Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В пределе при уменьшении размеров элемента функции формы дают постоннные значения деформаций и напряжений. Тогда выражения для «узловых сил» принимают вид (Ег)'~ = ~ (а) [В) Ы)7 = (а) ~ [В) д)г. т (9.1) Так как д(7 = бе! [У! дс дт! Ый (9.2) и матрица [В) получена умножением первых производных от Тьгг иа матрицу [2)-г, приходим к выводу, что точное интегрирование соотношения (9.2) обеспечивает точное вычисление интеграла (9,1). Якобиан выражается через первые производные функции формы [см.
выражение (8.18)), поэтому всегда можно определить его порядок, а следовательно, и число гауссовых точек, необходимое для точного интегрирования [3). Например, для случая двумерного четырехугольного элемента второго порядка детерминант представляет собой квадратичное выражение, для интегрирования которого требуются как минимум две точки.
Случаю трехмерной призмы второго порядка соответствует кубичное выражение, для точного интегрирования которого тоже требуется по две точки в кажцом напра. аленин. Этот минимум точек, необходимых для сходимости, не всегда является оптимальным с точки зрения затрат машинного времени. Если для представления области используется небольшое число элементов, интегрирование можно производить с большей точностью, и, наоборот, при использовании большого количества элементов более экономичным может оказатьси интегрирование с меньшей точностью. Ясно, что вычислительные программы должны составляться так, чтобы можно было производить интегрирование с любым количеством точек.
Этих точек должно быть не меньша, чем это 173 ав -О,о с,г с гы г=т О Л геуссссьг тсаес н о еаусссгм еюееи еь Ю гауссегмм исае» Фзг 9.2. Влняияо порядка чзслеиного явтегрзраегиия яе результети ресчете сферы, яегрумеииоа еяутреялни девлезвеи (злоиозты третыго я четзертого оорядков). Салашзоа ляяяей аакезави тачяие результаты.
Некотарие »сименс»ые ызо»арометрыеескел елеменгое необходимо для сходимости, но и не больше, чем требуетсн для численного интегрирования. На фиг. 9.2 в ка гестас примера иллюстрируется осесимметричная задача о сфере, нагруженной внутренним давлением. При ее решении использовались элементы двух порядков и различное число точек интегрирования. Результаты не требуют комментариев. Последние работы показывают, что, применяя минимальное число точек интегрирования, в некоторых случаях можно существенно улучшить характеристики элемента. Это объясняется двумя обстоятельствами. Во-первых, задание формы перемещений всегда увеличивает жесткость (как показано в гл. 2), а снижение точности интегрирования уменьшает ее.
Во-вторых, при малом числе точек интегрирования из рассмотрения исключаются области, в которых для обеспечения непрерывности между элементами на перемещеная накладываются чрезмерные ограничении. К этому вопросу мы еще вернемся в гл. 14. 9.3, Преимущество применения численного интегрирования в методе конечных элементов[3] Существенным преимуществом применения в методе конечных элементов численного интегрирования является возможность составления универсальной вычислительной программы. Можно заметить, что для заданного класса задач ~~сД„'~~""' матрицы всегда одииако- с и во выражаются через Ойигее оса тфункцию формы и ее про- »сше»ие для изводные [см., например, (8.14) [. ии мене»ма Для вычисления характеристик элемента необходимо, во-первых, за- рсрлдс» дать функцию формы' и и»юегссРса»ел ее производные, а во-это- Фяг.
9.3 слеиг расчета аря юилеяяои яз- рых, установить порядок тогрзрозезяя по элементам. интегрирования. Таким образом, вычисление характеристик элемента состоит из трех различных частей, схематически показанных на фиг. 9.3. Чтобы использовать для заданного класса задач различные элементы, необходимо только изменить функции формы, и, наоборот, подпрограммы задания одной функции формы могут примениться в различных классах задач. (74 Глава р Фиг. 9.5. Конический резервуар, Такая схема вычислений позволяет без труда использовать различные элементы для проверки эффективности новых элементов в исследуемой задаче или же применить программу для расчета новых задач без громоздких преобразований (с неизбежнымн ошибками).
Вычислительпая машина при этом используется по назначению, т. е. длн проведения расчетов по экономао составленной программе. Самым большим практическим преимуществом универсальных подпрограмм вьщисленин функции формы является возможность их проверки с помощью простой программы. Обычно достаточно проверить, празилыго ли вычисляются узловые зиа. чения и производные. Проверка осуществлястси по простым ко. печно-разностным формулам после аычислеция по подпрограмме значений функций.в двух близлежащих точках.
Иногда исполь. зуются и другие тесты. Самый интересный из них саязан с вычислением собственных значений, но использование его цепко. номично [4). Включение в систему простых точно интегрируемых элементов не должно вызывать опасения, так как время точного н время численного интегрирования при этом почти одинаковы. 9.4. Некоторые практмческне примеры решения двумерных задач (5 — (0] Возможности использования криволинейных элементов для исследования двумерного напряженного состояния иллюстрируются примерами решения осесимметричных задач. Вращающийся диск (фиг.
