Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

'ствующие компоненты напряжений — внутреннюю работу. 2.3. Обобщение иа всю область. Отказ от понятия внутренних узловых сил В предыдущем разделе принцип виртуальной работы был применен к отдельному элементу и введено понятие эквивалентной узловой силы. Для ансамбля в целом, очевидно, можно использовать подход, основанный непосредственно на представлении о равновесии. Идею описания взаимодействия элементов с помощъю узла. вых сил математически трудно обосновать, хотя она очень привлекательна с точки зрения инженеров н допускает наглядную н е претацию.

Тем не менее нет необходимости рассматривать каждый элемент в отдельности; рассуждения предыдущего разе дела можно непосредственно применить ко всему сплошному телу. Можно считать, что соотношение (2.1) относится ко всей конструкции, т. е. что (1) [Ы)(Ь), (2.19) где столбец (Ь) содержит все узловые точки, а Йе =Ы[ (2.20) если рассматриваемая точка принадлежит элементу е, т. е. точка 1 сопряжена с этим элементом. Если точка ! не принадлежит рассматриваемому элементу, то Ы,-о.

(2.21) й (Ь)г (Ы) ~ й (1)г (р) йу — $ й [1)г (8) й8, (222) а внутренняя виртуальная работа принимает внд ~ й(в)г(а) йЧ, (2.23) где интеграл берется по всей области. После уче а т' г й (1) = [Ы] й (Ь), й (е) = ]В[ й [Ь), а также выражения (2.3) и приравниваиия внутренней и внешней работ, получаем [К] (Ь) + (Р)»+ (Р)е+ (Р)е. + (Р), — (М) = О. (2 25) Пронзвольный элемент матрицы жесткости имеет вид [Ки] = ~ [Ве] [Р) [Вг) йу, (2.26) (2.24) где интеграл берется по всей области. Учитывая соотношение между [Щ и [В]ь имеем [КВ] = Е[йц]', (2.27) Аналогично определяется матрица [81 Затем принцип внртуальной работы может быть применен ко всей конструкции.

Теперь нет необходимости рассматривать силы взаимодействия между элементами, и внешняя работа на виртуальных перемещениях й (Ь) всех узлов становится равной Глава у доьсчные влементы уоругоа среды 37 где оценивается вклад каждого элемента, к а, как это описано в предыдущем разделе. Легко показать справедливость аналогичных выражений для различных компонент снл, входящих в уравнет (2.25).

Т сне аким образом, при составлении ансамбля, как и ранее, мы дальнейшем не пользовались понятием межзлементных снл. В в этой главе индекс элемента г будем онускатвь зэ исключением некоторых частных случаев. Кроме того, мы н б не удем делать стемы. различия между функциями формы для элемента н всей си. Необходимо обратить внимание на один важный момент. ние 2.23 Рассматривая виртуальную работу системы в ел . [ ние ( , )) и приравнивая ее сумме работ каждого из элемен. аз тов, мы тем самым предполагаем, что между элементами р рывов. Если такпе разрывы возникают, то следует добавить тами нет работу напряжений в местах разрывов.

Т аким образом, поле перемещений, определяемое функциямн формы, должно быть таким, чтобы иа повсрхно р деформации были ограниченными. Следовательно, для ыва того чтобы общие уравнения были справедлив ы, перемещения должны быть непрерывными функциями. Об этом необходимом условии будет сказано ниже. 2лй Метод перемещений как минимизация полной потенциальной энергии Принцип виртуальных перемещений, использованный в предыдущих разделах, обеспечивает выполнение условий а н сия в определенных пределах, зависящих от выбранной формы перемещений. Равновесие будет полным только тогда, когда виртуальные работы раввы при произвольных вариациях перемещений (удовлетворяющих только граничным условиям) '), Если количество параметров [б), описывающих перемещение, неограниченно возрастает, то условия равновесия мог быть удовлетворены.

Принцип виртуальной работы может быть сформулирован в различной форме. Приравнивая выражения (2.22) н (2.23), можно записать ~й(а)т(а)й)Г [й(б)тр ( ~ й[[)т( )йу ) + ~ й ([)'(у) й8~ -0. (2,28) ') Т рад. ) Тккне вереыешеннв нввывкютск квненвткческв лоцуствыыык.— П ром. й(()+йт)=й(Х) 0 (2.29) где величина Х называется полной потенциальной энергией. Это означает, что для обеспечения равновесия полная потенциальная энергия должна приникать стационарное значение.

Система уравнений метода конечных элементов (2.25), полученная выше, являетсн, по существу, отражением того, что варьирование перемещений осуществляется по конечному числу параметров (б), Эта система может быль записана в виде -д+, дх дх д (6) дЗ, (2.30) Можно показать, что для упругого материала полная потенциатьная энергия ие толька стационарна, но и минимальна [7). Таким образом, нри использовании метода кокечньи элементов отыскивается .минимум полной потенциальной энергии среди еозможньи перемещений заданной формы.

