Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 21
Текст из файла (страница 21)
-! (8.90) (8.21) д(к, р, «) боь (г! д(кэ, ь) ' Выражая [)] через функции формы [йи], определяющие преобразование координат (которые, как мы видели, только для изопарзметрических элементов совпадают с функциями формы гй!]), получаем Х дб ам,'. Х вЂ”.' " дл, к, дл[ длг д» д1 дл~ дл, дч дч дл[ дйе Для преобразования переменных и области интегрирования применим стандартный прием, использующий определитель матрицы [л]. Так,' например, элементарный объем преобразуется следующим образом: йх йу йа = йе! [л'] йй йц йг.
(8.19) Преобразование такого типа справедливо при любом числе координат, Доказательство читатель может найти в обычных учебниках по математике. Особенно хорошо изложен этот вопрос в книге Муриагана [6]') (см. также приложение 5). Если предположить, что матрица [л] имеет обратную, то определение характеристик элемента сводится к вычислению интегралов типа (8.11).
Если 'криволинейные координаты являются вормализоваиными координатами, соответствующими прямой правильной призме, то интеграл (8.!1) можно записать в виде 1 ') Определитель ыатрипы Якоби в лчтературе называется «екобнвпоы» в часто звпнсывчетсп в впав Криволинейные иионаронегричеокие илеменгы Интегрирование производится ло объему именно такой, а не искривленной призмы, поэтому пределы интегрирования записываются просто. Для одномерных и двумерных задач получаются интегралы соответствевно по одной и двум переменным с простыми пределами интегрирования.
Хотя пределы интегрирования простые, выражение для [й] в явном виде, я сожалению, очень сложное. Поэтому, за исключением некоторых простейших элементов, точно интегрирование провести не удается и приходится прибегать х численному интегрированию. Впрочем, это, как мы увидим далее, не так уж плохо и имеет то преимущество, что позволяет избежать алгебраических ошибок и составить типовые программы для различных.
классов задач веззвпсимо от вида элемента. При использовании численных методов обращение матрицы [л] никогда не производится явно. 8.7. Матрицы элемента. Е координаты Соотношения (8.2) преобразования координат и зсе последующие теоремы в равной степени справедливы для любой системы локальных коордиват. В частности, с нх помощью координаты Еь Е,, ..., введенные в предыдущей главе для треугольников и тетраэдров, можйо связать с глобальными декартовыми координатами.
Ббльшая часть рассуждений предыдущей главы остается в силе, если соответствующим образом переименовать локальные координаты. Однако появляются два существенных отличия. Во-первых, локальные координаты не являются независимыми и число их на единицу больше, чем декартовых. Матрица [)], следовательно, станови~ся прямоугольной н не допускает обращения. Во-вторых, меяяются пределы интегрирования, которые теперь должны соответствовать треугольным или тетрвэдральным первичным элементам. Простейший, хотя, возможно, и ие самый изящный, способ избавиться от первого затруднения — это считать последнюю переменную зависимой.
Так, например, для тетраэдра (используя обозначения предыдущей главы) введем формально Таким образом, равенство (8.!6) и все соотношения вплоть до (8.19) сохраняются без изменений. 189 Глава 8 188 (8.23) а / ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.8. Одна переменная Поскольку функции А(1 выражаются через координаты Ет, Ез и т. д., то Учитывая (8.21), приходим к равенству длг д Лз дмг дй дсг дс« Остальные производные получаются аналогично. Пределы интегрирования в (8.20) заменяются на пределы, соответствующие тетраэдру, т.
е. 1 1-" 1-Я-С Аналогичная процедура справедлива и для треугольника. Заметим, что слОжнОсть пы ражения для [Й[ опять вызывает необходимость численного интегрирования, которое должно производиться по простой, неискривленной, первичной области, т.е.
по треугольнику или тетраэдру. Отметим, наконец, что каждый из элементов, рассмотренных в предыдущей главе, может быть деформирован в криволинейный. Фнг. 88. Крнволппейшзя трезгрзп. ИногДа, ка«напРимеР, ДлЯ ТРензя призмз. угольной призмы, одновременно используются и прямоугольные и Е-координаты (фиг. 8.8). Сделанные ранее замечания относительно зависимости координат остаются в силе.. Еще в гл. 5, где рассматривалась относительно простая задача об осесимметричном напряженном состоянии и использовались простые треугольные элементы, отмечалось, что точное интегрирование выражений, входящих в матрицы элемента, связано с большими трудностями.
В таких задачах, как и при использовании сложных криволинейных элементов, возникает не. обходимость численного интегрирования, Криволаледиме изапариметри«»плие влвмеитм Здесь мы изложим основные принципы численного интегрн. рования и приведем таблицы квадратурных коэффициентов. Интеграл от функции одной переменной можно вычислить двумя основными методами [7, 8]. Квадратура Ньютона — Котеса'). Сначала априори выбираются точки, обычно равноотстоящие друг от друга, в которых вычисляются значения функций.
