Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Критерий 2. Функция перемещений должна быть такой, что- бы г случае, когда узловые перемещения соответствуют усло- гию постоянной деформации, это состояние действительно рга- лизогыгалось в злг.чгпгг (здгсь опять подразумевается обоб- щенная деформация) Следует отметить, что критерий 2 согласуется с требованием критерия 1, так как перемещение элемента как жесткого тела есть частный случай постоянной (нулевой) деформации. Этот критерий впервые был предложен Базелем и др. [19] з !965 г. Наконец, как уже было упомянуто в равд. 2.3, неявно под- разумевается, что границы раздела между элементами не дают никакого вклада в виртуаяьную работу Как следствие появ- ляется необходимость ввести следующий критерий: Критерий 3. Функции перемещений должна» быть выбраны гак чтобы деформации ма границах .игжду элгмгптаии были конечными (даже если опи там нг определены), Этот критерий означает непрерывность перемещений на гра.
нице между элементами. В случае когда деформации опреде- ляются через первые производные, как в приведенной здесь Копеппые елелепгес упругой среды Глаеа 2 у+ — йу/ й ! 2 (2.32) (2.33) 2=у+ йг = в качестве примера плоской задаче, непрерывными должны быть только перемещения. Если же, однако, деформации определяются вторыми производными, как в задачах о пластинах и оболочках, то должны быть непрерывными также и первые производные от перемещений [2]. Последний критерий математически означает требование «полиоты функций», с которым читатель может более глубоко познакомиться, например, по' работам [!1 — 15]. Эвристическое доказательство условий сходимости, данное здесь, вполне постаточпо для практических целей, за исключением самых необычных случаев.
2.6. Функции перемещеяий с разрывами между элементами В некоторых случаях возникают существенные трудности при выборе функций перемещений элемента, которые были бы непрерывнымн по всей его границе со смежными элементами. Как уже указывалось, разрызность перемещений приведет к бесконечным деформациям на границах между элементами, Этот факт не учитывался ранее, поскольку предполагалось, что вклад в энергию вносят только сами элементы. Однако если в пределе при уменьшении размеров элементов непрерывность восстанавливается, то мы все же придем к правильному результату. Это условие практически выполняется, если: з) условие постоянной деформации автоматически гарантирует непрерывность перемещений; б) выполняется критерий предыдущего раздела о постоянной деформации. В некоторых задачах, рассмотренных в этой книге, с усие.
хом будут использоваться разрывные функции перемещений такого типа, Однако при этом нельзя уже оценить значения функционала энергии. 2.7. Предельное значение энергии деформация при использовании метода перемещений Хотя приближенное решение, полученное методом перемещений, всегда дает завышенное значение полной потенциальной энергии Х (абсолютный минимум которой соответствует точному решению], знания этого иногда бывает недостаточно для практики.
В некоторых случаях, однако, можно получить более удобную оценку. Рассмотрим, в частности, задачу, в которой отсутствуют начальные деформации или начальные напряжения. В соответ- ствии с принципом сохранения энергии энергия деформации должна быть равна работе внешних сил, равномерно возрастающих от нуля [16]. Эта работа равна — с/гйг, где йг — потенциальная энергия нагрузок. Таким образом, на истинном или приближенном поле перемещений. Следовательно, в данном случае приближенное решение всегда занижает значение У и полученное перемещение часто рассматривается как нижняя граница решения.
В случае когда задана только внешняя сосредоточенная нагрузка /с, можно сделать вывод, что величина смещения при действии этой нагрузки будет занижена (так как У = — '/ггса = = '/еМ). При сложном нагружении эта оценка не всегда применима, поскольку для величин, представляющих практический интерес, т. е. смещений и напряжений, не удается установить определенных пределов. Важно помнить, что оценка энергии деформации справедлива только при условии отсутствия начальных напряжений или деформаций.
Выражение для У в этом случае может быть получено из соотношения (2.31) в виде а с помощью формулы (2.2) оно преобразуется в У= (6)гЦ[В]г[У][В](Р1(б) =Ф(б]г[К](б]. где квадратная матрица [К] — ранее рассматривавшаяся матрица жесткости, Приведенное выражение для энергии всегда положительно, что следует из физического смысла этой величины. Поэтому матрица [К], вводимая при применении метода конечных элементов, является ие только симметричной, но и положительно определенной (т, е.
