Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В гл. 1б и 17 метод конечных элементов используется при исследовании динамических процессов, а в гл. !8 и 19 рассматриваются нелинейные задачи. В последний годы в этих областях метод получил широкое распространение. Хотя в процессе изложения основное внимание уделяется лишь общим положениям, вопросы пластичности, больших деформаций и связанные с ними задачи обсуждаются довольно подробно. Для практического использования метода нонечных элементов требуется не только овладение теорией, но н преодоление значительных трудностей программирования.
К настоящему времени уже разработано много эффективных быстродействую-щих программ, однаио их сложность может обеснуражить начинающего исследователя, иоторый, пожалуй, предпочтет получить простые решения частных задач. Ввиду этого в книгу помещена гл. 20, написанная моимн коллегами докторамн Кингом и Ченгом, в нагорай содержится ряд' стандартных подпрограмм. Можно надеяться, что с ни помощью читатель сумеет без. особого труда составить собственную программу, Книга предназначена для аспирантов, студентов старших курсов н инженеров. Для изложения всего материала с единых позиций иногда приходилось пренебрегать математической стройностью (но не в ущерб строгости).
Объем необходимых для понимания книги знаний лишь немного выходит за рамки обычных курсов математического анализа, хотя для удобства используются матРичные представления. Йля тех. кто не зна- ком с теорией матриц, необходимые сведения даются в приложении. Использование матричных представлений в методе нонечных элементов не обязательно, каи это иногда ошибочно предполагается. С таким же успехом, например, можно было бы использовать и тензорные обозначения. В первое издание была включена глава, посвященная некоторым перспективным направлениям развития метода.
Большинство этих направлений уже разработано н сейчас нет смысла делать какие-либо дальнейшие предсказании, хотя, несомненно, метод будет развиваться. Следует отметить, что в книге не отражены хорошо разработанные вопросы непосредственного применения вариационной теории Хелннгера — Рейсснера и смешанного метода. Это сделано не только нз-за ограниченного объема книги, но н для сокровенна единого подхода, даюптего эффективные средства решения многих задач.
Практические примеры, включенные в книгу, относятся к различным областям техники, хотя читатель, вероятно, обнаит, что их выбор в основном определяется личными интересами автора, занимающегося вопросамн строительной механики. Распространение метода на другие отрасли техники не потребует большого труда.
О. Зенкевич гллвл 1 ПРЕДВАРИТЕЛЪНЫЕ СВЕДЕНИРЕ МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ РАСЧЕТА КОНСТРУКБИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТЕЙ. ЕЪ Введение Инженерные конструкции можно Рассматривать как некоторую совокупность конструктивных элементов, соединенных в конечном числе узловых точек. Если известны соотношении между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то, используя хорошо известные приемы строительной механики (! — 51, можно описать свойства и исследовать поведение конструкции в целом.
В сплошной среде число точек связи бесконечно, н именно это составляет основную трудность получения численных решений в теории упругости. Понятие конечных элементов, введенное впервые Тернером и др. Г61, представляет собой попытку преодолеть эту трудность путем разбирния сплошного тела на отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределеннйм по границам' элементов.
Если такая идеализация допустима, то задача сводится к обычной задаче строительной механики, которая может быть решена численно. На первый взгляд, этот интуитивно понятный и доступный инженерный метод выглядит не совсем убедительно — в частности, остается открытым вопрос о соотношениях между силами и перемещениями отдельных элементов. Способы получения этих соотношений будут подробно рассмотрены в гл. 2 после изложения основ метода.
На данном же этапе целесообразно кратко описать общий метод Расчета конструкций, который будет широко использоваться в книге после рассмотрения свойств конечных элементов. В дальнейшем будет показано, что метод конечных элементов применим н ко многим задачам иного типа, но и тогда основные свойства элемента выражаются в форме, принятой в строительной механике. Общие методы составления ансамбля и решения задач аналогичны приемам строительной механики. В действительности «структурная» форма уравнений присуща не только строительной механике. Уравнения в такой )З Метод жесткостей расиста коигтлукчид Глава ! (ух )гт с)з (р)а р 1)гз 1 1ЛП (б)а бз (1.2) из 1 и.
