Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Это необходимо делать для исклуочения влияния замены оболочки набором усеченных конусов. На фиг. 12.3 н 12А показано не. сколько типичных примеров, взятых нз работы Графтона и Строума [1). 12А. Криволинейные элементы и нх функции формы В гл. 8 уже рассматривались искривленные (криволинейные) элементы, причем в выражение для деформации входили только первые производные.
В данном случае это выражение содержит вторые производные [см. (12.1)], и поэтому некоторые теоремы гл. 8 здесь неприменимы. Ранее упоминалось, что для исследования осесимметричиых оболочек предложено множество криволинейных элементов [7 — 10). Элемент, описанный здесь, получен Айронсом и Делпаком [9); в соответствии с терминологией гл. 8 он относится к элементам субпараметрического типа. Основой для определения криволинейного элемента служит общая касательная между смежными элементами (или заданное направление касательной). Это необходимо, чтобы избежать «изломов» прн описании практически гладкой оболочки. узг м 'даб ш ДОЭ ~ Кдя ' (ту й О Й-(гу а тго 7 Еут,э ; 774, и УОД в й Оу 'ш бд шш О шн шш-бч ('лава (2 266 Оггсимметрлщнмг оболочка раслаллжсние ул(ма (4 с ннвмрбаламба' балам (,0 балам Рб антербалам (О б = б, 74 т-.
0,00 — ! 2.(7 в ц й(( = — (Ыз — 3:а+ 2), 4 р((' = — „(1 — йс)2(1+ Ы, ! (12.17) й . 00( "004 э тгу й 0 -(27 Увал мсжуу нврмалма з лабсрхнална и г,(7 асею 072ан(енин р, фмб Фнг. 124, Расчет полусферической оболочки методом копечпыа элементов (Графтон н Строги, 1А(АА, !265). Сначала рассмотрим прямолинейный исходный элемент, для которого неизвестная функция ф выражается через свои узлавые значения и значения углов наклона в точках 1, 2 (фнг. 12.8). Координата 5 изменяется от — 1 до +! (как в примере гл. 8). Используя принятые обозначения, можно записать 2 ф =',7 (П (ф,+ 70",Я)~)~=(Н) (ф)'.
(12.18) (=( Здесь йа и й(н — скалнрпые функции формы, которые при зада. нии в виде полинома имеют третий порядок (как в соотношении (12.9) дяя га). Фкг. !2.5. Крнволвнейный пзопараметрнческнй элемент оболочки для осеснм- метрнчнык задач я — «разно мн:и; а — «ряяезяяеаяне я ря ря и. Эти функции записываются в виде где $э= Я. Их можно одновременно использовать н для описания закона изменения глобальных перемещений й и Ж!) и для задания координат г и г оболочки (срединной поверхности). ') Отличие от предыдущего случая состовт в том, что теперь обе компоненты оеремещепнй в элементе нзменяштсв по крайней мере по кубнче.
скому закону, тогда ка» ранее допускалсн лннейнмй закон нзмененпя тан. генппального перемешеннн. Однако прн условии, что толщина обола2кн изменяется непрерывна, эта дополонтельнан степень свободы ве приводит к чрез'- мерным требованиям непрерывности. Огееаииегричкие оболочки Глава гз 219 (12.22) (12.!8) (18ф)с=( — „,), (12. 19) 181=(~~И~') (! 2.24) ( —::), =%)ЛФ),.
(! 2.20) бй ба — и— бг бе бг Лг б1 Ь1 2 (12,21) (12.25) ~1 -~/Й)'+%)' Если толщина элемента переменная, то и ее закон изменения можно аппроксимировать этими же функциями. Элемент такого типа будет изопараметрнческим (см. гл. 8). Таким образом, геометрию оболочки можно характеризовать координатами =Е("+'"(~1)) 1 г = ~~' (гУггг + М) ( — „) ), 1 При заданных узловых значениях эти соотношения устанавли.
вают взаимно однозначное соответствие между 2 и положением точки на поверхности криволинейного элемента (фиг. !2.5,б). Координаты г, и з, известны, кроме иих, на концах известны только углы наклона Значения производных, входящих в (12.18), зависят от масштаба вдоль касательной з.
адано только соотношение Производные (Ыг/е(5)г или (е(гЩ) могут в принципе иметь произвольную величину. Здесь, однако, необходимо учитывать практические соображения, так как при некоторых значениях производных можно получить негладкую зависимость между з и е. При неудачном выборе кривая может быть негладкой и образовывать петлю между узлами.
Для того чтобы получить достаточно гладкие поверхности, можно положить замечая, что длина всего интервала В между узлами равна 2. 12.5. Выражения для деформаций н свойства криволинейных элементов До сих пор речь шла о представлении глобальных перемещений, хотя деформации в соответствии с (12,!) сшределяются через производные от локальных перемещений по касательной з.
