Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Таким образом, определим деформации (фиг. 10.1) как дгы [ () =1- —,„;, (10.2) Соответствукощими напряжениями являются обычные изгибающие и крутящие моменты на единицу длины в направлениях х и Гл (и) = гк)и (10.3) Так как истинные деформации и напряжения изменяются линейно по толщине пластины [Ц, то их можно найти из соотношений 12М„ и = — гв нт.д., х Гг Иагнб нласгнн 189 188 Глава !б (бг) = йлг (10,4) ["- 1 (Р!) =Ге,! 1.
г вес (10.5) (!0.0) ЕР [1))= !2!! (10.8) Фнг. !ОЛ, Рьэультнрувщне напряженна нлн просто напраженна прн изгибе пластин. где з отсчитывается от срединной плоскости пластийы, а !— толщина пластины. Можно показать, что произведение выражений (!0.2) и (10.3) соответствует внутренней работе. Так как теперь в выражение для деформаций входят вторые производные, то, согласно критерию непрерывности, фуикции формы должны обеспечивать непрерывность как ю, так и угла наклона нормали к границе между элементами. Критерий постоянства деформации требует, чтобы внутри элемента можно было воспроизвести любое постоянное зиачеиие второй производной. Чтобы по ирайвей мере приближенно удовлетворить условию непрерывности угла наклона, в качестве узловых параметров рассматриваются три компоненты перемещений: во-первых, пе- Силы и гоотбетгтбуюгиив перелиегепил Фнг.
10.2. !1рнноугольныз элемент пластины. ремещеиие гон в иаправлеиин з, но-вторых, угол поворота (О„)„ вокруг оси у и, в-третьих, угол поворота (0„)„ вокруг оси х. На фиг. 10.2 показаны положительные иаправлеция поворотов, определяемые по правилу правой руки. Их величины задаются векторами, направленными по соответствующим осям.
Ясио, что углы наклона ю и углы поворота совпадают с точностью до знака, поэтому можно записать Как показано иа фиг. 10,2, узловыми силами, соответствующими этим перемежеииям, являются сила и два момента: Если известна матрица [В), то .матрица жесткости и все остальные матрицы строятся обычным образом с помощью соотношений гл. 2. Из определений (!0.1) и (102) следует, что Запись функций формы в квадратных скобках подчеркивает, что оии являются матричными величинами, состоящими из трех элемеитов.
Матрица упругости [0) входит в обычное соотношение: (и) = (М) = [)))((н) — (но)) + (оо). (10.7) Для иэотропной пластины имеем (см. [!)) Чтобы описать поведение ортогропной плиты, главные иаправлеиия упругости которой совпадают с осями х и у, Изгиб пластин 191 Глава 10 190 необходимо использовать четыре постоянные, т. е. матрица [/)) в этом случае имеет внд Т/)„О, 0 [())= )), ()„0 0 0 /)„~.) (10.9) Как показали Тимошенко и Войновскнй-Кригер [!), эти величины можно связать с соответствугогцнмн упругими постоянными материала, но удобнее оставить их именно в такой форме, так как теорнп пластин часто используется для расчета ростверков'). В таких случаях эти постоянные должны отражать свойства ростверков.
Ясно, что есзн материал обладает анизотропией обигего вида, то в матрицу входит самое бозьшсе шесть постоянных, так как она всегда снмметрнчна. 10.3. Условие непрерывности функцнн формы Для обеспечения непрерывности функции ю и угла наклона нормали на границе между элементами необходимо, чтобы ш я ди/дп едннственным образом определялись через заданные зна- чения на этой границе. г Рассмотрим фиг. 10.3, где нзо- угольного элемента. Направление г бражена сторона 1 — 2 прямо- нормали п фактически совпадает с направлением у, н, следовательно, необходимо, чтобы ш и 3 дю/ду единственным образом оп- ределялись значениями ш,дш/дх, отп углов ппплопп " дю/ду в узлах, лежащих на этой стороне.
Следуя прннцнпам гл. 7,можно записать, что вдоль стороны 1 — 2 прямоугольного элемента ю= Аг+ Азх+ Азх'+ ... (10А0) н дю П + В х + В х + ду (10А П Число констант в каждом выражении должно бытьдостаточным для того, чтобы выразить этн величины через параметры узлов на линии 1 — 2. Так, например, если на стороне имеются только два узла, можно допустить кубичный закон нзменсния ш, так как в ка- ~) ростворпоы пизыппотоп спотоып балок, оси хоторых расположены п одиоэ плоскостп и переоохпютсп под пряыыып угтпыз.
— Прин ргд. ждом нз узлов заданы значения дш/дх и и. Для величины дш/ду можно принять лишь линейный, т. е. двучленный, закон изменения. Для того чтобы гарантировать непрерывность производной дш/дх в направления у, нужно поступить аналогично. Таким образом, вдоль стороны 1 — 2 дю/ду завнснт только от параметрон узлов линии 1 — 2, а вдоль стороны 1 — 3 дш/дх зависит только от параметров узлов 1 — 3.
