Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следовательно„ если й представляет собой радиальную составляющую силы на единицу длины окружности узла радиуса г, то в расчетах должна использоваться внешняя «сила» 2лгЯ. Аналогично сила в осевом направлении 2яг2 характеризует со. вокупность осевых снл, Гляяя 5 Остьи.яяетричяст яяярянеянст сьгтсяяит 5,2.7. Узловые силы, обусловленные начальной деформацией Сиона используя (2.9), получаем (Р)„' = — 2п ~ [В)г [О] (е„) г в(гв(в.
Учитывая, что дефориация (вв) постоянна, для каждого узла можно записать (Рт)' = — 2я($ [Вв] гт(гт(в) [0](вв]. (5.23) Интегрирование осуществляется тем же способом, что и при определении жесткости. Ясно, что опять можно использовать приближенное выражение (Рт),' = — 2ч [ВУ [0](ив) гЬ (5.24) (5.26) является точным. Силы, обусловленные начальными напряже- ниями, определяются таким же образом. 5.2.8. Распределенные объемньве с лы При решении осесимметричных задач часто возникает необходимость рассматривать распределенные объемные силы, такие, квк сила тяжести (если она действует вдоль оси в), центробежная сила во вращающихся механизмах, внутреннее давление в пористом материале. Запишем такие силы в виде вектора =й (5.27) где Л, 2 — компоненты силы в направлениях г и в соответственно на единицу объема материала.
В соответствии с (2.)!) имеем (Р); = — 2п ~!Ь!'( г 1 г "г 5' с поправочным членом. Таким образом, имеем . (Р )ь= (Рв)+ [Р!)- (5.25) Однако можно показать, что в этом случае поправочный член равен нулю, так как (Р[)' = 2я (~ [В[] г т(г бв) [О] (цт) = О, поэтому представление (Р,)' = — 2п[В] [0](ив)ггЬ илн для в-го узла [Рв)' = — 2п ~ ( ] Ьг[гт(гс(з. (5.28) Если в первом приближении допустить, что объемные силы по. стоянны, то с помощью переноса начала координат, так же как в подразд. 4.2.7, легко получить (Рт)'= (Рт)'= [Р-)'= — 2п (5,29) (5.30) и если этот потенциал линеен относительно своих узловых значений, то можно использовать выражение, эквивалентное (4.40) . Во многих задачах объемные силы пропорциональны расстоянию г от оси симметрии.
Например, во вращающемся теле (5.3 !) )7 ы'рг, где ы — угловая скорость, а р — плотность материала. Очевид- но, что аппроксимация (5.29) в этом случае будет очень грубой, и для получения хорошего результата необходимо точное ин- тегрирование. 5.2,9, Вычисление напряжений Как следует из формул (5.5) и (5.6), напряжения не постоянны внутри элемента. В этом случае удобно усреднять напряжевия и относить их к центру тяжести элемента. Матрица напряжений, получающаяся нз формул (5.6) и (2.3), имеет, как обычно, вид (а)' = [О] [В] (б)' — [О] (ев) + (ав).
Можно показать, что значения напряжений несколько колеб. лютея от элемента к элементу и усреднение узловых напряже. ний позволяет улучшить результат, 4 Звя, В|а Хотя это выражение не совсем точно, можно показать, что величина поправочного члена уиеньшается с уменьшением размеров эленента и вследствие самоуравновешенности он не приведет к заметной ошибке. Ясно, что в случае необходимости интегрирование в (5.28) можно произвести точно. Если объемные силы заданы потенциалом, аналогичным введенному в подразд.
4.2.8, т. е. та ношение оз~ .ао мш тлз а Фнг. 5.4. Напряжения в сфере при действии вмутреннего давления (колффицнснт Пуассона т = 0,3). е — твеуголькые ь м кты- зка з Ь лтр х т же тк, и — треуголькме з, мз ты— усрьдлеиие ко узлам; е- четыезхутоль ык з змеитм-узуедкеккк ао см жзым треуголь. ника», Фиг.
5.5. Перемещения внутренней и внешней поверхностей сферы при покааан- иом на фиг. 5.4 нагруженин а Х Фиг. 50. Сфера прн установившемся распределении температур (100'С на внутренней поверхности н 0' на внешней). к- рзс оеделеи хемкео туры к кккркж« ик ио Оллаузу; а — у о лш к ю шт рш. уголькикаы. — Хоккое решение; П узрзакекш о тоеуг лькнкам, О усведкеаке ло кет ушуголькикам. )а) Глоло 5 5.3.
Некоторые примеры Решении тестовых задач, таких, например, как задачи о цилиндре с постоянными осевыми или радиальными напряжения. ми, как и следовало ожидатгь совпадают с точвыми. Это оче. видное следствие того, чта функция перемещений может описывать однородные деформации. Задача о сфере под действием внутреннего давления, для которой характерно почти линейное изменение напряжений, имеет точное решение. На фиг. 5.4,а показаны отнесенные к центрам тяжести элементов напряжения, полученные при ис.
пользовании достаточно крупной сетки. Следует отметить, чта полученные напряжения несколько колеблются около точиога решения, 13ти колебания становятся еще более заметными прн ббльших значениях коэффициента Пуассона, хотя точное реше. Фнг. 57. Сосуд реактора высокого давления. л — ес ольэоээпеме лрн расчете четырехугольные элес\сете, рээенм ее че элементы сет.
