Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 17
Текст из файла (страница 17)
7.4. Количество узловых точек е-.г Фиг. 7.4. Прямоугозьиини е узлами ин границе (сиреициооно семеастно]. н-нн мент перно о оор нн; Π— н. мент нтнрнг еорннны и — ннн нт тр о оряянн иа сторонах этих элементов увеличивается, причем нх число на каждой стороне одинаково. Для обеспечения непрерывности функция формы должна изменяться вдоль границ элементов а — в по линейному, параболическому и кубическому законам соответственно. Чтобы построить функцию формы для первого элемента, от.
метим, что произведение —,' а+ 1ич+ 1) (7.10) равно единице в верхнем правом углу, где $ Ч = 1, и нулю в остальных углах. Эта функция изменяется вдоль всех сторон линейно, и, следовательно, условие непрерывности выполняется, Введение новых переменных со =ссг, (7.11) позволяет записать все функции формы в виде одного выражения у =-,'(1+в)(!+Ч) (7.12) Так как линейная комбинация этих функций формы позволяет описать произвольный линейный закон изменений !Ь, вто. рой критерий сходимостн тоисе удовлетворяется. Читатель легко может убедиться, что приведенные ниже функции для элементов второго и третьего порядков удовлетворяют всем необходимым критериям.
Элемент второго порядка: угловые узлы №= 4 (1+$о)(!+Чо)(йо+т!о — 1) (713) узлы на сторонах 1,=9, Л = — Х(1- З-) (1+Чэ) ! ч,=о, №- —,(1+Ы(! — Ч) ! Элемент третьего порядка: угловые узлы №= — '(1+Я(1+Чн) [ — !О+9(кз+Ч')), узлы иа сторонах ! йг=~! и Чг=~ —, в' Уг= зх (1+%о)(! — Ч') (1+ 9Чо).
Выражения для узлов на других сторонах получаются заменой переменных. В следующем элементе этого семейства — элементе четвертого порядка [б) — добавляется центральная узловая точка, так что следует рассматривать все члены полного полинома четвертого порядка. Благодаря наличию центрального узла добавляется функция формы (! — $з) (! — Чз), которая обращается в нуль на всех сторонах. Приведенные функции были найдены путем подбора. Получить функции формы для элементов этого семейства более !24 Глава 7 (7.16) высокого порядяа достаточно трудно, и требуется некоторая изобретательность.
Своим названием это семейство обязано принцам Сирендипским, прославившимся своими неожиданными открытиями (Гораций Уолпол, 1754).- Для многих практических целей могут потребоваться элементы с различным числом степеней свободы в направлениях $ .и Ч. В частности, такие элементы могут использоваться, когда в каком-та определенном направлении напряжения изменяются по заданному закону, а в другом — произвольно (как, напри. мер, в балке). Некоторые функции формы таких элементов, з танже элементов с различным числоы степеней свободы иа противоположных сторонах рассматриваются в рабате [2), но читатель может и сам испробовать свое мастерство для их построения.
7.4. Прямоугольиме алемеиты. Лаграижево семейство [3, 6, 7) Простой и универсальный способ получения функции формы любого порядка состоит в перемножении соответствующих по. линомоз по каждой из двух координат. Рассмотрим элемент, показанный на фиг, 7.5, в катарам внутренние и внешние узлы располагаются на правильной сетке. Пусть требуется определить функцию формы для точки, обведенной кружочком. Очевидно, что произведение полинома пятой степени по 5, равного единице в точках второго столбца и нулю во всех остальных узлах, на полипом четвертой степени по Ч, равный единице при значениях координат, соответствующих верхней строке узлов, и нулю в остальных узлах, удовлетворяет условиям непрерывности между элементами. Полниомы от одной переменной, обладающие таким свойством, называются полииомами Лагранжа.
Они записываются в виде Ы!1 ~» П»П П+» П вЂ” (7.!5) П вЂ” й»П —" )" Пг — 1 — )П вЂ” !го )" (йг — 5» Таким образом, если пометить узел номером столбца и номером строки, нэ пересечении которых он расположен, то получим где л и т — количество разбиений в каждом направлении. На фиг. 7.6 показано несколько элементов этого бесконечного семейства. Несмотря на то что такие элементы просто получить, применение их не всегда полезно ие только вследствие введения большого числа внутренних узлов, но и из-за плохой аппроксимации кривых палиномами высоких порядков. Следует Фнг.