Затем строится полинам, О 86113 Фиг. 8.9. Интегрнровзнне методзмн Ньютонз — Котесз (а) н Гаусса (б). Обв методз иозво.тяют таяна проинтегрнровзть полянам седьмой степени (т,е.по. грешность имеет порядок 0(А')), ') Термен «квздрзтурн» пспользуетсн вместо термин» «численное интегрн. равенне». !ае Глана 8 Таблица 8.! фОРмулы Гаусса ] Т(н) Лн ~4 О?Т(а?) ~ 1(6) л(6,(' Он (61) (8.24) ОО ООО 1,60000 0,55555 0,86%8 89 626 02 691 0 5?735 0,77459 9,00000 а=а 55 5% 88 889 55 555 88 888 41 483 00 000 66 892 ОО 000 Э7 454 62 546 48 451 5! 548 0,347% 0,66214 63 115 1О 435 94 053 84 856 0,861! 3 0,33998 56 169 99 366 88 889 68 850 86 704 88 888 0,23692 0,47862 0,56888 38 664 05 683 00 000 98 459 93 101 00 ООО 0,90Б17 0,53846 0,00000 (8.26) 79 170 48 139 72 691 44 923 157ЭО 39 345 0,17132 ОД6076 0,46791 95 142 93 864 91 860 03 152 66265 83 197 0,93246 0,66!20 0,23861 68 870 89 277 05 119 73 469 49 66! ЭЭ 9!4 ОО ВОВ 91 ВЭБ 0,12948 0,27970 0,38'83 0,41 795 79 12 Э 11 855 51 5!3 ОО 000 42 759 99 394 77 Э97 ОО 000 0,94910 0,74153 0,40584 0,00000 и 8 90 376 53 374 77 887 78 362 85 362 10 344 % 458 3? 833 0,10122 0,22!38 0,31370 О,ЗЕ258 98 564 64 774 24 099 46 424 97 536 1Э 627 16 329 95650 0,96028 0,79666 0,52553 0,18343 1 — ~ ] (9),(6 — Д ~О,)(в,) (8.28) Ш 574 94 857 Оэ 9% 40 003 01 2БО 43 883 е! 6% СЕ РЕ4 70 770 93 550 0,0812? 0,18064 0,26061 0,31234 0,33023 02 395 11 073 14 327 34 234 00 000 0,968!6 0,83803 0,61337 О,Э2425 0,00000 овеев 50 58! 15 982 09 996 14 753 13 443 !э 49! 63 625 67 193 42 247 О,ОББ67 0,14945 0,2!Н!8 0,26926 0,29552 17 172 88 985 99 024 29 247 81 631 65 2% 33 666 95 682 5Э 941 43 389 0,97390 0,86506 0,67940 0,43339 0,14887 Б Заа.
413 значения которого совпадают со значениями функции в этих точках, и точно интегрируется (фиг. 8.9). '!ак как и значений функции определяют полипом степени и — 1, ошибка имеет порядок 0(А)а, где А — расстояние между точками. В результате получаем известаые квадратурпые формулы Ньютона — Котеса, в соответствии с которыми интеграл можно записать в виде ! и при интегрировании в пределах от — 1 до +1 (фиг. 8.9,а), Например, если и = 2, то 1=(( — 1)+ П!). (8.25) При и = 3 получается известная формула трапеций = Э (]( — 1)+4)(0)+)(!)], при и = 4 — формула одной трети Симпсона 7 = — [) ( — 1) + 3] ( — — ) + 31'( — ] + ) (1)].
(8.27) Формулы интегрирования для различных и (до и = 20 включительно) приведены у Копала (8]. Квадратура Гаусса. Если значения функции вычисляются не в априорно заданных точках, а так, чтобы достигалась наилучшая возможная для данного количества ~очек точность, интегрирование выполняется точнее. Если положить, что и снова представить подынтегральную функцию в виде поли- нома, то нетрудно увидеть, что для и точек интегрирования по. лучим 2и неизвестных ()1 и 1,), и, следовательно, можно построить и точно проинтегрировать полипом степени 2и — 1 (фиг.
89, б). В результате ошибка будет иметь порядок 0(д)ыч Решить полученную систему уравнений трудно, но с помощью некоторых математических приемов (7] рен?ение можно получить в полиноыах Лежандра. Поэтому этот метод часто называется квадратурой Гаусса — Лежандра. В тзбл. 8.1 приведены координаты точек и весовые коэффициенты для интегрирования по Гауссу. Абсциссы в вееавын вавффвцаннты вввврвтурвва 3 н 07 626 26636 ' 00 590 ОЭ 809 ОО ООО а 1О Гэз Глава 8 1= ~ ю(й) [(3)»й='Я Нд(3) (8.29) Проще всего взять интеграл Фег 8.10 Точки интегрирования ддя ж= 3 я неадратной обдастн.
(8'34) (То1но интегрируется поаннон пятой степени по 1 ~ [Й Ч)»3»Ч, -1-1 (8.30) ! = ~ ~ [(йн йп (,) И.,»(., (8.33) 1.=1 1=1 ! 1 1 (8.33) 1= ~,Г йу[(йн (.ь 7.,), я!!1! 1 1 1с! В методе конечных элементов сложность вычислений заключается в определении значений интегрируемой функции [, поэтому в дальнейшем будет применяться только формула Гаусса, использующан минимальное число значений функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
