Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В этой задаче рассматривалось около 10 000 с в боды. В гл. 9 будев показано, что использование более тепе- сложных элементов позволяет провести достаточно точный рас. чет аналогичной задачи с гораздо меньшим об им и пеней свободы. ГЛАВА 7 ФУНКПИИ ФОРМЫ ЭЛЕМЕНТА. НЕКОТОРЫЕ СЕМЕИСТВА ЭТИХ ФУНК([ИИ 7.1. Введение ЛИТЕРАТУРА $. ОвнвкЬег Е. Н., Рвд1оя !., Вб!вега Р Р., Мгвт Апв!уь|ь о1 Нев лог, Бе лврд, Анализ нвпрвженнй в ковсгрукннкх сложно" й 61 (1962). р ных нвгреву, Рикегкил технике и космокавгики, 32, М ' о, сгр. 52— Б.
Т. 4, 205 — 223 (Апя 1963). 2 Ме!оьь Е !., 51гнс1пгв! Апв!увЬ а1 Ба!Мь, Ргос, Лтег. 5ос. С[ . Е ег. ос. ш. ка., 3. ЛгкугЬ ! Н., Мв1г[х Апв!увЬ о[ Т[мее-О!тепыапе[ Е[вь[п Мед!ь— Бтв1! впд Евгке О[во!влетев[в, 7Л[ЛЛ, 3, 45 — 5! (дьп. 1965; пе свод: А гв пс, М р: р р, Матричный вввлнь малых н больших пере ь й ( вп. ); есть русский хме вых пр м тевв в сгр. !77 — 186 (1965). гре р у ругнх средах, Рлкегклл технико и космоклвгики, 3, !ы 1, 4. ЛгвугЬ Д Н., ТЬгее-Оппепьшпв! Ап[во1гор[с впд 1пьотокепеонь Межв— Мв[г[х Апв!уьЬ [аг Бпвп впд 1.вгве О[ар!всетеп1ь, [паеиши А с[К ., 34, 5 Пв*Ь!д тг.
Е., Еадсепьвньег Цгк Ргетнге Челке[ Апв1увЬ Ьу Гчпне Е!етеп1 Тесьпщнеь, Ргас. Сап[. оп Ргев!гевьед Сопсге[е Ргеььнге кете!ь, [пь[ С[е. б. ЛгаугЬ Д Н., Сопппнв впд О!ьсопкпов, Ргос. Сощ. Мв1пх Ме1Ьад* [п 51гвс[пгв1 Мес[гап[сь, Ткг[вы Рвпег*оп Л[г Рогов Вене, ОЫо, Ос[. !965. 7. [голь В. М, Епк[песг[пк Аррнсвпопь о[ Ннтегмв! 1п1еагвноп [п 5161- шт Мыь~дк 7Л[ЛЛ, 4, 2035 — 203 (1966); сгь руыквй туевою Ай онк Йкженерные прнложечнв численного нвгегрнров кегнол гелклкл и «осмолаьгикл, 4, $0 11, сгр. 213 †1 (1966).
8. Егяе1оиды Д, [гонь В. М., 2[ссылке[се О. С., Т[пее Огтепвгопв[ Лпв[уьм Епя., 1963 о1 Агсь Овтв впд ТЬе[г Роппдвпопь, Ргос. Бутр. Аг Ь О, ! 1. С' . 9. АгяугЬ Л Н, Педььеп д С.. ТЬгее О[шепа[сне[ Апв[уь[ь о$ Тмо АгсЬ ! 968. Овгль Ьу в Р[пне Е1егпеп[ Ме[Ьод, Ргос. 5упгр, Аг Ь О, 1. С', у р, гс вть, [пы.
С[в. Епя., 10. Е[е[д Б., «ТЬгее О[тепв[опв1 Тьеогу о[ Е!вв!ыв», щпце Е[етеп М !и 5!гель Аль!уьв Но!впд !. Вен К. едв., ТесЬ. Нп[ Р Т ш[Ь $1969 11 Ры$го д О., ТЬеь[в 1967, Ьььоьгь[ог!о Нвс!опв[ де Епкепввггв С!е[1, [дь- В предыдуших трех главах дано довольно подробное описание, как могут быть поставлены и решены задачи линейной тео= рии упругости с помощью конечных элементов простейших форм.
