Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В этом случае, кроме трех компонеит напряжении, существует нормальное иапряжеяие аь Для частиого случая изотроп. ного теплового расширения имеем чек чаг аг е =О= — — — + — +пй'. Е Е Е Исключая ам определим три остальные компоиеиты яапряжеиия. Полагая иачальиую деформацию в (4ЛЗ) равной нулю и сравнивая с соотношением (4.16), получаем матрипу [О] в виде Аииэотропиые материалы.
Для описания зависимости между иапряжеииями и де!рормациями в случае общей аиизотропии в трехмериом состоянии необходима 21 независимая упругая постояииая [4, 5]. Для лвумеряого состояния число независимых постоянных в матрице [г!] не превышает шести. Поэтому в самом общем двумерном случае можно написать А! Е!г Р]= (4.21) Симметрично (Необходимость симметрии матрицы [О] следует из теоремы взаимиости Максвелла — Бетти и является следствием инва- фиг, 43 слоне«ма !трвнсперсгльпо.изотропима! матеРиал. Плосгость слоег параллельна плавности г, г.
риаитиости энергии относительно пути достижения заданного деформированного состояния.) Особый практический интерес представляет «слоистый» или траисверсальио-изотроппый материал, в слоях которого существует круговая симметрия свойств Свойства такого материала характеризуются пятью иезависимыми упругими постоянными. Общие соотношения между напряжениями и деформациями в этом случае в обозначениях, введенных Лехиицким [4], при направлении оси у (фиг. 4.3), перпеидикуляриом плоскости слоев, и отсутствии начальных деформаций имеют вид Глава 4 Плоская задача теории укроеости ттая агав а. — — — — +— Ег Ег Ег ' 211 ц-ог] т „, г (4.22) 1 а яо 1 — т 62 уяв [й] = ~ (В]'(В] [В]гаях йу, (4.26) пг и — =т Ег 0 0 т(1 — ло ) (4.23) гйн йц й, [й]=~ й„й„й,,„„, й„, й„г Ф (4.29) 3 е д сь постоянные Еь иг (Ог — зависимая величина) характерн.
зуют поведение материала в плоскости слоев, а Е, 6, 2, 2, 22 в перпендикулярном к ним направлении. В двумерном случае матрица [!1] после введения обозначе- ний принимает для плоского напряженного состояния ви ад Л Лаг 0 0 а для плоской деформавнн (В] = ' , Х (1+ т,) (1 — о, — зат,') л(! — лог) атг (! + 2,) Х лтз(1+чг) (1 чг) 0 0 0 О, (4,24) т(1+ М)(1 — ч, — 2лт]) Если же слои расположены под некоторым углом к оси х, как показано на фиг.
4.2, то для получения ма ри [В! невольной системе координат необходимо выполнить преображения и е зованне. Обозначая через [В'] матрицу, связывающ что деформации в системе координат х', у', легко показат, зать, [Р! = (Т! [Р'][Т]т, (4.25) где[Т] — матрица, введенная в (4.15). Если напряжения (о') и (а) соответствуют деформациям (е') и (е), то из условия равенства работ (о')т (з') = (а)т (а) или, (е')' [В'] (е') = (е)' (О] (е) после подстановки (4.15) следует равенство (4.25) (см. гл. 1), 4.2.5.
Матрица жесткости Матрица жесткости элемента цт определяется с помощью общего соотношения (2.!0), в соответствии с которым где 1 — толщина элемента, а интегрирование производится по площади треугольника. Если предположить, что толщина элемента постоянна, что тем ближе к истине, чем меньше размеры элемента, то, поскольку ни одна из матриц не содержит х или у, имеем простое выражение [й] - (В]т [В] [В! 13, (4.27) где А — площадь треугольника [введенная соотношением (3.5)!.
