Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В трехмерном случае его аналогом является тетраэдр— элемент с четырьмя узламн. В настоящей главе будут рассмотрены основные характеристики этого элемента. Трудность, не встречавшаяся ранее, состоит в порядке индексации узлов, т, е. в построении конечно-элементной модели тела. Впервые тетраэдральный элемент предложили использовать Галлагер и др.
[Ц и Мелош [2]. Позднее Аргирис [3, 4] подробно разработал этот вопрос, а Рашид [5) показал, что с помощью больших современных ЭВМ могут бытЬ решены поставленные таким образом практические задачи. Очевидно, однако, что для получения заданной степени точности количество простых тетраэдральных элементов должно быть очень большим. Это приводит к огромному числ> уравнений, что несколько ограничивает нз практике применение метода. Кроме того, ширина ленты матрицы основной системы уравнений становится большой и в результате увеличивается необходимый объем памяти вычисли. тельной машины.
Чтобы представить себе степень сложности такого рода задач, предположим, что точность аппроксимации двумерных за. дач треугольвымн элементами сравнима с точностью аппрокси. мании. трехмерных задач тетраэдрами. Если, например, для достижения заданной точности при определении напряжений в квадратной двумерной области требуется сетка размерности 20Х 20, т. е.
надо рассмотреть 400 узловых точек, то числа уравнений для определения двух компонент перемещений каждого узла будет около 800 (Это вполне приемлемая цифра.) Лента матрицы системы содержит 20 узлов (см. главу, посвя. щенную методам вычислений), т. е. около 40 переменных. Эквивалентная трехмерная область представляет собой куб с 20Х20Х20 = 8000 узловых точек. Так как теперь должны грехо«рное наврат««нное состои«ос 1бб быть определены три компоненты перемещений в каждой узла. вой точке, общее число уравневий достигает 24000, а лента ма. трицы содержит 20Х20 400 взаимосвязанных узлов, т, е.
1200 переменных. Если учесть, что вычислительные трудности при использовании обычных методов решения, грубо говоря, пропорциональны количеству уравнений и квадрату ширины ленты матрицы, то нетрудно представить себе сложность решевия таких задач. Не удивительно поэтому, что попытки уточнить решение трехмерных задач связаны в основном с использованием сложных элементов, обладающих большим числом степеней свободы [6 — 10]. В последних главах будут приведены примеры практического применения таких элементов Эта глава содержит все необходимые сведения для постановки трехмерных 'задач теории упругости. Обобщение на случай более сложных элементов не вызовет затруднений.
6.2. Характеристики тетраэдральиого элемента б 2.А Функции перемещений На фиг. 6.1 изображен тетраэдральный элемент 1)ргл в системе координат х у и г Перемещение любой точки определяется тремя компонентами и, о и со в направлениях координат х, у и г. Таким образом, вектор перемещений имеет вид [[) = (6.1) Если для задания линейного закона изменения катай-либо величины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения. По аналогии с представлением (4.3)' можно заяисатсь например, и = а, + о;г + азу + а,г.
(6.2) Приравнивая эти выражения перемещениям узловых точек, по- лучаем четыре уравнения типа (6 3) ис = о, + а»г~ + о,у, + а,г, и т. д., нз которых определяются коэффициенты а1 — аь Гяоео а 106 Трелмернос «»»ряыенное состоя«»с 107 Величина У в данном случае представляет собой обьем тетраэдра. Коэффициентами ис, Ьс, сс, дс обозначены определители Х, Уу из=бе! х уы 2„ Ь! —— — Йе( (6,66) 4 = — Йе! сс = — бе! Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой итщексов р, 1, !', т. Как видно из фнг. 6.1, узлы р, 1, 1, т пронумерованы в соответствии с правилом правой руки, причем первые три узла пронумерованы па часовой стрелке, если смотреть со стороны последнего узла.
