Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 5
Текст из файла (страница 5)
— Прим рад. Конечные злененты упругой орсом Глава 2 1' да дл (2. Ц (е) = е„ 2.2.1. Функция перемещений Типичный конечный элемент е определяется узловыми точкамн г, 1, гп и т. д. и прямолинейными границами. Пусть пере- фиг. 2.1. Плоская область, разбвтак иа ковечиые злемеиты. мещения любой точки внутри элемента задаются вектор-столб- цом Ь, Ь! (1)=[Ы](Ь)'=[у(и Во Х ...] Ь„ где компоненты [Лг] являются в общем случае функциямн положения, а (Ь)' представляют собой перемещения узловых точек рассматриваемого элемента. В случае плоского напряженного состояния вектор-столбец содержит горизонтальное н вертикальное перемещения типич.
ной точки внутри элемента, а столбец содержит соответствующие перемещении узла г. Функции Мь Мь М„должны быть выбраны таким образом, чтобы при подстановке в (2.1) координат. узлов получались соответствующие узловые перемещения. Очевидно, что в общем случае М,(хь уг) =1 (единичная матрица), тогда как МГ(ХГ, уг) =МГ(Х, ум)=0 И т.
д., что, в частности, достигается соответствующим выбором линейных относительно х и у функций. Более подробно вопрос о выборе функций [М] будет рассмотрен в одной иэ последующих глав. Функции [М] называются функциями формы. Онн, как будет видно из дальнейшего, играют важную роль в методе конечных элементов. 2.2 2. Деформации Если известны перемещения во всех точках элемента, то в них можно также определить и деформации'). Они находятся с помощью соотношения, которое в матричной форме может быть записано в виде (в) = [В] (Ь)'г (2.2) В случае плоского напряженного состояния представляют инте- рес деформации в плоскости, которые определяются через пере- мещения с помощью хорошо известных соотношений [6)з) дз ду дн де — +— ду дх '1 Здесь под деформвпкнми иоиимвютсн любые виттреивие двсторсии, тз.
кис, иапоимер, как кривизна в плоская задаче. '1 Длк того чтобы строки первого столбца образовывали ортогоиальвый теизоР, необходимо тРетью стРокт втоРого столп Л Умножить иа Цз. — Идам Ред, дои«ение елеиенги упругая среды Р! Р! Р (о) = ое (2.4) Отсюда [В] ! — г Е (б (6]')г ° [Р)'.
(2.5) Матрица [В] легко может быть получена нз соотношения (2,1), если известны функции фориы й!ь Л', н Ьг . В том случае, когда эти функции линейные, деформации постоянны по всему эле- ментуу. 2.2 8. Нплрлзеения В общем случае материал, находящийся внутри элемента, может иметь начальные деформации, обусловленные температурными воздействиями, усадкай, кристаллизацией и т. п. Если обозначить эти деформации через (ею), то напряжения будут определяться разностью между существующими и начальными деформациями. Кроме того, удобно предположить, что в рассматриваемый момент времени в теле существуют некоторые остаточные напряжения (ою), которые, например, можно замерить, но нельзя предсказать без знания полной истории натруженна материала. Эти напряжения можно просто добави~ь к общему выражению.
Таким образом, в предположении упругого поведения соотноше. ния между напряжениями и деформациями будут линейными: (о) [В] ((з) — (ею)) + (ою), (2.3) где [В] — матрица упругости, содержащая характеристики материала. Для частного случая плоского напряженного состояния не. обходимо рассмотреть три компоненты напряжений, соответствующие введенным деформациям. В принятых обозначениях ани записываются в виде Матрица [В] легко получается из обычных соотношений между напряжениями и деформациями для изотропного материала [6]: ! т в — (в ),= — а — — о, к Е е » ! а — (а )ю= — — о + — о, е е Е г Е е' 2!1+«1 уге (7»е)ю = Е тее 2.2.4.
Эквивалентные узловые силы Пусть столбец определяет узловые силы, которые статически эквивалентны граничным напряжениям и действующим на элемент распределенным нагрузкам. Каждая из сил [Г!) должна иметь столько же компонент, сколько и соответствующее узловое перемещение (Ье), и действовать з соответствующем направлении. Распределенные нагрузки (р) определяются как нагрузки, приходящиеся на единицу объема материала элемента и действующие в направлениях, соответствующих направлениям перемещений (у) в этой точке.
В частном случае плоского напряженного состояния узловые силы записываются в виде где 0 и К вЂ” компоненты, соответствующие п еремещениям и и в. Распределенная нагрузка имеет аид где Х и У вЂ” компоненты «объемных сил». Простейший способ сделать узловые силы статически эквивалентными действующим граничным напряжениям и распределенным нагрузкам состоит в задании произвольного (виртуального) узлового перемещения н приравннванни внешней и внутренней работ, совершаемых различными силами и напряжениями иа этом перемещении. Пусть б(Ь)' — виртуальное перемещение в узле. С помощью соотношений (2.1) и (2.2) получим соответственно перемещения н деформации элемента в виде б(()=[Ь(]й(Ь)' и б(в) [В]б(Ь)'.
