Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3) где Пусть рассматриваемая область разделена на более мелкие части, подобласти, которые будем далее называть элементами, и пусть функции, которые мы хотим определить, для каждого элемента записываются в виде (Ф) = [А !(ФГ (3.2) Здесь (Ф)' может содержать узловые значения функции, соответствующие такому элементу, или некоторые характеризующие его параметры.
Неизвестйая функция взята в фнгурйые скобки, чтобы показать, что она может быть вектором, как в примере гл. 2, а (е)(] — матрица, определяющая зависимость функции формы от координат. Для минимизации функпионала Х по всем параметрам (Ф) полной области следует записать систему уравнений х=][[,(Ф) ЫФ) ".)йУ+$3((Ф), —,„(Ф), ...)йЗ, (ЗЛ) [Кп] = д. [АегГ. (Ю ='Г ЖГ. (3.8) (3.9) 46 ббаб ценив яачятчя каквчаыя злв.авятав 47 Глава В Суммирование производятси по всем элементам, как н в зада.
чах строительной механики н расчета сетей, рассмотренных в гл. 1 и 2. 3,2. Критерии сходимости Для того чтобы уменьшение размеров элементов приводило к сходимости, функции, входящие в выражение (3.1), должны удовлетворять определенным требованиям полно ы. Во-п т о-первых, при уменьшении размеров элемента функции ) . и д в интеграле (3.1) должны оставаться однозначныии и хорошо отражать физическую сущность задачи. Таким образом, необходимо удовлетворить следующему критерию; Критерий 1. Функции формы элемента )14) должны быть та. ковы, чтобы при соответствующем выборе «Ф)' и стрсмлеаии размероа элемента к нулю можно было получить любые постоннные значения (ф) или ее производных, входящих в функционал д. Во-вторых, должно оставатьсн справедлиным суммирование (3.4) и, если не добавлены поверхностные интегралы по гра.
нице между элементами (7), мы должны быть уверены, что величины, подобные ) и у, остаются на них ограниченными. Это возможно, если производные наивысшего порядка от ф, входящие в выражения для функций ) и у, конечны. Таким образом, можно сфориулнровать второй критерий. Критерий 2. Функции формы элемента (Н) должны быть выбраны так, чтобы ()>) и ее производные, иа порядок более низкие, чеи производные, входящие в выражения для ) и д, были непрерывны на границе между элементами.
Э тот критерий несложно объяснить, если представить себе что элементы разделяются между собой очень тонким слоем, который должен быть учтен в определяющих величвну т интегралах и в котором происходит плавный переход между значенияии неизвестных функций в смежных элементах. Если в пре. деле при стремлении толщины эточо переходного слоя к нулю его вклад в исчезает, то равенство (3.4) справедливо, Н ф а фиг. 3.1 показана такая воображаемая переходная зона между двумя элементами. Представим себе, что скалярная функция ф определена так, что на границе раздела между элементами ее значения, полученные для каждого нз элементов, равны. На фиг. 3.1,а приведен график функции, угол наклона которой принимает в переходной зоне конечное значение, хотя и претерпевает разрыв (фиг.
3.!,б). Вторая производная в этой зоне имеет очень болыпое значение (фиг. 3.1,в) и стремится к бесконечности при уменьшении ширины зоны. Следовательно, если в выражение для т входит только первая производная, то, для того чтобы гарантировать отсутствие вклада в т от переходной зоны, достаточно обеспечить непрерывность только функции ф. Однако если в функционал входит вторая производная, то справедливость равенства (3.4) не может быть гарантирована, поскольку (из-за умножения бесконечной величины иа нулев>ю площадь) величина вклада в энергию этой зоны становится неопределенной.
-~(-Т Суяявмжвкв ч чч фиг. ЗЛ. Мсжзасиаатааз зона, а катарах вторая арааззадааа иаарарыааоа фукиаа а ара Ья О стааааатса кааграиачаакая. Эти два критерия являются обобщением более частных критериев равд. 2.5 Здесь под сходииостью мы понимаем следующее: при бесконечном уменьшении размеров элементов ошибки в определении величины 2 стремятся к нулю.
Это иногда позволяет ска. зать, что решение, полученное при олпом разбиении, заведомо л>мше решения, полученного при другом, Очевидно, что в смысле определения величины у )формула (32)) это утверждение справедливо, если функция формы первого типа разбиения включает асс функции формы второго типа разбиения.
Именио такой случай возникает, когда новое разбиение получается последующим делением более крупных элементов. Сходимость по у прн этом будет монотонной. Это обстоятельство впервые было установлено Мелошем в 1963 г.(8). бо Глава 3 (3.(У) (3.2!) (3.22) подход является единственно возможным. Например, в в р х по строительной механике строились чисто физические абота и модели, и, хотя приходилось делать некоторые математические оговорки, касающиеся обоснования и сходимости использованных методов, зачзстую получзлись неплохие инженерные ешении. н реч Существуют и другие возможности, позволяющие матема пески получить основные соотношении метода конечных элементов непосредственно из дифференциальных уравнениг( задачи.
