Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 28
Текст из файла (страница 28)
сти была составлена программа расчета с использованием функций перемещений, определяемых выражением (10.13), н по ней просчитано несколько простых тестовых задач. Квадратная нзотропная пластина. На фиг. 10.8 в виде гра. финов представлены результаты расчета квадратной пластины Фаг. 10.8 Квалратлая пластина с защемленными краями. Равномерно распре- деленная нагрузка Ч. Квадратные элементы. с — р«мсллс методом оыяп л разпытсз лрл сс з зэ х зз,*с л, ! 6 «оа сник вдсмсвтов, сетка ахб; д н год сснпл эллис!зтоз, сетка зх4; о мстсд козел. пмк элсмснтоэ, сетка 2 Х 2. 2Х2 4Х4 вХв 12Х12 16Х16 'Госное решение (Тимошенко) 0,003446 0,003939 0,004033 0,004050 0,004055 0,004062 для оср д * . в яазруз н В, пр пожмите в лсптрэ пластин !20!. Глава 1О Иввиб пластин йов Таблица ГОД точке т точке м» ,125 ыпщь' аь ай 10 ас 10 ййножктель одю О,$35 ып)оьв Иревибы ил свободном впим в-В Фвг.
!09. Нвгружевтпе рввномерпо распределенной пвгрувкой а «ведретной консольной ылвствнм, А меток воввчвыт виты к в, ест»в в х в; О нв л «авечвы» рвввветев, евт в ь х ь 1лввен Внрч в., 1ЕМЬ Э вквпервмвнтыьвые рввтвьт т 1двввв, Пса. случае, когда наличие концентрании напряжений н узлах со- здает определенные трудности, ясно видно достаточно хорошее совпадение результатов как по перемещениям, так и по напря- жениям. 10,8.2. Треугольные элементы. Квадратная изотроанан пастила Для иллюстрации сходимости снова рассмотрена квадратная пластина. Теперь она различным образом аппроксимируется треугольными элементами. В одних случаях они получены из Опертая по углам кевдрвтнкв властное (точка 1 — середине оторопи плкстнпм! точка й — венгр плкствам) основе прямоугольной сетки, в других — совершенно нерегулярно.
На фиг. 10.7 показано несколько способов разбиения, а на фнг. 10.10 представлены перемещения, определенные при различных краевых условиях и нагрузках. Кзк и ранее, точность и сходииость по перемещениям оказываготся хорошими (хотя, воз. можно, и несколько хуже, чем при использовании прямоуголь. ных элементов). На фиг. 10.! 1 показано изменение изгибающих моиентов вдоль оси симметрии пластины. Средние величины моментов хорошо согласуются с точными. Однако в этом случае уже нельзя сказать, что линейный закон распределения напряжения наилучшим образом согласуется с реальным, Поэтому в практических целях рекомендуется вычислять напряжения (моменты) в центре тяжести элементов. Пластина с центральным круглым отверстием.
Хотя эта задача и не имеет точного решения, она приведена для того, чтобы продемонстрировать, как с помощью треугольных элементов легко рассчитывать пластины произвольной формы с любыми отверстиями. На фиг. 10,12 показана использованная сетка и нанесены линии равных прогибов ш. На фиг. 10.13 линни равных углов наклона сравниваются с экспериментальными результатами, полученными методом Муара. Расхождение ие превышает ошибки эксперимента. Изгиб пластал 211 Оаобоаноо оаарпппе % ппасгпаног Ж ао ,1875Д прапоженпа пюнепном вагона р ао моо Радиус о,гтббь Фнг. 10.10. Прогибы вдоль пентральной лпннп квадратной пластнны (треугсиь- ные элементы).
Фнг (ОЛ1, Каадратная пластг~па. Распределенне й( вдоль центральной линна (треугольные елементы). о сосдаас сассслан гнре лан асом ыс с см,м ас)г — — — дсастсспссьнсе пассос. дслс ас с слсмсатак. Фнг. 10.12. Каадратаая пластина с отаерстнем Лпннн разных бесразмерпых прогибов ып/рбл Треугольные алепенты 10,В.а.
Некогорега практические приложения Вычислительная программа расчета, особенно основанная на использовании треугольных элементов, широко применяется на практике. С ее помощью легко можно рассчитывать плиты фундамента, настилы мостов или обшивки кораблей. Одной из широко распространенных на практике задач яв. ляется задача расчета мостовых конструкций, для решения ко. торой очень часто применяется метод конечных элементов. На фиг. 10.14 приведена автоматически вычерченная схема распределений напряжений многопролетного моста. Мост более сложной формы показан на фиг. 10.15 и !0.16.
результаты расчета представлены в виде автоматически вычерченных изостат. При расчете предполагалось, что нейтральные оси парапета совпадают с нейтральной осью настила. Балочные элеыенты для расчета парапета без ~руда соединяются с плоскими, и результирующая система уравнений для всего ансамб. ля получается обычным путем, описанным в гл. 1, х а Ь х х а х х 3 х О, З $ ОО и Д О В= 'О 5 а а З х х К Д 1 х х *' 4 х с а о е ';" х х ОО 8 Я ц х х ха Х О О.
ах и а ~з х х О Х Я а л 4 ,х и а хх а Х О в О а х а а х а О, х л ~( Изгиб лгегтич 215 214 Гласа 10 11 л 72зпгЯ ар/м лм !гч г с г ам,Я и Фиг. 10,15. Кастлтонский мост. Общак геометрия н схема разбиение на конечные алементы. Крап моста своболно огертм без стесненип поворотов. Опоры учитывавтси каи искусственные утолщении затемненных участков, прогиб которых ограничен величиной ч = 6,17. и — тнаачеоь а ггьне ч и»; Л- спе.ьзоьанвге илеаьаыпиа.
