Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Балка нагружена равномерно распределенной поперечной нагрузкой р н подвержена однородной температурной деформации ес — — аТ. Если концы балки имеют координаты хь уч и к„, у„, то ее длина может быть вычислена как й = Чу((ха — х,)е+ (у„- ул, а ее угол наклона к горизонтальной оси В каждой узловой точке необходимо рассмотреть только по две компоненты силы и перемещения.

Очевидно, что узловые силы, обусловленные поперечной нагрузкой,записываются в виде матрицы Элементы этой матрицы равны соответствующим компонентам реакций опор балки, т. е. рЦ2. Для компенсации температур- ного расширения за нужно приложить осевую силу ЕаТА, ком- поненты которой (г); (~ ) = = — (ЕаТА). !т„ а!п а Наконец, перемещения узловых точек элемента !в Метод ссесткостед расчета кокстрркяиа Глава г Мп исоа и ! — созе и з!и'и ' — з!ппсозп сеяти Мпп сов а — з!п и соз и — з!п' и (б) = (1.7) (!.8) вызовут его удлинение (и„— пч)сова+(и„— и,) з!п а. Величина удлинения, умноженная на ЕА)( даст осевую силу, компоненты которой можно найти, подставив величину этой силы вместо — ЕпТА в предыдущее выражение. Стандартная форма записи имеет вид (Е):=(„'~,=,' ЕА 1.

— соУп — з1п асов п! соз'и з!п псов п — з!ппсозп — з1п'а ! з!пасозп гбп'и Итак, для рассматриваемого простейшего случая определены все слагаемые основного уравнения (!.3). Нетрудно записать в форме (!.4) и напряжения в любом поперечном сечении элемента. Если, например, ограничиться рассмотрением среднего сечения балки С, то напряжения, возникающие в результате осевого растяжения и изгиба элемента, можно записать в виде п~ 1 и ~ — сова — гбп а сова з!п а1 1() + пе)с ь ~ — сова — з!пп сова з(ппд где с( — половина высоты сечения, а т' — момент инерции.

Легко заметить, что в это выражение входят все слагаемые формулы (!.4). Для более сложных элементов требуются более тонкие приеыы расчета, но все равно результаты имеют такую же форму Инженер легко заметит, что зависимость между наклоном н прогибом, используемая прн расчетах жестких рам, является частным случаем рассмотренных общих соотношений. Следует отметить, что полная матрица жесткости для деформируемого элемента получилась симметричной (то же можно сказать и о подматрицах). Это никоим образом ие случайно, а вытекает из закона сохранения энергии и его следствия — теоремы взаимности Максвелла — Бетти.

Во всех рассуждениях предполагалось, что свойства элемента описываются простыми линейными соотношениями. В принципе можно было бы получить аналогичные соотношения и для нелинейных материалов, однако обсуждение задач такого рода выходит за рамии втой монографии. 1.3. Составление ансамбля и расчет конструкции Рассмотрим снова гипотетическую конструкцию, изображенную на фиг.

1.1. Чтобы получить решение, нужно удовлетворить а) условиям совместности и б уравнениям равновесия. юбая система (6) узловых перемещений записанная для конструкции, в которуео входят все элементы, автоматически удовлетворяет первому условию. Поскольку условия равновесия внутри каждого элемента считаются выполненными, необходимо удовлетворить условиям равновесия в узловых точках.

Полученные уравнения будут со. держать в качестве неизвестных перемещения. Как только они будут найдены, задачу расчета конструкции можно считать решенной, Внутренние усилия (напряжения) в элементе могут быть легко определены с помощью зависимостей, априори установленных для каждого элемента в виде (1А). Предположим, что, помимо распределенной нагрузки, приложенной к каждому отдельному элементу, конструкция нагружена внешними силами прнложениымн в узловых точках. Каждая из сил йч, должна иметь столько же компонент, сколько и рассматриваемые реак- ции элемента.

В обсуждаемом примере 18 Глава г 19 Метод алеет«ытей рае«ета «о«стра«цаа [й' ]=д [йе 1', %)е= Х(ре)е Ю)ь=Х (ре); (!.13) получены суммированием по всем элементам. Это простое правило составления ансамбля очень удобно, поскольку сразу после определения коэффициента для отдельного элемента оп может быть немедленно заслан в соответствующую ячейку памяти вы.

числительной машины. Составление ансамбля является основной операцией метода конечных зле.кентов, и поэтому опа должна быть хорошо усвоена читателем. Если используются разные типы элементов, то при составлении ансамбля следует помаитеь что можнб складывать матрицы только одинаковой размерности. Следовательно, отдельные подматрицы, которые включаются в систему, должны содержать одинаковое число компонент сил и перемещений.