Они будут здесь кратко описаны. Возможные преимущества таких методов состоят в том, что: а) исчезает необходимость искать функциональный эквивалент известным дифференциальным уравнениям; б) эти методы могут быть распространены на задачи, для которых функционал либо вообще не существует, либо прка еще не получен [!0).
Рассмотрим задачу приближенного решения системы дифй ференциальных уравнений, которым должна удовлетворять известная функция (ф) в области К Запишем основное уран- епение в виде А((ф))=0, а граничное условие на границе 5 как С ((ф)) О. (3.!8) Если пробная функция, удовлетворяющая граничным усло- виям, записана в общей форме (ф).'=~жНФ), (ЗЛ9) где, как и прежде, (Д!) является функцией координат, а (Ф)— система и параметров, то е общем случае А ((ф)а) = А' Ф О. (3.20) Наилучшим репгением будет то, которое дает во всех точках области >г наименьшую нееязку Л (!).
Очевидно, это решение можно получить, использовав то об- стоятельство, что если невязка г( тождественно равна нулю всюду в области, то где йт —.чюбая функшгя координат. Если число неизвестных параметров (Ф) равно п, то, выбрав п линейно независимых функций йгг, запишем соответствующую систему уравнений ~ ОУЛ "(г = ~ йг А((йг) (Ф))г( =О, Обобщение яаяягал яаягчных ялеляятаа из которой может быть найпена функция (Ф). Этот процесс называется методом азвешанньгх нееязок, а йтг — весовой функцией.
Выбор различных весовых функций приводит к различным классическим методам. Коллокацня в точке. В этом случае полагается, что йгг=! в некоторой точке ! и равна нулю во всех остальных. При этом фактически основное дифференциальное уравнение >довлетворяется в и отдельных точках. Коллокация в подобласти. В этом методе считается, что йгя = 1 в некоторой подобласти и йг, = 0 в остальной части области. Это эквивалентно тому, что интеграл обращается в нуль в некоторых подобластих, число которых достаточно для того, чтобы получить необходимое число уравнений.
Метод Галеркина. В этом случае йгг = йгг, т. е, в качестве несовой функции выбирается функция формы, с помощью которой аппроксимируется решение. Этот метод обычно приводит к наилучшим результатам. При использовании в любом из»помянутых методов соотношения (3.!9), определяющего принятую аппроксимацию, можно выявить основные особенностя метода конечных элементов. Во-первых, результирующая система уравнений будет иметь ленточный вид, так как влияние каждого параметра распространяется только на элементы, примыкающие к рассматриваемой >зловой точке.
Во-вторых (в предположении, что, как и ранее, границы между элементами не дают никакого вклада), интегралы вычиспиются для каждого элемента независимо, а затем полученные результаты суммируются. Очевидно, что правила получения коэффициентов для ансамбли будут такими же, как и е задачах строительной механики, если оператор А линеен (см. уравнение (1 !3)). Здесь следует отметить одни недостаток метода взвешенных невязох, В этом методе дифференциальный оператор А содер. жит производные более высоких порядков, чем варизционный функционад Х. Таким образом, чтобы избежать вкладов от межэлементных зон (см. равд, 3.2), необходимо обеспечить еыполнениа условий непрерывности функции форлгы более высокого порядка. Это обстоятельство имеет важное значение, так как оно сильно ограничивает выбор функции формы и тем самым может вызвать непреодолимые трудности ').
') Ниже будят паяазааа, яая сужаагса амбар функций, абаспачавающих аепреиыааасть цареыеааыя, ясла дааалянта.тыла задается условие непрерывность угла наклона В бальюаастае случаев можно подобрать функцию, абаспе. лазающую деарерыьпасгь только ьтарыя прааьаадггыд 52 Глана 3 ф~ ф! [дг[(ф)~, (3.25) ф = [)уь тур ...[ или дт» [й)е(ф)е [ (р)е (3.26) где Р.= — ~ ~ СдггйхйУ. (3.27) (3.28) Фнг. 3 2. Метод взвешенния вевязок Эту трудность иногда можно обойти, преобразовывая интегралы в выражении (3.22) с помощью интегриронания по частям (или преобразонвния Грина — Стокса).
Если зто преобразование удаетси выполнить в общем виде и если з результате порядок производных, входящих в полученные интегралы, понижается, то условиям непрерывности должны удовлетворять только эти производные. Ранее полагалось, что выбранная аппроксимации неизвестной функции [соотношение (359)) антоматически удоктетворяет краевым условиям Однако удобнее записывать уравнения в оби(ей форме, требуя выполнения краевых условий на заключительной стадии, подобно гому, как, например, в строительной механике заданные перемещения и граничные нагрузки учитываются после составления матрицы жесткости ансамбля. 3.5.
Пример. Уравнение Пуассона Для пояснения основных идей, изложенных н предыдуших разделах, рассмотрим чисто математическую задачу решения уравнения в частных производных дзз дгв — + — +С=0 дх' да' в некоторой области У при заданных значениях функции ф = фь на границе (фиг, 3.2, а). Можно показать, что решение этой задачи эквивалентно на. хождению функции ф, удовлетворяющей краевым условиям и минимизирующей функционал Х= $ $[2 [,дх) + 2 (д ) — Сф]йх йу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