Перемещение элемента определяется двенадцатью компонентами перемещений его узлов; (6.6) где (и~ '( (Ь|) =У~а1 ~ и т. д. Перемещение произвольной тачки можно записать в виде (!) = (!Ь((. И',, !тУ., 7тУ,') ( ); (6.7) где скалярные величины определяются соотношениями о + Ьтл+ сер + Ысз Ь(! = ау и т. д., (6.4) ' (6.8) где а 1 — единичная матрица размерности 3)с, 3, Ясно, что эти функции перемещений будут удовлетворять требованиям непрерывности на границах между элементами.
Этот результат является прямым следствием линейного закона изменения перемещений. 6)с = бе! (6.6а) Фят. 6.1, Тетрвздрельвый злемент. (Прв нумер»пни узлов следует првдерыивзться определенного порядка, начиная, пвпрпмер, с точки р, остзльные узлы нумеруются в нзпрззлеввн против часовой стрелка но отношению к ней— руш или шср! в т. д) Запишем теперь соотношение (6,2)' в форме, аналогичной (4.6), с использованием определителя 1 и = —, ((о, + Ьсх+ с,у + дсг) и, + + (о1+ Ь!х+ рту+ с(12) и! + +(а +Ь х+с у+с( г)и + + (а, + Ь,х + сру + с(рг) ир), 1 хс у, 1 хг ут 21 Х»т Уы гы ! Хр ур гр Хя Ур 2« хт 1 гт хм 1 гы хр 1 ! Ут 21 1 уы гм ! Ур ге х) Уг ! хы Ум хр ур ! урекиерное нанрхненное еоерогнае !ой Глава а 6.2.2.
Матрица деформаций (6.12) ди дк (а) = Ухг (6.9). = [О) ((е) — (ав)) + (ов). (о) = (6.13) где ду,' дх О 0 дФ! — 0 ду ау! О дг ! еу [В,) = (6.11) дм,' — О дх дм[ дд, дх ду ам,' ду О О О ч ч 1 1 — ч ! — ч ч 1- 1 — ч дме дг ду, О дк О 1 — 2ч 2 (! — ч) (6.14) Симметрично ! — 2« 2(! — ) 1 — 2ч 2 (! — ч) В трехмерном случае учитываются все шесть компонент де. формации.
Используя известные обозначения Тимошенко, запишем матрицу деформаций в виде дв ду ди де да до — +— ду дх до две — +— дх ду ди ди — +— дк дг С помощью соотношений (6.4) — (6,7) легко убедиться, что. (а) = [В!(Ь)' = [В„ Во Вр„, Вр)(Ь)', (6.10) 6,10! О О::1се, :О О'[ О':д, се::6;':1 ,О О.;д!;'.с; д, О [ Ь, Остальные подматрицы получаются простой перестановкой индексов.
Начальные деформации, тание, как обусловленные тепловым расширением, можно записать обычным образом в виде шести- компонентного вектора, имеющего, например, для изотропного теплового расширения прЬстой вид: ао' ао' ао' (ав) = 0 0 0 де а — коэффициент линейного р г асширения, а 6' — средняя по элементу температура 6.2.8. Матрица упругости В случае материала с анизотропией свойств матрица [1)) связывающая шесть компонент напряжения с компонентами деформации, может содержать не более чем 21 независимую по. стоянную (см.
подразд. 4.2.4). В общем случае о„ Так как такое умножение никогда не выполняется в явном виде, запишем здесь матрицу [В) только для изотропного материала, хотя это нетрудно сделать и для случая произвольной аиизотронии. При использовании обычных упругих постоянных: модуля упругости Е и коэффициента Пуассона ч — матрица имеет внд Я(! — «) [~1 (1+ч)(! — 2ч) Х Глаза б Но (6.15) (6.!6) 6.2.4.
Матрицы жесткости, напряжений и нагрузок Выражение для матрицы жесткости, определяемой в общем случае соотношением (2.10), можно проинтегрировать точно, так как компоненты деформации и напряжения постоянны внутри элемента, Подматрица с индексами гз матрицы жесткости имеет раз.
