Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 32
Текст из файла (страница 32)
После получения матриц жесткости всех элементов в общей глобальной системе координат составление ансамбля элементов и окончательное решение производятся обычным образом. В результате искомые перемещения определяются в глобальной системе коордвнат, и для определения напряжений необходимо в каждом элементе перейти к локальным координатам. После этого можяо использовать обычные матрацы мембранных и изгибасощих напряжений.
Глаза 11 Оба«очки кок совокупность и«агки« ззелеигое 239 11.4. Жесткость фиктивного поворота Если все элементы, пересекающиеся в узле, компланарны, то прн использовании описанного подхода нстречаются некоторые трудности, связанные с тем, что жесткость в направлении 8,«(фнг. 11.2) равна нулю. В такой точке последнее нз шести уравнений равновесия (со-- ответствующее направлению 8.) в локольиык координатах обращается в равенство 0=0.
П !Пб) Само по себе уравнение такого типа не вносит особых трудностей (хотя в вычислительной программе может привести к ошибочным результатам). Однако если направления глобальных и локальных осей координат отличаются, то после соответствующего преобразования получаются шесть на первый взгляд корректных уравнений. Эта система будет особенной, ибо она содержит равенство (!!.16), умноженное на действительные числа '). Существуют две возможности обойти эту трудность: а) составить систему уравнений для ансамбля в точке, где элементы компланарны, в локалькоул системе координат (и исключить уравнение 0 = 0); б) ввести в этой точке некоторый произвольный коэффициент жесткости йе,.
Это приведет в локальных координатах к замене уравнения (1!.!6) уравнением йе,8„= О. (!!.17) Последнее после преобразований позволяйт получить хорошо обусловленную систему уравнений з), нз которой обычным способом находятся все перемещения, включая 8,1. Так как 8,1 не входит в уравнения равновесия н напряжения от него не зависят, величине жесткости йе, можно придать произвольное значение.
Результат при этом не изменится. Оба предложенньгх способа связаны с определенпымн труд- настями программирования (хотя второй несколько проще). В работе [15) приведены результаты определения реального коэффициента жесткости для дополнительных степеней свободы типа описанных поворотов. '1 Читатель может вспомнить логическую ошибку е доке»а«ель«тес равен. ствэ 2 .= 4 к другие, осповааиме кз умважеекк абепк частей равенства (Н.16).
«) По-недикому, автор имеет в апау разрешимость ариеедеииай системы ураепеппй [П.5) Длк хорошей абуслоелеввостн, араме одиоэпечкой разрешимости, требуется еше малость кзиевеииэ реп~сне» этой системы пра малом взмевевпи аравмк частей (см.
С Н. Годунов, В. С. Ркбепькпй, Рззвастеме скемм, пзд ео «Наука», гл 2, 5 4, 1973 г) — Прим рей В программе, неодаократно применявшейся автором [6), использовалась система фиктивных коэффициентов жесткости поворотов для всех элементов, как конпланарных, так н некомпланарных. Для треугольных элементов онн вводнлнсь в виде такой матрицы, что равновесие в локальных координатах не нарушалось, т, е.
М,( = пЕ1Л 1 — 0,6 8,1, (1! . 18) Уиб«ика 11.1 Узловые коэффкипевтм жесткости поворота в арочной плотнее !2! езя ~ а,га а.аз 1,аа а,аа 61,13 63,35 64,52 65,28 Радиальные перемешекая, мм Из таблицы видно что прн о=О перемещения близки к точным. На практике рекомендуется использовать значение и = 0,03 илн ниже. Некоторые авторы [б) пытаготся избежать этой трудности за счет уменьшения числа степеней свободы, пренебрегая одной нз ннх и объединяя все уравнения по нормали к оболочке. Этот метод используется в гл. !4. Одмвко он в свою очередь вносит новую трудность, так как если учесть дейстлительное изменение направлений в оболочке, то не так просто задать «нормалье, 11.5. Локальные явправляющие косинусы После определения матрицы направляющих косинусов [й) для каждого элемента решение задачи не представляет никаких трудностей н производится обычным образом.