Хотя подробные выкладкк проведены только для функций формы, относящихся к треугольным и тетраэдральиым элементам, очевидно, что точно так же можно было бы рассмотреть н другие элементь[. Фактически если выбран тип элемента н определены соответствующие функции формы, то все дальнейшие действия просты, порядок их ясен и они могут быть выполнены вычкслителем, не знакомым с физическим содержанием задачи.
Из последующего станет ясно, что вполне возможно составить программу, позволяющую решать на машине широкве классы задач только при задании определенных функций формы. Однако выбор функций представляет собой вопрос, требующий разумного решения, в принятии которого роль человека пока является определяющей. В настоящей главе излагаются правила построения некоторых семейств одномерных, двумерных и трехмерных элементов. В задачах теории упругости, рассмотренных в гл.
4 — 6, перемещения представляли собой двух- или трехкомпоиентный вектор, а функции формы записывались в матричном виде. Однако функции формы строились для каждой компоненты в отдельно. сти, и матричные выражения, по существу, получались путем умножения некоторой скалярной функции на единичную Матрицу [см., например, (4.7), (5.3) и (6.7)). Поэтому в этой главе ограничимся рассмотрением только скалярных функций формы Лг! (штрихи в обозначениях опущены). Функции формы, использованные при решении задач теории упругое~и в перемещениях, удовлетворяли критериям сходимости глав 2 и 3: а) непрерывность только неизвестных должна иметь место между элементами (т. е. непрерывность угла наклона не тре.
буется]; б) функция должна допускать выбор произвольной линейной формы, обеспечивающей постоянство деформаций (постоянство первой производной функции), пз Глазе 7 Функции фермы элементе 119 Фзг. тб, Прямеугельный элемент. От фуннций фоРмы, которые рассматриваются в этой главе, требуется только, чтобы опи удовлетворяли этим двум крите. риям.
Поэтому их можно использовать ва всех задачах преды. дущих глав и,в других задачах, в которых требуется выполне- ние только этих условий. Например, введенные здесь элементы и функции можно использовать во всех задачах гл. 15. Факти- чески ани применимы всегда, когда в функционал Х (см. гл. 3) входят производные только первого порядка. Семейства элементов отличаются друг от друга числом сте. пеней свободы. Вазнинает вопрос: можно ли получить преиму.
щества экономического или какого-либо другого характ ра, у ожняя элемент путем увеличения числа степеней свободы? сл вил, Ответить на него нелегко, хотя можно сказать, что, как о, при заданной степени точности усложнение элемента при. пра- водит к уменьшению общего числа неизвестных. Однако эконо- мичность алгоритма определяется как временем счета, так и степенью сложности подготовки входных данных. При умень- обхо и шенин числа переменных мажет заметно увеличиться вре д мое для получения основных соотношений, хотя время р мя, не- решения урзвнений прн этом уменьшается. В п редыдущей главе уже упоминалась, чта повышение эф- фективности алгоритма особенно важно при решении трехме- ных задач.
Р Это в то важна и при решении других задач, поэтому в каждом конкретном случае должна быть найдена оптимальная форма элемента. дВумеРные Влементы 7лк Прямоугольные элементы. Некоторые предварительные соображения Очевидно, что (особенно, если читатель привык использо. вать декартову систему координат) простейшим плоским элементом является прямоугольник со сторонами, параллельными осям х и у. Рассмотрим, например, прямоугольник, изображенный на фиг.
7.1. Здесь узловые тачки пронумерованы от 1 до 8. Значения неизвестной функции ф в них представляют собой параметры элемента. Как определить функции формы для эле. мента такого типа? Предположим сначала, что аии являются полнномами по х и д. Для того чтобы функция ф была непрерывна между элементами, она должна изменяться вдоль верхней и нижней границ по линейному закону. Для каждого из элементов, расположенных выше или ниже рассматриваемого прямоугольника, суще. ствуют две точки, в которых функции принимают заданные зна- ченин, н, так как два значения единственным образом определяют линейную функцию, условие иецрерывности выполняется во всех точках этих сторон.