7.5. Тнпнтнэн функция форэм лля элвнонта лпгрвнжева семейства. Фнг. 7.б. Трн элемента лэгрэпжэвэ сопойствв. Л-элэпээт пэрэого порэлпэ; Н-ээепэпг эторого оорэлпэ; э-ээгпоэт трэтьэго порплпэ. !2а 127 Глава 7 Францие формм элемента отметить, что вырахчения для функций формы содержат члены высоких порядков, тогда как некоторые члены более низкого порядка в них отсутствуют. 7.6. Внутренние узловые точки и неузловые переменные Нз фиг.
7.4 и 7.б элементы первого порядка одинаковы, а элементы второго порядка отличаются наличием центральной точки. Функции формы для двух типов элементов второго порядка приведены на фиг. 7.7. Фвт. 7.7. Функции фаран влв эвеиентов второго ворецка снреннипова а лагранжева семейств. На границах элементов зти функции однозначно определяются значениями в граничных узлах, и, следовательно, на границах они совпадают (хотя внутри элементов и существуют различия). Дополнительная степень свободы элемента лагранхчева семейства описывается дополнительной функцией, умно-'. гкенной на некоторый параметр и равной нулю на границах.
Этот параметр представляет собой значение функции ф в центральном узле. Ясно, что можно построить элемент семейства Сиренднпа с таким же числом степеней свободы, вводя дополнительную функцию формы, обращающуюся на границах в нуль, и умножая ее на некоторый параметр элемента ф". Все функции формы для элементов Лагранжа можно использовать и для элементов Сирендипа, но прн этом множители не соответствуют никаким узловым значениям функции ф. Множитель ф' можно назвать неузлозьэм параметром элемента. Минимизация функционала по такому параметру осущест. вляется так же, как и для внутреннего узла, ио физический смысл таких величин, как узловые силы и т.
д., теперь уже не ясен. При желании каждому элементу можно поставить в соответствие несколько неузловых параметров, Этот прием обычно не имеет больших преимушеств, так кан введение неузловых параметров не изменяет функцию формы на границах. До сих пор функции формы строились только в виде полиномов. Это имеет много преимушеств. В частности, в полипом зхо. дят линейные члены, необходимые для выполнения требования постоянства производной Однако при наличии дополнительных .степеней свободы пет необходимости ограничиваться полинома.
ми. С таким же успехом в предыдущем примере можно было бы испольэовать, например, функцию соз — $ соз — ть (7.!7) тождестиепно равную нулю на границах. 7В. Исключение внутренних переменных при составлении ансамбля. Подконструкцин При использовании внутренних узлов и неузловых парамет.
ров обычным путем выводятся соотношения (см. гл. 2 и 3): ЗХ (й)е (ф)е ( (р)е (7. И) Поскольку каждую из функций (ф)е можно разделить иа дзе части, одна из которых (ф)э связана с соседними элементами, 128 Глоыэ 7 128 Фрнечио Формы элементе в другая (ф)' характерна только для данного элемента, можно записать дх дх' == — =0 д (Ф)э д (Ф)э и исключить Щ' нз дальнейшего рассмотрения. Запишем (7.18) в виде ! д (Ф)э й)эг (й), рэ + (г)э (7 19) Из второй строки (7.19) находим Ю'= — (й)' '((йет(ф)'+ Р)') (7.20) н после подстановки этого вырагиения в первую строку (7.19) получаем дХе (й )э (,~~е ) (и )э (7.21) д (Ф)э где (й*) =(й'-(й'(й)' '(йег (7.22) (Р')' = (р')' — (й)'(Ч' ' (~)'.
Далее составляется система уравнений, содержащая лишь переменные, связанные с границами элементов, для всей области. Такой прием позволяет за счет некоторых преобразований Ы ~~ 1~~ 1' Г ~туг, г Фег. г.8. Сложный элемент. на начальной стадии рассмотрения отдельного элемента суще. ствеино упростить решение системы уравнений.
Уместно дать интерпретацию такому способу исключения нсузловых переменных и провести аналогию со строительной механикой, Описанный прием, по существу, сводится к выделе. нню части конструкции и нахождению решения для этой части при заданных произвольных перемещениях на границах. Матрица (й')' представляет полную жесткость выделенной части, а (Е')" — эквивалентную систему узловых сил. Если разбиение на треугольные элементы, показанное на фиг.
7.8, интерпретировать как совокупность шарнирно соединенных стержней, читатель без труда узнает хорошо известный прием выделения подконструкций, часто используемый в строительной мехииике. Такая подконструкция, по существу, представляет собой сложный элемент, внутренние степени свободы которого исключены. Описанный прием позволяет строить сложные элементы, которые обеспечивают получение более точного решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