Однако само где м — некоторый коэффициент, который следует еще задать. Из-за того что дополнительные жесткости вводятся в некомпланарных узлах, их величины влияют на результат, так что этот прием является приближенным. Однако изменение в довольно широких пределах величины коэффициента ш мало сказывается яа конечном результате. Например, в приведенной ниже табл. 11.! содержатся величины перемещений арочной плотины для различных значений п, взятые из работы [2ф 240 Глооо Л Дг'л = 1, уч .„=О, йг,= О. (1!.10) ка,=о уг у, йу'У + ~/((' — ' Г+ (у — у )а) гг гг дуг + луг((г — гг)«+ (у — уг)а) (11.10) «г «г Пу(('г — ' )' + (уг — уг)') (11.21) определение матрицы направляющих косинусов приводит к некоторым алгебраическим трудностям; это определение не единственно, так как направление одной из осей, лежащей в плоскасти элемента, произвольно.
Рассмотрим сначала совокупность прямоуго.чьных элементов, для которой матрица направляющих косинусов находится особенно просто. П.5Л. Лрямоугольные элеменгьг Такие элементы применяются только для аппроксимации цилиндрических и коробчатых поверхностей. При этом удобно Фиг. 11Л. Цилиндрическая оболочка как соиокупность пряыоугольнык але- иеигои Локальные н глобальные координаты. направить одну из сторон элемента и соответствующую ось локальных координат к' параллельно глобальной оси х. Для типичного элемента цйю (фиг.
! 1.4) легко определить все соответствующие направляющие косинусы. Оболочки кок соуокупностг пюсгиг эмментоа 241 Очевидно, что для осн х' направляющие косинусы имеют вид Направляющие косинусы оси у' выражаются через координаты различных узловых точек. Выражения представляют собой простые геометрические соотношени~, которые получаются из рассмотрения вертикальной секущей плоскости, проходящей через точки ц. Рассматривая то же сечение, для оси х' получаем ог«=0, г — и 2 .т/((г — г )э+ (у у )а) Ясно, что для сохранения правильных знаков выражений важен порядок нумерации узловых точек.
П,5.2. Лроизвольна ориентированные в пространстве греуаольнаге элементы На фиг. !1.5, о показана произвольная оболочка, разбитая на треугольные элементы. Все элементы ориентированы по отношению к координатным плоскостям совершенно произвольно. Определить локальные оси и их направляющие косинусы в этом случае значительно сложнее, чем в предыдущем более простом примере. Проще всего эта задача решается с использованием векторной алгебры; читателяы, которые успели забыть ее основы, полезно обратиться к приложению 5.
Направление одной из локальных осей произвольно, и ее выбор должен быть сделан заранее. Будем считать, чта ось х' направлена вдоль стороны !! треугольнина, как показано на фиг. 1!.5, б. Глава 11 242 243 и, = Л„ „ — 1 у г (11.23) где (11.22) фмг. 11.б.
а — анеьмбль тр угольник заем нто», ан»роке м»руюм В ро»а»аль»ум оболочку; б-ло ааль ие к гааз»»ание кооранн ти а. треуго ьного заеме та. Эта сторона определяется вектором Уп с глобальными коор- динатамиь х, — хг '[ Уу Ус зу хг Оболочки как совокуакость ллоскик злвакктов Направляющие косинусы получаются делением компонент этого вектора на его длину, т. е. в виде компонент вектора единичной длины: Здесь для краткости положено ху, = хт — х, и т. д. Направим ось г' перпендикулярно плоскости треугольника. Это направление в соответствии со свойствами векторного произведения можно определить как векторное произведение двух сторон треугольника [ У!скоп — З11Уои ) У, =Уп)г',У,„= ....... ~, (1!.24) т, е, нормальным к плоскости треугольника вектором, длина которого по определению (см.
приложение) равна удвоенной площади треугольника. Таким образом, !. =Чуу(у!уз„,с — а!Гуму)'+(...) +(...)' =26. Направляющие косинусы оси г' получаются просто как направляющие косинусы вектора Ум!их можно представить в виде единичного вектора [Уугг 1 — хусУ 11 Ла'л Наконец, направляющие косинусы оси у' получаются как направляющие косинусы вектора, нормального одновременно к осям х' и г'. Так как векторы единичной длины в каждом из этих направлений фактически определены соотношениями (11.23) и (11.25), имеем (л.„) ( в б ( Л 'вйыа Ла' Лк'р[ л„ без деления на длину, которая в данном случае равна единице.
Все векторные операции можно записать в виде специальной подпрограммы, автоматически осуществляющей векторное умножение, нормировку (т, е. деление на длину) и т. д. [19), по- Двйсшбив даблвнив бады б боде дасндсмнвгш сил Глава Ы ок = (11.27) (11.28) ш Гб 3 (11.30» гб этому нет необходимости подробно останавливаться на выполнении описанных выше операций. Ранее предполагалось, что огь х' направлена вдоль одной нз сторон элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
