетернлл е случае осевой саииетрнн ких материалов возможны два различных коэффициента линейного расширения: и„в осевом направлении и и, в плоскости, перпендикулярной этому направлению.
В этом случае начальная температурная деформация имеет вид Такая анизотропия часта встречается при исследовании де. талей машин нз слоистых или стекловолокннстых материалов. 92 92 Глава з ч, = чг = ч, (а) = = [(2]((е) — (ао)) 0 ! ч ! — ч ! — ч 1 ! — ч (5.12) 0 ! — 2ч 2 (1 — ч! Симметрично а, ча ча в,= — ' — — '— Е Е, Ее 5.2.5.
Матраца жесткости ча, е = — — '+ г а, чч!ао Е| Е, (5.!0) чео «!а а 'е= — — — — '+— Ее Е~ Е, ' [й]' = 2п ~ [В]г[(е][В] ге(ге(а, (5.!3) У*г О чег ~н я +я(+го я= (5.14) 5.2нй Матраца упругости Теперь надо получить матрицу упругости [В), связывающую леформации (е) и напряжения (а) стандартным соотношением Рассмотрим сначала слоистый анизотропный материал, так как матрица упругости для изотроппого материала может быть получена как частный случай.
Слоистый анизотропный материал (фиг. 5.3). Полагая, что ось з направлена по нормали к плоскостям слоев, перепишем соотношения (4.22) (пренебрегая для удобства, как и ранее, начальными деформациями) в виде Вводя опять обозначения Š— =н н 3 Ее в разрешая систему относительно напряжений, находим (2= ', Х Е (! + ч~) (1 — ч1 — 2нчч) ! — ч! нч (1+э,) пч (1+ч,) 0 н (1 — нч') (ч, +пч!) п 0 л (1 — ичг) 0 Симметрично щ (1+а !) (1 — ч, — 2пч,-') (5.11) Изотронный материал. Для нзотропного материала матрицу [1)] получаем, полагая Е,=Е2 — — Е нли п=1 Оеееиинегринное нонряменное еоешяние а также используя известную зависимость между упругими постоянными Пе О ! Подстановка приведенных выше выражений в (5.1!) дает Матрицу жесткости элемента г]щ можно составить, используя соотношение (2.!0).
Так как объемный интеграл берется по всей кольцевой области, получим где матрица [В] определяется равенством (5.6), а матрица [Ц— соотноп!еннями (531) или (5.!2) в зависимости от сво(штв материала. Интегрирование теперь не удается выполнить так же просто, как в случае плоского напряженного состояния, поскольку матрица [В] зависит от координат, Существуют две возможности: первая — интегрировать численно н вторая — перемножить вхо.дящие в интеграл матрицы н затем почленно проинтегрировать Простейший приближенный метод состоит в определении матрицы [В] для центра тяжести сечения элемента с координатами г~+ г(+ гт з В этом случае первое приближение имеет вид [й] = 2н [В]г [(2] [В] гЬ, где Ь вЂ” площадь треугольника.
94 Глони 3 Осетии«отри«нос нолрят«енное состояние [йте]=24« ~ ~ [В«) [В][В«]ге(гз1г. (5,!5) Целесообразно выделить в подматрицах [В] постоянную и переменную части. Так, например, можно написать [В,] = [В,] + [В[], (5.16) где [Ве] — матрица [Вс] для центра тяжести элемента [использованная в (5.!4)], а второе слагаемое — отклонение от этой величины. Легко показать, что это слагаемое можно записать в виде (о, + с,е)/т — (ос + с 2)/Г [В[] = (5.17) 2з Подставляя эти выражения в (5.!5) и замечая„что ~ [Вт] г с(г с(г = [0]т Можно было бы использовать более точные методы, требующие вычисления подынтегрального выражения в нескольких точках треугольника.
Такие методы будут подробно рассмотрены в гл. 8. Однако можно показать, что если используемый метод численного интегрирования позволяет точно вычислить объем элемента, то при неограниченном возрастании числа разбиений ретнение будет сходиться к точному [4). Предложенное здесь «одноточечное» интегрирование является методом численного интегрирования именно такого типа, поскольку известно, что объем тела вращения равен произведению площади сечения на длину пути. пройденного центром тяжести.
Для получения достаточной точности при использовании простых треугольных элементов обычно требуется довольно мелкое разбиение, поэтому большинство созданных программ использует этот простейший метод интегрирования, который, возможно несколь. ко неожиданно, иногда оказывается лучше точного. Причина этого состоит в том, что при точном интегрировании появляются члены, содержащие логарифмы. Под знак логарифма входят отношения типа ге/г . Когда элемент находится на большом расстоянии от оси, величина этого отношения близка к единице и логарифм вычисляется неточно. Если возникает необходимость в точном интегрировании, то удобно поступить следующим образом.
Как и в предыдущей главе, разобьем матрицу жесткости на отдельные подматрипы размерности 2 Х 2 [см, соотношения (4.28) — (4.30) ] вида получаем [йее] = [йте] + ~й;,], (5.18) где первое слагаеыое в точности совпадает с (5.!4), а второе— поправочный член„ определяемый выражением ;«", ~ ((а,+е,г)/г — (а,+е,г)/г) ((а,+е г)/г — (а,+о г)/1) ге(г Вг. (5.!9) Если для интегралов использовать сокращенные обозначения — йг г(г = й ° 1ь 1 Г ~ — 'бтбг=б./ь «2 — с(г «г = б ' 1» т то окончательно поправочный член можно записать в виде ~й',]= —,", [,",~ х л( (а а, (1, — 1/г) + (а с, + а с ) (1» — г/г) + е е,(1» — гэ/г)]. (5 2!) Интегралы 1, — 1» вычисляются в явном виде через узловые координаты. 5,2.5.
Внешние узловые силы В двумерных задачах, рассмотренных в предыдущей главе, вопрос определения узловых сил, обусловленных внешней нагрузкой, был настолько ясен, что не нуждался в комментариях. В рассматриваемом случае, однако, следует иметь в виду, что узловые силы изображают совокупность сил, действующих по всей длине окружности, образующей «узел» элемента. Это обстоятельство уже учитывалось при составлении матрицы жесткости элемента, когда интегрирование проводилось по всей кольцевой области элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