9.4). В этом случае для получения решения с достаточной степенью точности необходимо всего восемнадцать элемектов. Интересно заметить, что координаты узлов на сторонах элементов третьего порядка задавать не требуется, так как их вычислеаие предусмотрено программой. Конический резервуар (фиг. 9.5).
Для решения этой задачи используются элементы третьего порядка. Следует отметить, что для описания влияния изгиба как а тонкой, так и в толстой ча. стих резервуара достаточно только одного элемента по толщине стенки. Длн получения приемлемого решения при использова. нии простых треугольных элементов, как мы видели, требозалось несколько слоев элементов.
Полусферический купол (фиг. 9.6), Это еще один пример исследования оболочек, который показывает, как с помощью программы расчета конического резерзуара при малом числе элементов можно получить решение задачи для тонкой оболочки. Применяя хорошо известную в теории оболочек гипотезу Фиг. 9.4. Расчет вращамщегооа лиска ири использовании элементов третьего порядка ((8 элементов, ((9 узлов, 238 гтепепей свободы). цлогаоать глац м, е ~лг '!у н и, э эа; агщэ чо( У те Глава р газ Вал Гамм, =0,2 1 = 1,27г.м в в,м.
М Нлмг в Ч 1У' ь о г л Дм л,а гь о 1Л д о о о о г с М 2О В,гргр ф д я чч лхе илмгллгсон ааг З гЬ2р Фнг. Э 6. Тонная аолуефернчеенен оболонке. Решение е непольноннннем !6 н 24 элементов третьего нередка. о линейности перемещений по толщине, можно уменьшить чис- ло степеней свободы и сделать программу более экономичной Методы такого рада подробно рассматриваются в гл. 14. 9.9. Исследование трехмерного напряженного 'состояния При решении трехмерных задач, как указывалось в гл. б, использование сложных элементов позволяет значительно сэкономить время, В этом разделе приведены типичные примеры, в которых используются элементы второго порядка сирендипова типа.
Ва всех задачах численное интегрирование в каждом на. правлении производится по трем гауссозым точкам. Вращающаяся сфера (фиг. 9.7) уб). Этот пример, в котором сравниваются рассчитанные и точные значения напряжений, вызванных центробежной силой, позволяет оценить эффективность сильно искривленных элементов. Полученные при исполь.
э.а. йуд щйфй. 71 ъ~ Нов "4 о\ о см В с о з г с о с о, а м Й я Раллпчпые раабвевпв еа оот олб хоб Рог ((умом' ропялмвенав во бо о го га Фпг. 9.9. Арочная платена ва о 32 элемента; а 9 эммввтов (лк ° ж ео ж эт «« Фвг. 9.8. Арочная плотнее на жестком групте. элемепты, жестком грунте Перемещения цевтральиаз лвпвп. 9 элемв вэв(Вь и ( элемент вб степенна свобод«1. Некоторые применения лволараметрмчвскол вмменгов зовании семи элементов результаты хорошо совпадают с точным решением, Арочная плотина на жестяом грунте.
Эта задача, возможно, несколько нереальная с инженерной точки зрения, исследовалась комитетом института гражданского строительства н явилась хорошей проверкой сходимости решения трехмерных задач. На фиг. 9.8 показаны два варианта разбиения плотины на элементы второго порядка и два — на элементы третьего порядка. Фиг. 9.9 иллюстрирует сходимость переме(пений в сред.
нем сечении. Видно, что даже в случае одного элемента достигается вполне приемлемая точность. Фвг 9.(0. Арочвая плотвпа ка жестком грукте Напряженка в вертикальном яаправлеипп па цевтралыюя лвппя. е 32 элем нтэ; А 9 э. м ов (лх х 9 элмээвтов (Вк о ( элемент (% стевввев свобод|4. Сравнение напряжений (фнг. 9.10) также дает удовлетворительные результаты, хотя при разбиении на крупные элементы заметна значительная «осциллвция» результатов. Решение, полученное при самом мелком разбиении, можно считать «точным», так как оно совпадает с результатами модельного эксперимента и с результатами, полученными другими методами (91 Приведенные тестовые задачи иллюстрируют универсаль. ность и точность метода.
)ава.следуюп(их примера типичаы для практических приложений, Сосуд высокого давления (фиг, 9.1!), Арочная плотина и ее основание (фиг. 9.12а). Оба показанных разбиения дают достаточную для практики точность. Первый иэ этих примеров, в некоторой степени подобный рассмотренному в гл. б (фиг. 6.7), демонстрирует возможность значительного уменьшения степеней свободы при использовании сложных элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