шестэл лось ЭВМ л темэшчесче; Π— лепреже ее прн рее онерэо рэ пренс.е ем д эле. нмп р !черт ж, эмпол е с энм!. прл рэше вв опоелелелпсь соелеле пе четмрехтгель ееээм элэчелля, Коэфенплевт Птэесоле т О,!5. ние ие зависит от него.) На фиг. 5.4,б приведено гораздо лучшее приближенное решение, полученное усреднением значений напряжений в узловых точках; с помощью усреднения, результаты которого приведены иа фиг.
5.4,з, решение можно еще Осесилмегрпчлое нолряжеллое состояние улучшить. Хорошее совпадение с точным решением даже при использовании весьма грубого разбиения свидетельствует о высокой точности метода. На фиг. 5,5 с точным решением сравниваются перемещения узловых точек. На фиг. 5.6 показаны температурные напряжения в той же самой сфере, вычисленные для установившегося температурного поля. Сравнение с точным решением снова показывает высокую точность метода. 5.4. Практические прилад!ения метода В этом разделе приводятся два примера практического применения метода к исследованию осесимметрическога нагружения, Фнг. 5.8.
Сосуд реактора высокого девлення. Температурные нвпряження в уствновнвшсмся состояннн. Лнннн мвкснмвльных глввных нлпряженнй !фунт)дюйме). 1темперетурв внутон 400'С, снаружи 0'С, м = 5!йе 1)'С, Е 2,58 1сэ Фунтг'дюйме. ч 0,15.) Реактор из предварительмо напряжемиого железобетона под давлением. На фиг. 5.7 показано распределение напряжений в упрощенном варианте такога реактора. Вследствие симметрии рассматривается только одна его половина.
Приведены р-гг!.вюн рви = 606 гиви —. 6 гз ирс гаги-6Р иьи орви ЛИТЕРАТУРА о гюиюгу Нииш Ф дммм. (Зми Фнг. 5.9в Свая в слоистом грунте. Нерегуяврное разбиение и нскодные данные. Фиг. 596. Свая в с шпетом грунте График нертиквкьиых ивпряжепий в гора. вонтвяьиых сечениях Понижено гвкже решсвне задачи Вусскиескв при Е, = Е, Е„,» и проведено срввчение с точным решением. — точное решение вада н аусснн«скв;,а вешевв«шдвчн Зусс в м«года» кении них в«ем««тон; ° вшиенве «вдави о свае методом коне«них э««ментов, Осесиммегричное нонрвженное состояние напряженая, возникающие прн действии внутреннего давления.
Аналогичные результаты дегко получить для случая предвари. тельно напряженной арматуры, если в узловых силах учесть нагрузку от арматуры. На фнг. 5.8 приведены линии равных максимальных главных температурных напряжений. Температурные напряженпя н само температурное поле в установившихся условиях определены с помощью метода конечных злементов, как описано в гл. 15. Свая фундамента. На фиг.
5.9а и 5.96 показано распределение напряжепий вокруг сваи фундамента, проходящей через дза различных пласта грунта. Решение втой неоднородной задачи не представляет трудностей и получается с помощью стандартной программы. 5«Ь Несимметричное нагружение Метод, изложенный в настоящей главе, может быть распространен на случай несимметричного нагружеиия. Если изменение нагрузки по окружности описывается с помощью круговых гармоник, то можно рассматривать только одно осевое сечение, хотя число степеней свободы при зтам увеличивается до трех. Некоторые детали метода описаны в гл.
13. В работе 151 ьюжно найти полное его изложение. 1. С!оинь Н. %., СЬ. 7 !п: 51гевв Апе!ув!в, 2!епыетгшх О. С., Но!мнет С. 5., ебв, %!1еу, 19Б5. 2 Сыпаь Н %., НввЬЫ у., р!ппе Е1ешеп1 Апв(увм а( Ашнзугпшеи!с Бо1Ыв, Ргос. АБСЕ, 91, ЕМ 1, 71 (1965) 3. Т(гпо«Ьеп1го 5., Сооб!ег г. №, ТЬеогу о( Е(вввспу, 2пб ш(., МсСгвш-НП!, !95Е 4 (гопв В. М., Согпгпсп1 оп «56нпевв Мв!беев (ог 5ес1ог Е!егпепм, Нв!и 1 и, йво А. К., )А(ЛА, 7, 156 — 157 (1969)! есть русский перевод: Айронс, Земечвние и статье «Мвтрипы жесткости ввемегшов в форме сектора», Рикетния техники и ко«минов«и«и, 8, № 3, стр. 27! (1970). Б.
%неон Е. Е., щгпс1пгв) Айв(ув!в о1 Ахг.зушшетис Ба!Ыв, ХА!АА, 3, 2269— 2274 (1965); есть русский перевод. Вияьсов, Расчет нв прочность осесимметрнчных теи, Ракетная гекники н юхмоииетшги, 3, № 12, стр. 124 — !32 11Н 651. ГЛАВА Е ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Введение Метод конечных элементов применяется и для решения трехмерных задач. Такие задачи охватывают почти все практические случаи, хотя иногда предположение о том, что напряженное вли деформированное состояние двумерно, дает вполне приемлемую и более экономичную «модель». Простейшим элементом для двумерных задач был треугольник.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
