Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Чг= ш 1 к»=ай 1 ?у =1(1 — йт)(!+ ~о)(1+(). Элемент третьего порядка (32 узла): угловой узел пгг = 64 (1+во) (1 + Чо)(! +4о) [9(й~+ Чт+ гз) — 19]; (7 37) типичный узел на ребре 1 3 ° Мг = — (1 — Д (! + 91~) (1+ Чо) (1+ (о). 9 при с =! = ьо приведенные выражения сводятся к (7.12)— (7.14). Такие трехмерные элементы могут соединяться с плоскими или одномерными элементамн соответствующего типа, как показано на фиг.
7.14. 7.10. Прямоугольные призмы. Лагранжево семейство Функпия формы для элементов показанного на фиг. 7.!5 типа может быть построена в виде полинома Лагранжа. Обобщая обозначения, использованные в (7.!6), запишем й?гтг=( (9)(~ (Ч)5г(ь). (7.38) Элемент такого типа предложен Эргатудисом [6[ н подробно изучен Аргирисом [7?. Все замечания относительно внутренних узлов в пределов применимости, сделанные в равд. 7.4, спра. ведлнвы и здесь. 7.11. Тетраэдральные элементы Не удивительно, что семейство тетраэдров, показанное па фиг. 7.16, обладает свойствами, сходными со свойствами семей. ства треугольников. Во-первых, снова на каждом этапе используются полные полиномы от трех координат.
Во-вторых, поскольку грани раз- Фвг. 7ЛД Праввльаав призма из лаграпжева семейства. Фвг. 7.16. Семейство тетравдрсв. а-в евевт вереого корык; б-Ек мм т второго кот»дк»; в-е»емевг третьего ворвдкв, Фрнкцоо формы ээееэнто !39 Гэаеа т (7.89) (7. 42) (7АЗ) (7.44) делаются, как н соответствующие треугольники, то в плоскости грани получается полинам одинакового порядка по двум коор- динатам и, таким образом, совместность элемекгов обеспечн. вается. 7,!!Л. Пространственные Е-координаты ') Введем саециальвые координаты (фиг.
7.!7) с помощью со- отношений ~ зх~+ йзгз+ (згз+ ~434 У = соУ~ + (.зрз + ьзрз + ь'Уз г = Е,г, + 1.,г, + йзг, + (,его + йз+ йз + 6» Разрешая эти соотношения относительно Ьт, получаем выражения типа (7.25) и (7.26), коэффициенты которых определяются соотношениями, тождественныыи (6.5). Координаты 4 2 Фег. т.!т. Прастрзветвевеые Ыкаордвееты точки Р представляют собой отношения объемов гетраздров с вершиной в этой точке к объему всего тетраэдра (см., например, фиг. 7.17): сбьем Р43! абьем !33! (7.40) В орвгвезле 1!а!аюе саогшав!ез, т. е. «аордвезты, свззеыиые с обьчма!4,— 3 .
Рвн. Ред. 711,2. сдункиил формы Поскольку пространственные 6-координаты связаны с декартовыми линейно и принимают знзчения от единицы в какой- либо вершине до нуля иа противоположной грани, то функции формы элемента первого порядка (фиг. 7.16) имеют вид 32,=7.!, йтз=(з «т. д (7А1) Выражения для функций формы тетраэдров более высоких порядков получаются, как и для треугольников, с помощью соответствующего рекуррентного соотношения. Оставляя его получение в качестве упражнения, приведем ряд примеров. Тетраэдр второго парика (фнг. 7.16, б): для угловых узлов йт~ =' (21,, — 1) Л! и т. д., для узлов на ребрах йтз 4Ь!7.2 и т.
д. Тетраэдр третьего порядка: для угловых узлов йт,= — 3(З(.,— 1)(З(.,— 2)б, и . д,, ! для узлов на ребрах 9 !Уе= 9 бзбз(ЗЕ, — 1) и т. д., для узлов на гранях йГ,з = 276з7.зуз и т. д. Приведем формулу интегрирования 7.12. Некоторые другие простые трехмерные элементы Ясно, что возможаости построения элементов простых форм в трехмерном случае гораздо шире, чем в двумерном. Напри- мер, ряд элементов можно построить, исходя из трехгранной призмы (фиг. 7.18). При этоы опять можно использовать ла- гранжев и сиреидипов подходы. Первые элементы обоих се- мейств одинаковы, н функции формы для них столь очевидны, что приводить их здесь нет необходимости, Функции 4армвс влемента 141 с | Я Ъ ь 'а ь 7.18.
