Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если вместо сопротивлений рассмотреть ламинарное течение жидкости в трубах, то опять можно получить то же уравнение, но )т будет представлять собой шшравлнческий напор, а !в расход жидкости. Для встречающихся на практике систем трубопроводов линейные законы, вообще говоря, несправедливы. Как правило, соотношение между напором и расходом имеет вид (с=сФ,-(/т)т, Метод жесткостей рас«его кокструкаий При решении такого рода задач можно использовать обычные методы, рассматривая каждое соотношение отдельно для действительных и мнимых частей. Кроме того, современные цифровые вычислительные машины позволяют использовать стандартные приемы программирования операций с комплексными числами.
В одной из последующих глав, посвященной вопросам колебаний, мы коснемся некоторых задач этого класса. 1.6. Общая схема исследования Для того чтобы читатель мог лучше разобраться в изловсен. ном материале, рассмотргм следующий пример. На фиг. 1.4,а Г а с 5 + + + + д = + + + + — 1Е) [ фиг. гй Пример. изображено пять взаимосвязанных элементов. Это могут быть элементы конструкции, электрической цепи или элементы любого другого линейного типа.
Решение задачи состоит нз несколь- ких этапов Метод высткостей росчгтв коксгрукчий 24 Гково 1 Первый агап заключается в определении свойств элемента на основании исходных данных о его геометрии, материале н нагрузке. Для каждого элемента матрица жесткости н соответствующие узловые силы находятся в виде (1.3).
Каждый элемент имеет свой собственный номер и узловые точки. Например, элемент 1 связан с другими в узлах 1, 3, 4, элемент 2 — в узлах 1, 4, 2, элемент 3 — в узлах 2, 5, элемент 4— в узлах 3, 4, 5, 7, элемент 5 — в узлах 4, 7, 8, 5. Определяя характеристики элемента в глобальных координатах, мы можем ввести каждую компоненту жесткости или силы на соответствующее место в глобальной матрице, как это показано на фнг.
1,4, б. Каждый зачернениый квадрат соответствует одному коэффициенту или подматрице типа (йгг) (если рассматривается более одной комяоиенты силы). Здесь же показанвклад каждого элемента, и читатель может проверить правильность расположения коэффициентов. Заметим, что использование различных типов элементов не создает дополнительных трудностей. (Для простоты все силы, включая узловые, отнесены к соответствующим элементам.) Второй этап — это состанление полной системы уравнений типа (!.12). Она получается непосредственно путем использо.
вания соотношений (!.!3) н просто~о суммирования всех составляющих по элементам в глобальной матрице. Результат показан на фиг. !.4,з, где места расположения ненулевых коэффициентов зачернены. В силу симметрии матрицы достаточно определить только элементы, расположенные на главной диагонали и над ней. Все ненулевые коэффициенты расположены внутри ленты, ширина которой может быть определена априори для каждого вида'узловых соединений, Таким образом, в оперативной яамя.
ти требуется хранить только те элементы, которые находятся в верхней части ленты. Они показаны иа фиг. 1.4,в. Третий этап состоит во включении в полную матрицу системы заданных граничных условий. Способ включения рассмотрен в равд. 1.3. Заключптелокый этап — решение полученной системы урав. пений. Для решения могут быть использованы различные методы, некоторые из которых обсуждаются в гл. 20. Хотя вопрос решения уравнений и является чрезвычайно важным, он выходит, вообще говоря, за рамки этой книги.
Далее вычисляются напряжения, токи и другие выкодльсе величины. Любой расчет сетей осуществляется по намеченным этапам, которые должны быть хорошо поняты читателем. Хотя, безусловно, эти этапы важны для понимания метода конечных элементов, опи, однако, нс составляют его сути. Эти этапы хорощб известны и обычно используются в строительной механике. Остальная часть книги посвящена !йетоду приближенного пред. ставлеиня сплошной среды эквивалентной системой конечных элементов. Если такое предстзвление возможно, то описанная схема позволит осуществить расчет.
ЛИТЕРАТУРА 1. Т!гиовбеико 5 Р., Тоипй Гк Н., Тбеогу о1 Ягисгигев, 2пй ы1., МсСгге к-Н1И, 2. Ыгев1еу Д. К„Мв1пх Мещойв гп Ягисшгв! Апв1ув1в, Регбеюои Ргееи 3 Ргхеги1еп1есм д.б„ТЬюгу о1 Мвгпх бкис1иге! Апв!увы, Мсбгвги-Н1, и1, 4. Мвг!!и Н. С., 1иггойисбоп !о Ма!их Меббойв и1 Ягис1шв1 Аив!!в!в, Мсбгв'в-НШ, 1966. б. Зепюпв тч. М., Мв!пх впй О!Пне! Соигри1ег МещоЫ 1и Ягисьггв! Аив!увив Мсбгви-Н(П, 1969. б. Тигпег % й С1оихб Ц. ЧУ., Метни Н.