квадратичная форма, связанная с зтон матрицей, всегда больше нуля или равна нулю). Это свойство особенно важно при использовании численных методов решения систем уравнений, так как при этом возможны некоторые упрощения. Калечные элементы улругод среды Глава 2 42 ЛИТЕРАТУРА 2.8. Прямая миннмнзацйя Тот фант, что метод конечных элементов сводится к минимизации полной потенциальной энергии й выраженной через конечное число узловых параметров, позволяет получить систему уравнений, символически записанную н виде (2.30). Это наиболее часто применяемый подход, особенно в линейных задачах.
Однако для оценки нижней границы значения 2 могут быть использованы и другие, хорошо разработанные к настояшему времени методы исследования в области оптимизации процессов. В этой книге мы будем придерживаться первого способа минимизации, хотя можно использовать и другие методы ($7, )8). 1.
С1оийй и %., ТЬе Р(ппе Е!ешеп1 1п Р!апе Ягеш Апа!уыз, Ргсс. 2пд А. б. С. Е. Соп1. оп Е1ес(гопк Сожри!анап, РИМЬигКЬ Ра., Вер1. 1960. 2. С(оикЬ й %., Тйе Гдпне Е!ешеп( Мейод 1п биисйга( МесЬашсз, СЬ. 7 1п: Ягезз Апа!уыь, 2гепыеы(сх О. С., Ноиз1ег О. 5., едь., %$(еу, 1965. 3. бтпгенег 3., ТЬе Епегку Ме1Ьод о1 Не!иогйь о( АгЬИгагу ВЬаре гп РгоЬ1ешз о1 йе ТЬеопу о1 Е1азнсну, Ргос.
!ОТАМ, Вушроашш оп Ноп-Ноша. КепеИу !п Е1азиы!у апд Р!аьпсну, О(шай %., ед., Регкашоп Ршш, 1959. 4. Соигап1 Е., Уаг(анапа! Мейодз !ог 1Ье Зо(п((оп о! РгоЫыпь о1 Ейи(НЬ гшш апд Ч(Ьганоп, Вин. Ат. Мага. Вос., 49, 1 — 23 (1943) 5. Ргакег %., булке А Ь., Арргох(канал гй Е(аьнсну Вазед оп йе Сопсер( о( Рипс1(ой брасе, Оиаг). Арр!. Ма(И., 6, 241 — 269 (1947) 6. ТптюьЬепйо б., Ооошег А Н., ТЬеогу о1 Е(азнсИу, 2пд ед., МсОгаы-Нгн, 195 !. 7. %азмш К., Уапанопа! Мейодь гп Е1аьбспу апд Р!авнсну, Регаашоп Ргезз, 1968.
8. Яги(! А %. (!.огд Иау!е12Ь), Оп йе ТЬеогу о( цеьопапсе, Тгалк ((оу. бос. (Ьопдоп), А161, 77 — НВ (1870). 9. Ц(!х %., ОЬег е!пе Ме(Ьоде ыхг !.ошпа Кеыыьеп Чаг(а((опв — РгоЫегпе дег шайешаньсйеп РЬузй, А Лэгле илд Алием. Май., 136, 1 — 6! (1909) . 1О. Вахе(еу О. Р., Сьеипк У .К., (голь В М., 21епЫеы1са О. С, Тпапки1эг Мешен(в ш Вепд(пи — Соп(огш!пи апд Ноп.Соп(огш(пи ВоЫ(опз, Ргос. Соп(. Ма1г(х Мейодз (п 31пк1. МесЬ., Аи Рогов 1пз(. ТесЬп, %пбЫ Ра1- 1егьоп А. Р. Вазе Омо, 1965.
Н. Михлнн С. Г., Проблема минимума квадратного Функииоггала, ГИТТЛ, М.-Л., 195. 12 ЗоЬпьоп %. Л1., Мс!.ау и %., Сопчегиепсе о( йе (Чине Е!епгеп( Мейод (п йе ТЬвогу о! Е1авнсйу, А Аррг МесИ Тгалз. Аы. Бос. Месь. Елу., 274— 278 (196ВН есть русский перевод, Джонсон, Мвклей, Сходимасть метода конечных элемемтов в теории упругости, Труды Американского общества инженеров-механиков, Прикладная механика, 36, сер. Е, № 2, стр 68 — 72 (1968). !3.