Заключительные замечания .к ь ЛИТЕРАТУРА вс о 6 с. о с ь о" йй ь е и | с о н о „ ч Для элемента второго порядка, изображенного на фиг. 7:!8, б, функции формы имеют вид; для угловых узлов (Ес =61 = !) А),= —,' Е,(И.,— !)(!+Ц--2Е,(! — й, (748) 1 для узлов на сторонах треугольников Агва= 2Есбв(! + ь) и т. д., (7.46) для узлов на сторонах прямоугольников А|с= Е|(! — ~в) и т. д.
Сани такие элементы используются мало, но иногда находят практическое применение как составляющие слов|ного элемента в виде параллелепипеда с двадцатью узлами. В настоящей главе было описано множество различных типов элементов, причем возможности построения элементовэтим не исчерпываются [4, !2). Что же можно сказать о применении сложных элементов? За исключением треугольников и тетраэдров, все остальные рассмотренные элементы применяются только в тех случаях, когда исследуемая область может быть представлена.в виде некоторой совокупности правильных призм. Это очень сильное ограничение, и построение функций формы для таких элементов было бы практически бесполезным, если бы не существовало возможности деформировання элементов в соответствии с границами области. Методы деформирования в настоящее время существуют, и онн будут описаны в следующей главе.
1 Оииие Р. С., Саар1е1е Ро| иаа|в| О|ьр|всеаеп! Р|е|йв |аг Р!пне Е1еаеи| Мейойв, ткани Лоу лего. Бое., 72, 245 (!968). 2. !гонь В. М., Рмкв|оийЬ 3. О., 2|еиыетнсв О. С, Сапипеи| оп ге|. 1, Ткань. Аау Лего. 8ое., 72, 709 — 7! 1 (1968). 3. Вгяе|оий|ь Д О., !тою В М, усеи|сиинсг О. С., Сигтей. !ьарвгьае!пе, Оиайг!!в1егв! С|еспеиы |аг Щите Е|еаеи1 Аиа)уь(в, |на 7. 6а|ЬЬ 6!гаса, 4, 31 — 42 (1968).
4. Х!епыетмев О. С е| а|., |ьарагаае|г|е вий Аввас|а1е Е|еаеиЬ Рважев 1ог Тиа вий Тагес Оппеив|апв! Аив! вЬ, СЬ. 13, |и: Мине Е!еаеи! Мещайь |и %геев Аиа|ув!ь, Нс|впй !., Вен К ейв., Тесин. Оп|в, о1 Ьисгпву, Тарп Ргевь, Хагпву, Тгаийье!пс, 1969. 5. зса!1 Р., А яивгце, Тпс Всаеиь!оив| |ьорагвае1пс С|висел|, Оийекгвйив1е Рта|ее|, Ои!и, а1 Щв|еь, Виапьев, !968. б. Егяв|оийЬ й О, Яиийг!1ь|ета) Е|еаеи!ь !и Р|аие Апа1уь1а |и1гайисисп !а Ва|Ы Аив|увЬ, М зе. Тиеь!в, Оим а!ига)ев, биьивев, |966.
149 Глава 7 8.1. Введение Е! (8.1) ь Аг у =7 Ч илн у 7, Агкупв А Н., Века К. Е., Рпед 1.. Мвгесьек О., ЗсЬвгр! О. ЦГ.. 5оте Меп Е!етепы !ог Ми!их гнвр1всетеп! Ме!Ьодв, апд Соп! оп Мвгпх Мейгодь 1и 51пк1. Месь., удг Рогов !пн. о1 ТесЬп., Вгг16Ы Рвйегвои Влек ОЬ1о. Осг. 1966. З.
Ооьег1у КГ. Р., 9Гйьои Е., Тву1ог й Ы, $!геев Апв1ув!ь о1 Аивупипе1пс Зо. Ойиь1пк Н16ьег-Огдег Опьщйвгегь! Гдпй» Е1еиьеппь йеи1. 3!гпс1игв1 Епкгпееггпк 1.вЬогв!огу, гуп1в. о1 Св!йоги!в, Вегке1еу, увп 1969. 9. Ое уепьеке В Р., О!ьр1всетепг впд Еипй1Ьг1ши Моде!в !п ще Р1пйе Е1е. теп1 Мешад, СЬ.