Это обстоятельства уже использовалось при выборе линейной функции формы для треугольника. Аналогична если вдаль вертикальных сторон принят кубический закон изменения функции формы, то условия непрерывности на них выполняются, так как четыре значения единствен. ным образом определяют кубическое разложение. Первый критерий при этом удовлетворяется. Для того чтобы производная могла принимать любые наперед заданные значения, в разложении необходимо учитывать все линейные члены.
Так как для определения функции нмеетсн восемь точек, в разложении можно оставить толька восемь членов, т. е. можно положить ф= и, + п,х+ пер+ ачхУ+ пхр'+ алхУ'+ пгйх+ архУ'. (7.1) Вопрос о том, какие именно члены следует сохранить в полииоме, можно решить едиистненным образом, если оставить члены возможно более низкого порядка, хотя мы поступили по-другому' ). Читатель может легко убедиться, что теперь выполнены все необходимые требования. Подставляя координаты различных узловых точек, получим систему уравнений для определения коэффициентов. Она запи- '1 Сохренеяпе е резлежелня члене еысшеге порядка, х пе более ппэхоге преледит ебычно х несхедьхс худшей аппроксимации, хотя схсдписсть прн этси ссхреняется [1) !20 !2! Глава 7 Фрытчиа формы элемента 1, ха уа х,уа уи х,уа уа х,у, з (7.2) (ф)' = [С] (а) (7.3) Отсюда получаем (7.4) мз (7.5) где (7.6) опреде- (7.7) сывается, как н (4.4) для треугольника, в виде (а) = [С] (ф)~, н формулу (7.1) можно записать в виде ф = [Р](а) = [Р][С] (ф), [Р] = [1, х, у, ху, у-", ху', у', ху'].
Таким образом, функция формы для втого элемента, ляемая равенствам ф=[Руиф)'=[ура йуз, ", )Уз](ф), находится из соотношения [ртг] = [Р] [С] '. (7.8) Этот метод, не требующий большой изобретательности, часто используется на практике, однако он имеет существенные. недостатки. Иногда матрица [С] может не иметь обратной [2Ь и, кроме того, всегда нахождение обратной матрицы в общем виде, пригодном для элементов всех конфигураций, сопряжено с преодолением значительных алгебраических трудностей.
Поэтому целесообразна выяснить, нельзя лн прямо записать функции формы Мт(х, у). Прежде чем сделать это, рассмотрим некоторые общие свойства этих функций. Некоторые важные свойства можно выявить, анализируя соотношение (7.7). Во-первых, так как эта равенство справедливо для всех (ф)', то в узле з н обращается в пуль во всех остальных узлах. Кроме того, должны соблюдаться законы изменения функции вдоль границ, обусловленные требованиями непрерывности (в приве-. денном примере — линейный закон по х и кубический по у).
На фиг. 7.2 в нзометрии изображены фуницни формы для рассмат. риваемых элементов, соответствующие двум типичным узлам. Ясно, что вх можно записать в виде произведений соответствующих функций, линейных по х и кубических по у. Очевидна, что такое простое решение, как в этом примере, возможно не всегда, однако вообще рекомендуется записывать функции формы в явном виде. В дальнейшем удобно использовать нормализованные координаты. Такие координаты показаны на фиг.7.3; ани выбираются так,чтобы стороны прямоугольника совпадали с коарлинатнымн Фиг. 7.2.
Фуикиии формы дли влет еитз, покзззнното ие фиг. 7.!. Фнт. 7Д Нормзлнзокз|тиые координзтм длк примоуголеиикз, Глана 7 Фуиачаа гроуим элемента линиями ~ !. Эти координаты соотношениями и — ен к= связаны с координатами г и у ка г(з = —, а (7.9) У Ун Ь Чо = Чти (7.14) Если функции формы известны в нормализованных координатах, то переход к первоначальной системе координат и преобразование различных выражений, встречающихся, например, при определении жесткости, тривиальны и их можно осуществить с помощью соотношений (7.9). 7.3. Прямоугольные элементы. Снрендипово семейство [3, 4) Удобнее всего выразить функции через координаты узлов на границе элемента. рассмотрим, например, первые три элемента, изображенные на фнг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