г га) йэлЫ 1 к упписный злелгеннг форме используются при расчетах электричесиих цепей нлн по- токов жидкости в трубопроводах. Подобные задачи часто на- зываются задачами исследования сетей'). 1.2. Элемент конструкцнн На фнг. 1.1 изображена двумерная конструкция, состоящая из отдельных частей, соединенных между собой в точках, пронумерованных от 1 до п. Соединения в узлах предполагаются шарнирными. Сначала допустим, что в результате расчета нли на основе экспериментальных данных достоверно известны характерн- Г Фнг.
1.1. Типичная кояструкпия, составленное яз отлельпмх злемевтов. стики каждого элемента. Силы, возникающие в узлах 1 — 3 элемента и, однозначно определяются перемещениями этих узлов, действугощей на элемент распределенной нагрузкой р и его начальной деформацией. Начальная деформация может быть обусловлена температурным воздействием, усадкой или несо.вершенством сборки.
Силы и соответствующие нм перемещения определяются компонентамн (1, )г и и, о в какой-либо системе координат. ') Вместо попятив сете в лнтеретуре все чаща попользуется более общее поввтве графе. — Прим. Лед, Записывая силы, действующие во всех (в трех для рас- сматриваемого случая) узтах элемента и, в виде матрицы'), получим и, а для соответствующих перемеп1енйй узлов Если предположить, что элемент упругий, то основные соотношения всегда могут быть записаны в виде (Р) =(й) (б) +(Р) + (Р)„ (1,3) где (Р)р — силы, уравновешивающие действующие на элемент распределенные нагрузки, (Р)„' — силы в узлах, обусловленные начальными деформацнямн, которые могут возникать, например, прн изменении температуры без перемещения узлов. Первый член в этой формуле представляет собой силы, вызванные перемещениями узлов.
Предварительный расчет нлн эксперимент позволяет однозначно определить напряжения в любой заданной точке через узловые перемещения. Записывая эти напряжения в виде матрицы (о)с, получаем соотношение в форме (о)' = (5)' (Ь)' + (и)' + (а)„', (1.4) где последние два члена — напряжения, обусловленные распределенньгми нагрузками, и начальные напряжения при отсутствии узловых перемещений. ') Для понпмепвя материала, езложевпого в клите, требуешься зввяке основ метрлтвой алгебры.
Это веобхолммо лля креткоств в удобства нзложеввя Для читателей, ее знакомых с метркчеой елгеброй, яеобхолямые свелеяея прявелеяы в яеболыпом по объему прпложеивл 1. !4 Глава Г Метод асесткостей расчета конструкций !. (р)'= и (б)'= йы й» йьк [й)е = Фат ! 2 Шараарао оаертаа бачка а=ага!д( " '), Матрица [й)' называется матрицей жесткости элемента, а [5)а — матрицей напряжения элемента. Соотношения (! 3) и (!А) проиллюстрированы на примере элемента стремя узлами, в каждом из которых действуют только две компоненты силы.
Ясно, что все рассуждения и определения справедливы н в более общем случае. Элемент Ь в рассматриваемом случае связан с соседними только в двух точках, хотя другие элементы могут иметь таких точек и больше. С другой стороны,.если соединения элементов считать жесткими, то требуется рассматривать по три компоненты обобщенной силы н обобщенного перемещения, причем за третьи компоненты следует принять соответственно момент вращения и угол поворота.
Для жесткого соединения в трехмерной конструкции число компонент в узле равняется шести. Таким образом, в общем авучае где Рт и б, имеют одинаковое число компонент или степеней свободы. Ясно, что матрицы жесткости злемента всегда будут квадратными вида где йм и т. д.— также квадратные подматрицы размерности 1Х 1, а 1 — число компонент силы в рассматриваемых узлах. В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о шарнирно опертой балке постоянного сечения А с модулем упругости Е (фиг. !.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