Такая форма записи позволяет вычислить матрицу с помощью ЭВМ. Матрицу (В], определенную соотношением (4.10), можно записать в виде (ь, 01 ] [В]=(Вь Вг, В„], где (Ве]=~0 се~~25 н т. д, (4.23) с, Ьг Матрица жесткости может быть записана в аиде где подматрнцы разлгерности 2Х 2 строятся следующим образом: [йы] = (В,)г [В] [В,) 13.
(4.30) Такая форма часто бывает удобной для вычислений. 4.25. Уэловыв силы, обусловлвнныв начальной деформацией Эти силы определиются в явном виде выражением (2.12), которое после интегрирования принимает вид (Р),'= — [В! [В][ео]го н т. д. (4.31) 7О Глава д ?1 Плоская водою егоров уоругосса Ясно, что для всякого элемента (4.32) (4.35) (Р)с =в (Р)=© 4.2.8. Потенг(иал обьемногх сил (4.33) ~ х "с "У= ~ рдхду=б, и, используя (4,8), получаем Следовательно, дф [ьо ьр ь ]!ф) яа (4.39) дф [с., ср с ! (ф)г (4.34) Расчленяя это соотношение, можно записать (Рг)»,= — (Вг] [0][ео)ГЛ и т, д.
Силы, обусловленные начальной деформацией, распределяются по узлам элемента неравномерно и должны быть вычислены точно. Аналогичные выражения получаются пля сил, обусловленных начальными напряжениями. 4.2.7. Распределенные объемные силы В общем случае плоского напряженного или деформированного состояния на каждый эчемент единичной площади в плоскости х, у действуют силы в направлениах соответствующих осей. В соответствии с (2.11) вклад этих сил в узловые силы определяется выражением (Р) = — ][М] ~ лгдхдд, или, на основании (4.7), (Рг)р ] ! ~ Мгдхдр и т д, при условии, что объемные силы Х н У постоянны.
Так как М, не является постоянной, должно быть выполнено интегрирование. Некоторые общие формулы интегрирования для треугольвика приведены в приложении Н1. Если за начало координат выбран центр тяжести элемента, вычисления упрощаются. В этом случае [Рг)р= — ] У [ ~ агдхду(2Л= — ] (а/2, — (У.[" или, учитывая примечание на стр. 62, имеем [Рг)р= — ~ у~ЫЗ=(рг)р=(Ры)р. Х У Х У Х У Это означает, что асс объемные сизы, действующие в направлениях х и у, распределены между тремя узлами поровну. Этот факт не противоречит физическому смыслу и часто неявно ис- потьзовался Во многих случаях объемные силы определяются через потенциал объемных сил ф в виде (4.36) дс ' дв ' и чаще не значения Х и У, а именно этот потенциал известен повсюду в области и считается заданным в узловых точках.
Если (ф)' содержит три значения потенциала в узлах элемента, т, е. имеет вид столбца ('ф 1 (ф)е ф (4.37) ф то в случае постоянных Х и У потенциал ф должен изменяться внутри элемента ао линейному закону. Функция формы для него, очевидно, может быть построена, как и ранее [см. (4.4)— (4.6)], в виде ф = [М;, М;, М' ] ( ф)'. (4,38) 72 73 Плоская задача теории упругости Гласа 4 Вектор узловых сил, обусловленных потенциалом объемных сил, будет описываться соотношением ь, ь, с; с! ь ь ос а! ь, ь, с! а! (4. 40) заменяющим (4.35), 4.3.
Примеры. Оценка точности п Ие вызывает сомнения, что решение плоских зада у ругости методолз, изложенным в равд. 4.2, прн неограниченном уменьшении размеров элелзентов стремится к точному. Од. пако при любом конечном числе разбиений это решение будет приближенным, как, скажем, решение в ви Фур ограниченным числом членов. в иде ряда урье с ной эн Как уже объяснялось в гл. 2, приближенное значенн ергии деформации всегда будет ниже истинного значения, что пол че соответствующего точному решению. Практически эт .