С., Тори 1, 3., 5Ш1певв впй !Уег!ес11оп Апв1ув!в ог Совр!ех $!гис!игы, l. Авто. 8с!., 23, 365 — 623 (19551, 7. Рауне К. А., !гоев В., чвстаое сообмевве, 1963. ГЛДай 2 КОНЕЧНЪ|Е ЭЛЕМЕНТЫ УПРУГОЙ СРЕДЫ. МЕТОД ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 2.!. Введение Часто для различных инженерных целей требуется знание распределения нацряженнй н деформаций в упругой сплошной среде. Тогда предметом исследования являются двумерные задачи о плоском напряженном н плоском деформированном состояниях, задачи об осесимметричных телах, об изгибе пластин н оболочек н наконец, исследование трехмерных твердых тел.
Во всех случаях число связей между любым конечным элементом, ограниченным воображаемыми поверхностямн, н соседними элементамн бесконечно. Поэтому с первого взгляда трудно понять, каким образом такие задачи можно днскретизироватаь как это было сделано в предыдущей главе для простейших конструкций. Эта трудность преодолевается следующим образом. 1. Сплошная среда разделяется воображаемыми линиями или воверхностямн иа некоторое количество конечных элементов.
2. Предполагается, что элементы связаны между собой в узловых точках, расположенных на их границах. Так же, как в обычных задачах строительной механики, основными неизвестными будут перемещении этик узловых точек. 3. Выбирается система функция, однозначно определяющая перемещения внутри каждого конечного элемента через перемещения узловых точек. 4.
Функции перемещений однозначно определяют деформации внутри элемента через узловые перемещения. Эти деформации прн известных начальных деформациях и упругих свойствах элемента позволяют определить напряжения как внутри элемента, так н на его границах. 5. Определяется система сил, сосредоточенных в узлах и уравновешивающих напряжения на границе и некоторые рас. пределенные нагрузки, а затем записывается соотношение для жесткостей в форме (!.3). Далее могут быть использованы обычные методы решения задач строительной механики, описанные ранее, Очевидно, что такой подход является приближенным. Во-первых, не всегда легко добиться, чтобы выбранные функции перемещений удовлетворялн требованиям непрерывности яеремещеннй между смежными элементамн. В результате на границах элементов могут Клллалме алалллгм рлруала средь нарушаться условия совместности [хотя в пределах каждого элемента эти условил, очевидно, удовлетворяются при однозначности функций перемещений).
Во-вторых, сосредоточивая эквивалентные усилия в узлах, мы только в среднем удовлетворяем уравнениям равновесия. Обычно возникает локальное нарушение уравнений равновесия внутри элементов и на их границах. Выбор формы элемента н функций перемещений для конкретных задач зависит от изобретательности и мастерства инженера, н совершенно ясно, что именно этим определяетея точность приближенного решения. Изложенный здесь подход известен как метод перемещений [1, 2).
До снх пор обоснование метода было. нестрогим, хотя, в сущности, этот метод эквивалентен минимизации полной потенциальной энергии системы, выраженной через поле перемещений. При подходящем выборе поля перемещений- решение должно сходиться к точному. Этот процесс эквивалентен хороню известному методу Ритца, что будет показано в одном из последующих разделов этой главы. Там же будут рассмотрены необходимые критерии сходнмости. Эквивалентность метода конечных элементов процессу минимизации была замечена недавно [2, 3].
Однако еще Курант в 1943 г. [4) н Прагер н Синг в 1947 г. [5) предложили, по существу, идентичный метод. Более широкое обоснование метода позволит распространить его почти на все задачи, для которых возможна вариационная постановка. В этой книге будут рассмотрены некоторые такие задачи, не имеющие отношения к строительной механике. 2.2. Описание свойств конечного элемента Правила получения характеристик конечного элемента сплошной среды, описанные ранее схематично, теперь будут изложены в более подробной'математической форме.
Желательно получить результаты в общем виде, справедливом для любого случая. Однако чтобы облегчить понимание общих соотношений, они будут проиллюстрированы на очень простом примере плоского напряженного состояния тонкой пластины '). В этом примере использованы элементы треугольной формы, показанные на фиг. 2.!. Соотношения общего характера напечатаны полужирным шрифтом, а выражения, соответствующие частному примеру, — нормальным. Как' и ранее, используется матричная форма записи: '| В деасгаагельллсгл будет рассмотрело обобщенное плоское лалряженлле слстоллле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