Поэтому, для того чтобы получить выражения для деформаций, требуется произвести некоторые преобразования. Если принять, что изменение глобальных перемещений описывается функцией формы (12.16) й= ~ (гУг~п; -1- дат( — и) ), 1-1 .=Е~ '- "( — ";-,"),) 1=! то с помощью преобразования (12.7) легко найти локальные пе ремещения и, ш в виде (ш1=~ з,п, соз 1(в1=(5)(-~ где лр — угол между касательной к кривой и осью г (фиг. 12.5), Этот угол надо выразить через координату В Очевидно, что и, следовательно, использование формул (12.18)' позволит сделать это. Посмотрим далее, можно ли наложить условия непрерывно. сти в узлах на параметры, входящие в (12.22).
Ясно, что глобальные перемещения должны быть непрерывны. Однако в предыдущих случаях требовалась непрерывность только угла поворота касательной. Здесь же требуется непрерывность производных от перемещений по з. Следовательно, величины в узлах смежных элементов должны иметь одинаковые значения. Поскольку ож би /бв бя бж 1 бе бв л1г бе ',гв б1/ б1 при подстановке этих новых переменных в выражения (12.22) и (12.23) не возникает никаких трудностей. В результате они прн- г./г Оеееимзетркенае оболочки пинают вид (12.28) [ = [й/(й)[ (б)', д (б ) = Функция формы состоит из подматриц размерности 2 рс 4 и ее можно получить в явном, хотя и довольно сложном виде.
Если рассматриваются оболочки с патрубками или оболочки с резка меняющейся толщиной, то узловые параметры в (12.26) использовать не следует В этом случае их лучше пред. ставить в виде [бе)=[~~ ) н получить все элементы матрицы [В) Наконец, матрица жесткости получается после замены пере менных в соотношении (!2.14) лз е!з = — 1 тгэ л) н интегрирования в пределах от — ! до +1, (12. 28) '] Ззметнн, что здесь з рвеемзтрнвзетея кзк направление касательнаЯ, позтону ЛЧ/нз = О. где бт = е(ш/е/з — угол поворота в узле, и связать между собой только три первых параметра.
Четвертая величина будет свободным параметром, минимизация по которому производится в обычном порядке. Необходимые преобразования осуществлятотся с помощью соотношения (12.23). В выражение для матрицы деформаций [В), как видно из определения (!2.1), входят и первая и вторая производные по з'). Если вспомнить, что производные легко вычислить по правилам, уже использованным цри получении (!2.25), то для произвольной функции Г можно записать лр нр /лз кз л, / кй Как и ранее, функции, входящие в интегралы, не позволяют выполнить интегрирование точно, поэтому обычно используется численное интегрирование. Интегрирование производится толь. ко по одной координате, так что оно не требует больших затрат времени, и для достаточно точного вычисления жесткости можно использовать необходимое количество гауссовых точек интегрирования. Матрицы напряжений н другие матрицы вычисляются ана.
логично. Приведенная здесь в общих чертах изопарамегрическая формулировка несколько отличается от других [1, У, 8, 10). Она обладает тем преимуществом, что позволяет учитывать перемещения элемента как твердого целого и удовлетворяет критерию постоянства первой производной. Доказательство этого проводится так же, как и в равд. 8.5 гл. 8. Другие формулировки допускают деформации при перемещениях элемента как жесткого цечого, что, как показано в работе [13), в некоторых случаях не очень опасно. Однако при некоторых видах несимметричных нагрузок (см. гл. 13) этот недостаток может оказаться серьезным препятствием и привести к совершенно неверным результатам. При применении любых из рассмотренных здесь конечных элементов состояние постоянного искривления не только не может быть достигнуто, но и физически ненозможно.
Однако можно убедиться, что такое состояние достижимо в пределе прн уменьшении размеров элемента. 12.8. Дополнительные неузловые переменные Введение дополнительных неузловых переменных при расчете осесимметричных оболочек особенно важно, так как оно позволяет достаточно точно аппроксимировать реальную форму при использовании элементов больших размеров.
Добавление выражения п р/ оо т=! ! и где а, — множество внутренних параметров элемента, а й//"— множество функций, иметощих в узловых точках нулевые значения и пулевые первые производные, к выражениям для нормальных перемещений в (12.26) позволяет значительно улучшить аппроксимацию перемещений без нарушения сходимости (см.
гл. 2). Для тангенциальных перемещений можно не требовать обращения в нуль первых производных в узлах. 273 Осесиммегричльы оба гочки Глава /2 ЛИТЕ!«АТУРЛ Вебстер [1
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