Так, например, если к какому-либо элементу конструкции в узловой точке, передающей моменты, присоединен шарнирно другой элемент, то так иак соединения предполагались шарнирными. Однако в общем случае будет рассматриваться произвольное число компонент. Если теперь нужно удовлетворить условиям равновесия в произвольной узловой точке 1, то каждая из компонент Я» должна быть приравнена сумме компонент снл от всех элементов, соединяющихся в этом узле.

Таким образом, рассматривая ясе компоненты силы, получаем ()7) =2. (Ре)'=(Р)'+(Р)'+ ".. Пдб) ! где Р, — сила, приложенная к узлу со стороны элемента 1, Р[ — сила, приложенная к узлу со стороны элемента 2, и т. д. Очевидно, что отличные от нуля силы будут давать только элеиенты, содержащие точку 1, однако суммирование проводится по всем элементам. Подставляя (!.3), получаем выражения для сил в узловой точке ! ОЧ=0;[йн])(б,)+О:[йа])(б.)+ ". ... +Е(Р);+Х(Р)'„. (!.П) И здесь вклад в сумму дают только элементы, соединяющиеся в узле !. Объединяя все такие уравнения, имеем !)Т[(б) =()() -(Р),-(Р)„ П, 12) где подматрицы матрицу жесткости последнего необходимо дополнить, вводя соответствующие (нулевые) значения на места углов поворота или моментов Систему уравнений (!.12) можно решнтгь как только будут подставлены перемещения опор.

В примере (фиг, 1.!), где обе компоненты перемещений узлов ! и б равны нулю, это будет означать подстановку что эквивалентно уменьшению числа уравнений равновесия (в рассматриваемом случае их двенадцать) н вычеркиванию первой и последней стропи и столбца. Таким образом, общее число неизвестных компонент перемещения уменьшается до восьми.

Тем не менее всегда удобно составлять уравнения в соответствии с соотношением (1.!2), учитывая вее узловые точки. Очевидно, что эту систему невозможно решить без задания некоторого числа перемещений, исключающих смешение конструкции как жесткого целого, так как по заданным силам нельзя однозначно определить перемещения. Этот физически очевидный факт математняески выражается тем, что матрица [)(] является сингулярной, т. е. не имеет обратной. Задание соответствующих перемещений по окончании формирования ансамбля обеспечивает возможность получения единственного решения путем вычеркивания соответствующих строк и столбцов различных матриц. Несмотря на то что подстановка известных перемещений, позволяющая уменьшить общее число решаемых уравнений, является относительно простой операпией при ручных вычислениях н может быть запрограммирована для вычислительных машин, часто оказывается удобным непосредственяо решать первоначальную систему уравнений с тем, чтобы избежать реорганизации машинной памяти.

Это осуществляется очень просто с помощью нск>сствениого приема, предложенного Пейном и Айронсам [7]. При использовании такого приема вместб исключения уравнения равновесия, в котором некоторое перемещение считается заданным (а соответствующая компонента внешней силы истает. ся неизвестной), и последующей подстановки этого перемещения в остальные уравнения диагональный элемент матрицы [7(] в рассматриваемой точке умножается на очень большое число. Одновременно член, стоящий в правой части уравнеяяя, замеияется тем же самым числом, умноженным на заданное значение перемещения. В результате уравнение заменяется другим, ио величина перемещения в рассматриваемом случае равна определенноиу значению. При этом общее число уравнений в Глава т что в пРинятой нами стандартной форме выглядит к (7)' = (й)' (1')'.

(1.18) Ясно, что в такой форме это соотношение. соответствует (!.8). Действительно, если бы к элементу извне подводилси ток, то можно было бы найти величины «усилий» в элементе. Для составления ансамбля следует сделать предположение о непрерывности потенциала в узловых точках и учесть баланс токов. Если теперь Р, обозначает внешний входящий ток в точке с, то придем к уравнению, аналогичному (1.11): сс К Р,= Х ~:й;.Р. (1.19) Второе суммирование проводится здесь по всем элементам.

Для всей совокупности узлов имеем (!( ), йс,=~»(т. (!. 20) где (!.21) где показатель у изменяется в пределах между. 0,5 и 0,7. Ио и в этом случае основные соотношения можно записать в форме (1.18) с той лишь разницей, что матрицы /г' представляют собой уже не массивы констант, а известные функции от ()с). Этн уравнения можно объединить для всего ансамбля, ио они уже будут нелинейными. В общем случае их можно решить одним из итерационных методов. Наконец, упомянем о более общей форме электрической цепи переменного тока. Зависимости между током и напряжением для таких цепей обычно записываются в комплексной форме, причем сопротивление заменяется комплексным сопротивлением.

Таким образом, опять будут получены соотношения в стандартной форме (1.18) — (1.20), причем каждая величина будет иметь кейстиительнчю и мнимчю части. Здесь скобки опущены, так как такие величины, как напряжение и ток, а следовательно, и коэффициенты матрицы «жесткости» являются скалярными величинами.

Характеристики

Список файлов книги