Кеу В. !Ч., А Солэегкепсе (птеьнканоп о( йе Опес! Ягнпеьь Мейод, РЬ. О. Тьежз, Оп(ч. о1 %аьь(па(оп, 1966. 14 Р(ап Т. Н. Н., Тола Р.. ТЬе Сопчегкепсе о1 Р!пне Е!ешеп( Мейод !п бо(. т!пк Ыпеаг Е(аь1к Ргоыешв, )л(. А Бо!Ыэ Ягис(., 3, 865 — 880 (1967).
!5. Ое Аггап!еь О!ще(га Е. и., ТЬеогенса1 Роипдапопз Ж йе Р1пне Е!епэеп( Ме1Ьод, (лг. т Вайда зоаы., 4, 929 — 952 (1968), 16. Ое усиЬе1ге В. Р., Омр1асешеп1 апд Ейин(ьг(пш Моде!з (п йе Р!пне Е1ешеп( Ме(Ьод, СЬ. 9 гп; 51гезь Апа(уыь, 2!епЫеыкх О. С., Нонз1ег О, 5., ей.. %псу, 1965. 17. Рох Е. С, Яап$оп Е 1, Вече(оршепм !п Ягис(ага! Апа!увн Ьу О1гес( Епегиу М(п(ш!га((оп, (А(АА, 6, 1038 — 1044 (1968); есть русский перевож Фокс, Стэнтон, Достижения в области расчетов на прочность прямыми методами мимимизапии энершн, Ракетная техника и космонавтика, б, № б, стр.
55 — 63 (1968). 18 Вокпег Р. К.. Манен и. Н., М1пкЬ М О, бсьшн 1.. А., Осте(оршеп1 апд Ечв(нанон о1 Епегиу беагсЬ Лчс(ьадз !п Ноп-Ыпеаг 5(гис(ига( Апа(узм. Ргос. Соп1. Май~а Йе(ьодз (п 31гис1 МесЬ., А!г Рогсе (пз(. ТесЬп., %пяш Ра((егзоп А. Р. Вазе, О(но, 1965. ГЛАВА 3 ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 33. Варнацнонные задачи К решению встречающихся в технике задач прикладной ме. ханики существуют два подхода [1]. При одном из них используются дифференциальные уравнения, описывающие поведение некоторой произволышй бесконечно малой области. Лругой подход состоит в том, что постулируется вариационный экстремальный принцип, справедливый для всей области. 11ри этом решение минимизирует некоторую величину ун которая определяется как некоторый интеграл от неизвестных величин по всей области. Интегральную величину ун представляющую собой функцию от неизвестных функций, называют функционалом.
С математической точки зрения оба эти подхода эквивалентны, н решение, полученное при одном подходе, является решением при другом подходе. Калсдый из этих подходов может быть принят в качестве основного, хотя чаще используется первый. От одного подхода можно перейтн к другому с помощью математических преобразований, что является предметом многочисленных книг по вариадионным методам [2 — 4]. Различие между этими подходами состоит в способах получения приближенного решения. Конечно-разностные [5, 6) методы аппрокснмируют дифференциальные уравнения разностными; метод Ритпа и его нариант — метод конечных элементов — связаны с приближенной минимизацией функционала. В предыдущей главе было показано, что задача определения поля перемещений в конструкции сводится к задаче минимизации полной потенциальной энергии, определенной в виде функ.
ционала от перемещений. Была установлена эквивалентность метода конечных элементов методу приближенной минимизации ф>нкцнонала энергии по узловым перемещениям. В настоящем разделе этот вопрос будет рассмотрен в общем виде. Пусть физическая (или чисто математическая) постановка задачи требует минимизации функционала х з некоторой области. Величина Х определяется з виде интеграла по области У и части границы 5, на которой неизвестны функция [Ф) илн ее производные, т.
е. она имеет вид Обобщение понятия ноншния яяеяенеоя дх дФе зх дфе дх д (Ф) (3.3) Если справедливо утверждение, что функционал равен сумме вкладов отдельных элементов, т. е. что Х= 2.Х', (3.4) то символическое уравнение принимает вид дХ Ч дз дфн сн дФо где суммирование производится по всем элементам. Таким образом, получено правило составления системы уравнений, минимизирующих функпнонал, для всего ансамбля. В частном случае, когда Х является квадратичным функционалом от (Ф) и ее производных, производную для элемента е можно записать в виде 'зх [й]е (Ф)е ( (р)е (3.6) д (Ф1е где [й]' и (р)е — постоянные матрицы. Теперь систему уравнений (З.З), минимизирующую функционал, можно записать следующиьг образом: — „","„=[К](Ф)+(Р) =б, (3.7) (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