мерность 3 )( 3 и опредедяется соотношением [йм! = [В,)г [В! [В,! (Г, где (à — объем тетраэдра. Узловые силы, обусловленные начальной деформацией, записываготся в виде, аналогичном (4,31): (Р)„' = — [В!'[В[(а,) У, нли для г-й компоненты (Рг), — [В;! [В! (е„) (г. Аналогичные выражения получаются для сил, обусловленных начальными напряжениями. Фиг. 6ГК Способ разбиения трехмерного тела иа элементы типа «кирпияиков», Сходство с результатами гл.
4 очевидно, так что необходимость в дальнейших выводах отпадает. Читатель не встретит никаких трудностей при составлении вычислительной про. граммы. Распределенные объемные силы снова могут быть заданы их составляющими Х, У, Е или потенциалом объемных сил. Как и раньше, можно показать, что если объемные силы постоянны, то компоненты их результирующей распределяются по узлам элемента равномерно [см, (4,34)!. Фиг. 6.6. Сштавноа элемент с восемью узламя и лва способа разбиения его на пять тетраэпров (о и 6».
112 Глава б Трвлпврнав напряженное состояние 113 ф~э[[еу лм !" 6.3, Составные элементы с восемью узлами Иногда при аппроксимации объема отдельными тетраэдрами теряется наглядность, что может легко привести к ошибкам в нумерации узлов и т. д. Удобнее разбивать пространство на восьмиугольные «кирпичики». Это осуществляется, как показано на фиг. 6.2, рассечением трехмерного тела параллельными плоскостями и разбиением полученных сечений на четырех. утольники.
Элементы такого типа можно считать состоящими из нескольких тетраэдров, построение которых осуществляется с помощью простой логической программы. Например, как показа. но иа фиг. 6,3, любой кирпичик можно разделить на пять тетраздров двумя [и только двумя) раэ.чичными способами. Усреднение результатов этих двух типов разбиении приводит к незначительному увеличению точности. Напряжения хорошо представлять усредненными по всему кирпичику. фяг 64 Способ рнвбнвння вссьмнугольнаго «кнрпнчнкн» нв шесть тстрввдров Разбиение кирпичика на шесть тетраэдров показано на фиг.
6.4, Очевидно, что существует много других возможностей. В последующих главах мы увидим, что такое разбиение может быть полезным для построения и более сложных типов элементов. 6.4. Примеры и заялючнтельпые замечания Простой пример применения тетраздральных элементов показан на фиг. 6.6 и 6.6. Приближенное решение хороша иэвест- Фяг. 66. Задача Бусанпвскв нвк прнмср нсслсдоввпня трехмерного напряжен. ного состояния. в=с вв Анна Греввчпме гжоввм н е м=а вв Азао, я вв гелаев свмметрпв, все лог а е АНЛВ) гве га еввм своаслвме.
ной задачи Буссинеска о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство получено в результате исследования конечного объема кубической формы. Использование симметрии позволяет сократить число неизвестных и записать краевые условия для перемещений в указанном на фиг. 6.5 виде [1Ц. Так как нулевые перемептения заданы на конечном расстоянии ат места приложения нагрузки, перед построением представленных на фиг. 6.6 графиков результаты корректировались по точному решению.
Значения полученных напряжений и перемещений оказались довольно точными, хотя следует отметить, чта разбвеине было достаточно грубым. Однако даже для такой Ц Ф Сб а ц 2 в 4 й И а $ з а. а ;Ь за аз 3д а ~. Ыз а а а з И~~ ф % 6 4В а ф 1 1 ч а а и аз~ гю/Нза а з аз а з а а за а а а Ю а а 3 а В И ь.' е Нб Глава д простой задачи пришлось решать систему из 375 В работах ['5 — ! $[ уравнений. — [ с помощью тетраэдральных элементов рассмотрены более сложные задачи. На фиг. 6.7, взятой из работы [5[, приведены результаты расчета сосуда высокого давления сложной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