«СОГЛАСОВАННЫЕ» ФУНКЦИИ ФОРМЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ В УЗЛОВЫХ ТОЧКАХ 10.9. Общие замечання В равд. !0.5 было показано, что для элемента с тремя степенями свободы в узлах невозможно построить функцию формы в виде простого полииома, которая удовлетворяла бы требованиям непрерывности угла наклона. Введение в узлах параметров кривизны имеет, однако, тот недостаток, что накладывает на функции чрезмерные требования непрерывности.
Более того, по многим чричинаы желательно, чтобы общее число узловых переменных не превышало трех. В этом случае, основываясь ва простой физической интерпретации, от плоских элементов для расчета пластин легко перейти к элеыентам для расчета оболочек. Кроме того, при трех узловых переменвых упрощаются вычисления, Фиг. Ю.!6 Компоненты мамонтов !т.м/м) длл изображечвого на Фиг !6.15 моста прв действии равномерно распрелелепной нагрузки 7,!6.1бт Н/ич Вычерченные ЭВМ линии равных мочентоа Винно, что а рассмотренном примере мост е основном работает на взгиб.
Еще один простой способ состоит во введении дополнительных функций формы, проиэаодпые лторого порядка которо!х л Узлах неоднозначно!. При условии, что оии ие обращаются в бесконечность, сходиыость гарантируется. г а. гй 21б 217 Ивелб властов нли Сгфтв(1+ С,) (10.29) св Рассмотрим функции формы для треугольных и четырех.
угольных элементов. Простой прямоугольный элемент исследоваться не будет. 10.10. Сингулярные функции формы для простого треугольного элемента Рассмотрим, например, любую из двух систем функций бАсз =!б+Ь!1Л+а) ит.Д., (10.28) Эти функции и их производные по нормали вдоль двух сторон треугольника 1 — 2 и ! — 3 (фиг. 10.!7) обращаются в нуль На третьей стороне 2 — 3 эти функции также принимают нулевые т Фвг.
10,17. Невотодыс особые фуввявэ Ь-воорхмтвт. значения, но нормальные производные отли сны от пуля и изменяются по параболическому закону. Вторая из этих функций показана на фиг. 10Л7, а. Все функции, использованные для задания несогласованного треугольника [см. выражение (10.25)), имеют третий порядок и, следовательно, допускают параболический закон изменения нормальной производной, который неоднозначно определяется двумя краевыми узловыми значениями (результатом чего и является несогласованность). Однако если э качестве еще одной переменной задать значение нормальной провзводной ю в середине каждой из сторон, то, комбинируя новую функцию в с введенными ранее функциями, можно получить оокозяачкьгй параболический закон изменения нормальной производной на гра- яицах между элементами, т.
е. построить согласованный элемент. Очевидно, что для достижения согласованности нужно добавить трн такие дополнительные степени свободы в выражение Фвг. 1ейз. Рвзтвчныс соглвсоввввыв трвугольвые влсыввты. Стввтвв сводолэ О(э. - —, — ) г л \ ) ! П э, —, — ° э дэ д*э до д'э т дл ' дм ' дл ' длддЛ' Иззяб властия 2!3 Глава !О 2!Э следующим образом Во-первых, нормальные производные в середине сторон определяются из основных функций формы элемента [соотношение (10.26)] в виде ! (Ф)ч [ ®)з]=[2](б). !( — ),'~ (10.30) Средние арифметические значения нормальных производных в углах тоже вычисляются по этим функциям и записываются как 1~, ~ 1 (( — ';„)',] =]у](б)' 1( — ':.')':! (10.31) Вклад фувкций е в значения этих производных пропорпионален величине зззу~ и т.
д., т. е. (так как сами ови имеют единичную нормальную производную) просто равев (10.32) (у)= уз Определяя нз соотношения [У](б) = [г](б) + (у) (10.33) (10,25) и выполнить асе описанные ранее операции. В результате получается показанный на фиг. 10,18,а элемент с шестью узлами, три из которых — обычные угловые узлы, а три — дополнительные узлы, в которых заданы только значения нормальных производных. Такие элементы несколько затрудняют составление ансамбля, так как число степеней свободы в каждом узле различно. Чтобы избежать этого затруднения, можно устранить степень свободы дополнительных узлов.
Например, можно положитгь что величина нормальной производной в середине сто. роны равна среднему арифметическому значений этой производной на концах стороны. В результате получим согласованный элемент с таким же числом степеней свободы, как и у описанного в предыдущих. разделах элемента (фиг. !0.18,6). Построение соответствующей функции формы довольно громоздко, поэтому оио здесь пе приводится. Проще поступить величину у и учитывая (10.26), получаем ш=[п'"1(й) +[ем взп.е~з]([У] [К])(б)~.
(1034) Здесь [йм] — определенные ранее несогласованные функции формы. Таким образом, соотношение (!0.34) определяет искомые функции формы. Другой способ получения согласованных треугольников был разработан Ктухом и Точером [3]. Как показано на фиг. 10.18,а, сначала каждый треугольник разделяется на три треугольника с общей вершиной во внутренней точке Р. Для каждого из новых треугольников записывается полный поливом третьей степени, содержащий десять членов. Окончательное представление должно быть выражено через девять обычных степеней свободы в точках 1, 2, 3 и три нормальные производные в точках 4, 5, 6, Так как в каждой угловой точке исходного треугольника функции формы смежных треугольников должны принимать одинаковые значения, получаются две системы уравнений а в итоге 9)(2+ 3 = 21 уравнение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