9 Щ: 5!геев Аив1ув1в, ЕгепЫевдсь О. С„Но!идет О. $ едв., трйеу, 1965. 1О. Агяупв А Н., Тггвпки!вг Е!степы пйЬ 1лпевг!у Увгу1и9 5!гаги 1ог Ще Мв1пх О1ьр!ьсетеп! Мепгод, А нор. лего. Зос. Теса, !Уо!в, 69, 71! — ЫЭ (Ос!. 19661. 11. Егкв!опд1ь 1. О., !гонь В. М., жепЫеп!сь О. С„ТЬгее Оипепьмив1 див!у. ив о1 Агсь Овтв впд ТЬегг Роипдвнопь, Зутровгит оп АгсЬ Рапи, 1пь!. Сгу.
Епп., Сопдап, 1966. 12. 51епыеп1т О. С., 1гопь В, М., СвтрЬей А, 5сой Р„ТЬгее О!тепмопв! 3!геев Аив1уь!ь, 1о1 11п. ТЬ. Арр1. МесЬ. Зутр, еп Н19Ь Зреед Сотри. Ппн т Е1вмкйу, щеке, 1970. ГЛАВА В КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В предыдущей главе было показано, как можно построить некоторые семейства элементов. Каждый новый элемент этого семейства характеризуется увеличением числа узлов и повыше.
нием точности; число таких элементов, необходимых для получения достаточно точного решения, по-видимому, будет быстро уменьшаться, На практике часто приходится рассматривать тела гораздо более сложной формы, чем в академических задачах, поэтому для аппроксимации тела относительно сложной формы небольшим числом элементов нельзя довольствоваться только простыми прямоугольниками и треугольниками. В этой главе рассматривается вопрос преобразования этих простых элементов в элементы произвольной формы.
На фиг. 8.1 и 8.2 изображены одномерные, двумерные и трехе мерные элементы и соответствующие криволинейные элементы. Здесь показано, что координаты Е ч, ь или А„Тв, Еь, Ав могут быть преобразованы в новые криволинейные координаты. Двумерные элементы можно деформировать не только в двумерные, но и в трехмерные элементы, как показано на фиг. 8.2. При деформировании должно иметь место взаимно однозначное соответствие между декартовыми и криволинейными координатами, т. е.
должны существовать соотношения типа Если связь между координатами известна, то, построив функции формы в локальной системе координат, после соответствующих преобразований можно определить характеристики элементов. Однако необходимо исследовать, удовлетворяют ли функпии формы критериям сходимости. Можно показать, что при определенном виде преобразований координат эти критерии выполняются. 147 Глава В 14а у=)У',у, + Мгук-~- ...
=[(т'] У~ Ут (8.2) г=гу[аг+ гт[г. + ... =[ту'] 8.2. Использование функций формы для установления связи между координатами Наиболее удобно для установления связи между координатами использовать функции формы, введенные ранее для аппроксимации неизвестной функции. Если записать, например, х, х=гр(к~+ №хт+ ... =[Аг'] где [Аа] — функции формы в локальных координатах, то сразу же полУчим искомое соотношение.
Точки с кооРдинатами хьуь з, и т. д. совпадают с соответствующими точками границы элемента (так как по определению функции формы равны единице в рассматриваемой точке и нулю в остальных). Каждой совокупности локальных координат будет соответствовать одна и, как правило, только одна совокупность глобальных декартовых координат. Однако далее мы увидим, что иногда при значительном деформнровании взаимно однозначное соответствие может нарушиться.
Идея использования функций формы для введения криволинейных координат впервые упоминается Тайгом [1]. Он применил ее при деформировании прямоуголыгика в произвольный четырехугольник. Айронс [2, 3] обобщил эту идею на другие элементы. Разрабатывая методы получения кривых поверхностей для нужд техники, к аналогичным соотношениям совершенно независимо пришел Кун [4, 5]. В настоящее время вопросы теории метода конечных элементов и исследования поверхностей стано. вятся взаимосвязанными. На фиг. 8.3 изображены деформированные элементы, получепиые из элементов второго и третьего порядков сирендипова Криеоеннейньге иноааралетроеегкае внелентш Фнг Э 3. Построенные ЭВМ крввонннесные координатные линии днн внеыенгов второго в третьего аорндков (небоньшое вскравненве), семейства.
Очевидно, что между локальными (к, т)) и глобальными (х, у) координатами существует взаимно однозначное соответствие. Если искривление элемента в некоторых точках велико, то может появиться неоднозначность, как, например, в двух случаях, показанных на фиг. 8.4. Здесь некоторые виу. тренинг точки отображаются за пределы криволинейного эле. мента. Кроме того, существуют внутренние точки, которым Гэаеи В 149 (8.4) Фег 84. Чрезыереое нснрнэнеене эленеетэ, прееадеыее к неодееэнэчееств преобразования и «перегибу» Девы ээеыееты второго в третьего переднее. соответствуют разные локальные координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