Работа, совершаемая узловыми силамн, равна сумме произведений компонент каждой силы на соответствующие перемен!ения, т. е. в матричном виде Каш«нн««л«лтагм упруг«а ар. дм зз Аналогично внутренняя работа напряжений и распределенных сил, приходящаяся на единицу объема, равна б (э)т (и) — б (!)т (р) (2.6) (2.7) или ') (Р)« = — ~ [В]т [Р] (ва) 67. (2.12) Узловые силы, соответствующие начальным напряжениям, эапи. сываются в виде (Р)', = ~[В] (оа]67. (2.13) Если система начальных напряжений самоуравновешена, то после составления ансамбля силы, определяемые соотношением 1 ) Заметим, что в ааатватстввв с првввлвмв явтрвчяоа влг«бпы т вва. понвраванва прав«в«ловля мвтрвп оаущаагвлввтав по формула 1[А1[В)1« Р 181 !А!т, (б (Ь)')т([В] (о) — [й)]т(р]).
Приравнивая работу внешних сил суммарной внутренней работе, получаемой интегрированием по объему элемента, имеем (б (й)) (Р)'=(4 (Ь)')тЦ!В]т(о) 67 — ~ [Р[]т(р)47). (23) Так как зто соотношение справедливо для любого виртуаль. ного перемещения, коэффициенты в правой и левой частях . должны быть равны.
После подстановки (2,2) и (2.3) получаем (Е)'=(~ [В]'[Р][В)67) (Ь)' - ~[В] [Р]( ]бЧ + + ~ [В]т (оа) ЙЧ ~ [М[т (Р) 67 (2 0) Эта зависимость является одной из основных характеристик любого элемента. В гл. ! она приводилась в форме соотношения (1.3). Матрица жесткости яриинмает вид [й]« ~ [В)т[Р] [В]67 (2 10) Узловые силы, обусловленные распределенными нагрузками, имеют вид (Е)в = — ~ [Р[]'(Р) 67. (2.11) а силы, обусловленные начальной деформацией, выражаются как (2,13), тождественно равны нулю. Поэтому обычно оценка компонент этих сил не проводится.
Однако если, иэпример, часть изучаемой конструкции выполнена из монолита, в котором существуют остаточные напряжения, нлн если исследуются выработки горной породы, в которой заданы тектонические напряжения, то необходимо учитывать, по удаление материала может вызвать нарушение силового баланса. При использовании треугольного элемента в задачах о плоском напряженном состоянии основные характеристики получаются после соответствующей подстановки. Как уже было отмечено, в этом случае матрица [В] не зависит от координат и интегрирование выполняется тривиально. Составление ансамбля н дальнейшее решение производятся с помощью простой процедуры, описанной в гл.
1. В общем случае в узлах могут быть приложены сосредоточенные внешние си.чы. Тогда для сохранения равновесия в узлах следует дополнительно ввести матрицу сил (2.!4) Сделаем еще замечание по поводу элементов, соприкасающихся с границей. Если на границе заданы перемещения, то никаких затруднений не возникает.
рассмотрим, однако, случай, когда иа границе задана распределенная внешняя нагрузка, скажем, нагрузка (я) на единицу площади. Тогда в узлах граничного элемента следует приложить дополнительную нагрузку. Это просто сделать, используя принцип виртуальной работы; (Е];= — 1 [М]т(й)63 (2.15) я з««а~в где интегрирование проводится по границе элемента. Заметим, что для того, чтобы записанное выше выражение было справедливо, (й] должно иметь такое же число компонент, как н (!), На фиг. 2.1 показан граничный элемент для случая плоского напряженного состояния.
Интегрирование в (2,15) редко удается выполнить точно. Часто из физических соображений поверхностная нагрузка просто заменяется приложенными в, граничных узлах сосредоточенными силами, которые определяются из условий статического равновесия. Для рассматриваемого частного случая результаты будут эквивалентны. После. того как из решения общей системы уравнений (типа встречающихся в строительной механике) определены узловые Ге«ее 2 Кане«ние елеменги улууеей «рейн перемещения, нз соотношений (2.2) и (2.3) могут быть найдены вапряжения в любой точке элемента (а) = [Р] [В) (Ь)' — [Р] (ее) + (ае). (2.! 6) В этом выражении нетрудно узнать типичные члены соотношения (1.4), причем матрица напряжений этемента имеет вид [8]в = [Р] [В! (2.17) К этой матрице должны быть добавлены напряжения (ач) = — [Р)(еэ) и (о ). (2.13) Отсутствие составляющей напряжения, вызванного распределенной нагрузкой (а)р, объясняется тем, что рассматриваются только услояия общего равновесия, а ие равновесия внутри каждого элемента.
2,2.5. Обобщенньей характер перемен(ений, деформаций и налря. желай физический смысл перемещений, деформаций и напряжений в рассмотренном случае плоского напряженного состояния был очевиден. Во многик других приложениях, приведенных ниже, эта же терминология может быть применена к другнм физи. чески менее наглядным величинам. Например, в рассматриваемом плоском элементе термин «яеремещение» может обозначать прогиб и наклон в данной точке. Тогда «деформациями» будут кривизны срединной поверкности, а «напряжеииями» вЂ” внутрен.
ние изгибающие моменты. Все полученные здесь выражения справедливы и в общем случае при условии, что сумма произведений перемещений на соответствующие компоненты нагрузок определяет внешнюю ра. боту, тогда как сумма произведений деформации на соответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