Чем болыпе степеней свободы имеет система, тем точнее будет приближенное решение, которое в пределе стремится к точному, соответствующему истинному равновесию. Таким образом, теперь можно сформулировать необходимые условия сходимостн метода конечных элементов. Обсуждение этих условий перенесем, однако, н следующий раздел. Интересно отметить, что если истинное равновесие требует абсолютного минимума полной потенциальной энергии х,то приближенное решение, полученное методом конечных алементов, будет давать всегда завышенное значение Х.

Такин образом, предельное значение полкой потенциальной энергии всегда может быть оценено. Если бы функция х была известна априори, то уравнения метода конечных элементов можно было бы получить непосредственным дифференцированием в соответствии с (2.30). Полставляя в (2.28) определяющее уравнение теории упругости (2.3) и полагая, что нагрузки не зависят от перемещений, ') Если внешняя квтрувкв обладает вотекцнвлон, втн выражения когут Рвсснвтрнввтьск ккк полные дифференциалы. Первый член в .этом уравнении соответствует вариации энергии деформации У конструкции, а второй — вариации потенциальной энергии 2У внешней нагрузки'). Тогда вместо уравнения (2.28) имеем Глаза г Конечные глгыгнгы упругой гр»гы зз после интегрирояания получаем [ $ (а)т[)1] (г) йУ $ (г)г[Р] (г ) йУ + ~ (з)г(аь) йУ~ [(б)г(»т) ] ~ (])г(р)йУ -]- ~ ([)г(п) й8~5 2 (2.31) В этом соотношении выражение в первых квадратных скобках соответствует величине (»', а во вторых — йу.

На и жение для полной потенциальной энергии обычно записывается сразу, что часто более удобно для метода конечных элементов. Читатель может убедиться в этом, если я качеств р естве упражнения получит точные соотношения метода конечных зл элементов пре- дыдущего раздела, исходя из уравнения (2.31) и дифференци- руя по перемещениям, определяемым в соответствии с (2.19). 8,9, В хорошо известном приближенном методе Релея — Р ], часто применяемом для решения задач теории упругости, е е — итца ся выражение пол- нспользуется именно этот подход. Записывается вы ной энергии и полагается, что форма иеремещеннй зависит от конечного числа неизвестных параметров. Далее выводится си- стема уравнений иэ условия минимума полной потенциальной эл энергии до этим параметрам.

Таким образом, метод конеч ых н . ементов в изложенной постановке эквиваленте н методу е- Р- — итца. азница состоит только в способе задания пере- мещений. В методе Ритца они обычно задаются функциями, определенными на асей области и приводящими, следовательно, к системе уравнений, которая имеет заполненную, а не ленточ- ную матрицу коэффициентов. В методе конечных элементов перемещения задаются поэдементно. Каждый узловой параметр связан только с примыкающими к этому узлу элементами, и в результате получается малозаполненная, обычно ленточная ма- .

трица коэффициентов. П тельн рименения обычного метода Ритца ограничиваю с т я относио простыми геометрическими формами области, т г в меть е коне д чных элементов простую форму должны иметь огда как только элементы. Еще одно различие состоит в том, что в методе конечных ння. Это элементов неизвестными обычно являются тся узловые перемеще- ния. то допускает простую физическую интерпретацию. Своей популярностью метод конечных элементов в значительной сте- пени, несомненно, обязан именно этому факту.

2.5. Критерии сходнмости Действительный минимум энергии никогда не меже б достигн т ни и ет ыть нкци ни ри каком числе разбиений, так как зада фу формы ограничивает число степеней свободы снотемы. ние Чтобы гарантировать сходнмость процесса к точному решению, необходимо удовлетворить некоторым простым требованиям. Например, очевидно, что функция перемещений должна как можно точнее описывать истинные перемещения. Нельзя выби- рать функции, которые допускают деформацию элементов при перемещении его только как жесткого тена. Таким образом, первый критерий, котороиу должна удовлетворять функция пе- ремещений, формулируется следующим образом: Критерий !.

Функция перемещений должна быть выбрана таким образок, чтобы пг возникала дгфоряация элемента при узловых лгргмгщгпиях, вызванных гго смещением как жесткого тела. Это очевидное условие может быть легко нарушено при использовании некоторых типов функций. Поэтому при выборе функций перемещений следует соблюдать осторожность. Второй критерий основывается на аналогичных требованиях. Ясно, что при уменьшении размеров элементов деформация в ннх будет стремиться к постоянной.

Если в теле возникает од- нородная деформация, то желательно, чтобы она была такой и при достаточно болыпих размерах элементов. Можно подо- брать функции, которые удовлетворяют первому критерию, но дают переменные по элементу деформации при узловых иере- мещениях, соответствующих условию постоянной деформации. Такие функции в общем случае не дадут хорошей сходимости и не смогут даже в пределе описать истинное распределение напряжений. Итак, второй критерий может быть сформулиро- ван следующим образом.

Характеристики

Список файлов книги