у енные перемещения, а следовательно, н напряжения все это будут в целом заниженными. Однако следует подчер н не всегда справедливо для каждой отдельной точки сплошной с е ы. П р д . Поэтому практическое значение такой оценки невелико. 4.2.9. Вычисление мапрлэкений П мат олученные формулы дают возможность состав рицу жесткости конструкции и получить решение ст вить полную мещений. ре е ие для переством 2.15, Матрица напряжений, определяемая в общем виде ( .
), получается для каждого элемента после соответем виде равенствующих подстановок. П о предположению напряжения постоянны внутри элемента. большинств Обычно их приводят к центру тяжести; это б ет ольшинстве примеров этой главы. Иногда значения напряже. мента . ний в узлах получают усреднением напряжений в смежных х. Кроме того, имея некоторый опыт, можно использовать и метод усреднения «с весом», но он не намного лучше.
Обычно с помощью ЗВМ определяются главные напряжения и их направления в каждоз! элементе. Инженеру весьма важна знать, какая точность мажет быть достигнута в расслзатриваемых задачах при уменьшении размеров элементов. В каждом частнол! случае ошибку можно оценивать путем сравнения решения с известным точным решением или путем изучения сходимости по результатам, полученным при разном числе разбиений. ред«и «иее«и« рс«« ' Лыче«ее Ш Сил«шлеи и««аиыи — ырсиины «и«си с = — ! Р !.„=,„„= о) с -. О,)у Фпс. 4.4. Резульееты решения зздэчп о чисток изгибе балки прн доетзточпо ШУбом Резбкенпк нз тРе)тельные элементы.
!Знзчекнл нэпРЯкыннб оть а, л, прннешны н укзэзнном порядке.) н 74 Глава 4 75 Гулослая задача теории уиругосги ок При наличии опыта инженер может заранее оценит д точности результатов для данной конкретной задачи прн заданном числе разбиений. Некоторый такой опыт, вероятно, можно приобрести, изучая примеры, приведенные в этой книге. начала рассмотрим некоторые простые задачи, для которых известны точные решения. Однородное поле напряжений. В этом случае решение, полученное методом конечных элементов, будет полностью совпд ть с точным решением независимо от числа разбиений.
овпа- Фиг. 4.5. Круглое отверстие в аблисти однородного иворижевнаго состояния. Очевидно, что этот результат следует из постановки задачи, ио тем не менее он полезен ддя первоначальной проверки вычислительных программ. Линейно изменяющееся поле напряжений. В этом случае предположение о постоянстве напряжений внутри ий вн г и элементов означает, что решение всегда будет приближенным. На фнг. 4,4 в качестве примера представлены результаты расч вольно грубом разбиении балки, работающей в условиях чистого изгиба.
Видно, что осевые напряжения и, сол дом конечных элементов, берут в «вилку» точное решение. Если постоянные по элементам значения напряжений тн р жени отнести к центрам тяжести элементов и нанести их на график, наименее отклоняющаяся от этих точек, фактически является точным решением. Компонента напряжения в горизонтальном направлении н напряжение сдвига отличаются от точных (нулевых) значений — оии колсблются около ппт с небольшой амплнт удой. Можно убедиться, что если напряжения во внутренних узлах вычисляются как средние по примыкающим к ним элементам, то они очень мало отличаются от точных. Однако иа внешних поверхностях усреднение дает несколько худшие результаты.
усреднение напряжений в узловых точках часто применяется для уточнения приближенного решения (фнг. 4.4). Для уточнения решения в узловых точках, расположенных вблизи поверхности конструкции, можно использовать усреднение с весом. Нам, однако, кажется, что для получения большей Фиг 4.5. Сравнение теоретических результвтав с результатами решеич» методам канечнмл элементов звдвчн, иллюстрнравнннаа ив фиг. 4 5. а †шат н Е матер ллг б-арт тр Е м терн л. И =Л = Ь и„ и Д т О,г ч О, и а,ш. — тш а реш лла бе л ач ан иллатмнш О рашалма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