Днфференцнруя первую нз этих велнчнн по х, получаем, что на линни 1 — 2 дгш/дхду зависит только от параметров узлон линни 1 — 2. Аналогично яаходнм, что иа линии 1 — 3 дгш/дудх зависит только от параметров узлов лнняи ! — 3. В общей точке 1 возникает противоречие, так как в ней нельзя обеспечить выполнеине равенства дги, дзи, дкду аудк при произвольных значениях параметров в узлах 2 н 3. Таким образом, если в узловых гонках заданы только значения функции ш и ее производных, то функции формьг, удовлетворяющие всем условиям согласованности, нельзя представить в виде пол иномов [2), Произвольные функции, удовлетворяющие всем условиям согласованности, которые построены по трем узловым параметрам, в угловых точках не будут непрерывно днфференцнруемы, а их смешанные производные не будут совпадать. Некоторые вязы таких функций рассматриваются во второй части этой главы [3 — 7).
Приведенные рассуждения относятся только к прямоугольному элементу. Ясно, что нх можно распространить на случай, когда в точке 1 стороны смежных э.чементов пересекаются под пронзвольнымн углами. Путь преодоления этого затруднения очевиден. Можно считать смешанную пронзводную одним нз узловых параметров. Для ансамбля прямоугольных элементов это удобно н вполне допустимо.
Вагнером н др. [8) были предложены и с успехом использованы простые функция такого типа. К сожалению, не всегда возможно нспользовать нх для узловых точек, в которых пересекаются под разными углами границы нескольких элементов (фиг. 104). Здесь условие непрерывности смешанной производной в нескольких ортогональных направлениях фактнчески требует задания всех вторых производных в такой узловой точке. Это, однако, приводит к нарушеннго физнческнх требований прн скачкообразном изменении жесткости пластины от элемента к элементу, так как невозможно удовлетворить условию Гйз Лээаб пластал Глава ГО !99 Фаг !0.4.
Узлы, в которых старо ны смвжнмх элементов имеют про нэвшьныа направланн». НЕСОГЛАСОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ФОРМЫ 10.4. Прямоугольный элемент с узлами в углоных точках [12, 17, 18] 10.4.А Функции формы Рассмотрим прямоугольный элемент !)А! пластины, лежащей в плоскости х, у (фиг. 10.2). В каждой узловой точке вводятся перемещения (6„), которые имеют по три компоненты: перемещение ив в направлении х, угол поворота (6„)„вокруг оси х и угол поворота (6„), вокруг оси у.
Перемешения узловой точки определяются соотношением (!ОД), а перемещение элемента записывается, как обычно, в виде вектора, содержащего все (в нашем случае четыре) узловые перемещения: (10.12) равенства моментов, нормальных к границам между элементами. Тем не менее при расчете однородных пластин такой метод довольно успешно использовался [9 — 11]. Смит [9] исследовал эффект наложения таких условий сверх- непрерывности на несколько производных высших порядков. Трудности отыскания функций перемешений, удовлетворяющих условиям согласованности, привели к попыткам игнорировать условие полной непрерывности угла наклона при выполнении других необходимых критериев. Исходя из несколько наивного интуитивного представления, что выполнение условия непрерывности угла наклона в узловых точках в пределе приводит к полной непрерывности, было построено несколько очень удачных элементов[!2 — 15].
Отличными от использованных в гл. 2 и 3 средствами можно показать и доказать сходимость методов, основанных на применении некоторых таких элементов [4, 16). Более того, можно показать, что при определенных условияк ре. шение будет мало отличаться от точного[4]. Простота и широкое использование таких элементов объясняют, почему они ниже рассматриваются так подробно.
Для определения функций формы по двенадцати параметрам удобно использовать полиномы. При этом в полном полиноме четвертой степени необходимо опустить часть членов. Выражение са = а, + аэх + а,у + а,х'+ а ту + а у'+ а,ха + аосту + + Фэхут + а вуэ + апхэу + аэху' (10.13) имеет определенные преимушества.
В частности, вдоль любой линии х= сопя! или у= сонэ! перемещение са будет изменяться по кубическому закону. Все внешние границы и границы между элементами состоят именно из таких линий. Поскольку полипом третьей степени единственным образом определяется четырьмя постоянными, перемещения вдоль границы однозначно определяются значениями перемещений н углов наклона в узловых точках на концах этой границы.
А так как для смежных элементов значения на концах границы одинаковы, вдоль любой границы между элементами функция ш будет непрерыв. ной. Можно заметить, что градиент ш по нормали к любой границе изменяется вдоль нее по кубическому закону (например, дш/дх вдоль линии х = сонэ!). Так как на таких линиях заданы только два значения угла наклона, то полипом третьей степени определяется неоднозначно и в общем случае угол наклона может оказаться разрывным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
