Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Вг|дде 5|гисч. Елд. Видепа, 28, 27 — 40 (1968) 25. Ч|ззег $7., ТЬе Р!пйе Е|етеп1 Мейод |п Ое|оггпаИан апд Неа1 СопднсИоп РгоЫетя, Ог. )Ч. О|ыег|аИоп, Т. Н., Оедй 1968. 26. С О. И., Ков1со Е., 3дпдЬегд О. М, О|яоп М. О., Раппа!аИоп о1 а Ием Тг|ап |аг Р!а|е Вепд|пд Е|егпеп|, 7гаы. Сале( Лего- Ра амрег г -5 зе Уль|., 1, 86 — 90 ( 968); см. также Н. И. С. Аего Иер1. ЕИ534, 3968. 27. 1 В. М., СопипепЬ оп Согпр1е$е Ро|упогп|а| ОЬр|асегпеп1 Не№з (ог Н. гопз лйе Е|етеп! Мейод Ьу Поппе Р С., уле Аеголаадса! У, й .
Ае. Б., 72, 28. Ое ЧеиЬе1ге В. Р., дгепйевбса О. С., 51гагп Епегду Ваапдв гп Ргп||е е. вен| Лаз|уз|в Ьу 51аЬ Лпа|адч, У Ягагл Ала|рвш, 2, 265 — 273 (3967). 29. Мог|е> 1.. 5. О., ТЬе Тг!агтди(аг ЕцшПЬгвт Р|етеп1 |п йе Ба|и||оп о| Р|а1е Вепйп РгоЫеть, Аего Цааг1., 19, 149 — 169 (3968). 30 Ргап Т. Н Н, Оег|ча1юп о| Е1етеп1 БП(!лезь Мп1ггсев Ьу Аззивед 51гевз О|з!»$Ьи1!опз, УАУАА, 2, 3332 — 3336 (1964); есть русский тревол: План, Вывод соотношеннй для матрвп жесткости влемента, основанный на вы.
боре закона распределение напряжепнй, Ракетная техника и космоиав. тика, 2, № 7, стр. 219 †2 (1964). 31 Р|ап Т. Н. Н., Топд Р.. Ваь!в а1 НпИе Е|етен| Мейодв (ог 5о1Ы СопИ- пиа, Ул1. У. Лиги. Мей. Елд., 1, 3 — 28 (3969). 32. Л|иоод И. У., Сотлев О М. М., А Ро|удопа| Нпг|е Е1егпеп| 1ог Р!а1е ВепМпд РгоЫепш |Ув|пд 1Ье Лзьшпед 51гевв АрргоасЬ, Ул|. У, Фигп. Мвй Елд., ЗЗ. Бечегн И.
Т., Тау|ог Р. И, ТЬе Р|пИе Е|епгеп1 Мейад |ог Нехиге о| ЯаЬв ъйеге Ягевз Ов|ЫЬпИапв аге Азвигпе»3, Ргос. 1ы1. С|ч. Епд» 34, 153 — 370 34 Негггпапн $.. И., Ршде яешеп| Вепд3пд Лпа|узЬ о| Р|а1еа, Ргос. Ат. Бос. Елд., 93, ЕМ 5 (1967). 35 Ое ЙеиЬейе В. Р., Лп ЕцшПЬг|шп Моде| |ог Р|а|е Ванд|од, У«1 У. Бо|П( Ягисг, 4, Му — 468 (3968). М Мог|еу 1. 5. О..
Он ||ге Сопшап| Мовен! Р|а|е Вепд|пд Е|епгеп$, УошлаУ Ягаиг Ала1уь|з (будет опублнковано). ГЛАВА П ОБОЛОЧКИ КАК СОВОКУПНОСТЬ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ Оболонки как совокднмость славки» элементов вн лая арка под действием равномерно распределенной нагрузки гор з а до лучше аппроксимнруется многоугольной аркой, нагруженной статически эквивалентными сосредоточенными си. н, там как показано на фиг, 11.1, б, чем такой же аркой под действием равномерно распределенной нагрузки (фиг. 11.1,в). Это можно проверить, построив соответствующие многоугольники сил.
11.1. Введение Оболочка, по существу, представляет собой конструкцшо, которая может быть получена нз тонкой пластины путем пред. варнтельного деформирования срединаой плоскости в поверх. ность одинарной ялн двойной кривизны. Хотя предположения о распределении деформаций н напряжений в поперечном направлении остаются в силе, оболочка совсем по-другому, нежели пластина, воспринимает внешние нагрузки. Результирующие напряжений на площадках, параллельных срединной позер»но. сти оболочки, теперь имегот компоненты, нормальные к этой поверхности, и уравновешивают основную часть нагрузки. Это обстоятельство объясняет экономичность оболочек как несущих конструкций и их популярность. Вывод основных уравнений, описывающих поведение оболочюг, связан с большимн трудностями и в зависимости от введенных допущений приводит к различным формулировкам.
Классическая теория оболочек подробно изложена во многих учебниках по этому предмету, например в хорошо известной книге Флюгге [!]. Применение метода конечных элементов к решению задач геории оболочек, рассматриваемое в этой главе, устраняет упомянутые выше трудности за счет введения дополнительного допущения. Оно носит скорее физический, чем математический характер. Предполагается„ что поведение непрерывной криволинейной поверхности достаточно точно характеризуется поведением поверхности, составленной нз малых плоских элементов. Из физических соображений следует, что с у.меньшением размеров элементов решение должно сходиться и, каь показывает опыт, такая сходнмость действительно наблюдается.
Особого внимания требует способ задания узловых нагрузок (нлн массовых сил). В приведенных примерах нагрузка и массы в узлах распределялнсь так, чтобы наилучшим образом воспроизвести локальные эффекты. Теперь в связи с заменой криволинейной поверхности набором пластин более правильно представлять распределенную нагрузку в виде статически эквивалентных сосредоточенных узловых сил.
Это, возможно, лучше всего иллюстрируется простой задачей о круглой арке (фиг. 11.1). Круг- Фнг. 1! !. Прехстевсенне нрвволннеаноа ернн наборам прямых. Элементы оболочки находятся в общем случае под действием изгибающих и мембранных сил, действующих в плоскости. пло н . В ск х элементах эти силы вызывают независимые деформации при условии, если они малы; поэтому, что ы вить матрицы жесткости, можно воспользоваться уже изложенным материалом. Для п едставления произвольной оболочки в виде набора плоских элементов можно использовать только треугольные элементы. Несмотря на то что эта идея была предложена Грином н др.
[2) еще в !961 г., успеху мешало отсутствие хорошей матрицы жесткости для плоского треугольного элемента при изгибе [3 — 6). Улучшение элементов, получаемое изложенными п гл. !О способами, позволяет хорошо описывать поведение о олочек, разбитых на плоские элементы. 235 с"лава П н соответствующие силы как где (й() = О„, , (Ю = М, е„, Мо, ((тс) = получаем = (й) мемймннме силн и дародмииии 10 0 ОсО " 10 0 0!О (йсь) = (11.6) если учесть, что (бс) = Ьс й„ о, (бс) = Прежде чем объединить эти матрицы, важно отметить два обстоятельства. Во-первых, перемещения, вызванные мембранными снламн, не влияют на изгибиые деформации н наоборот, Во-вторых, угол поворота О, не входит в число узловых параметров, определяющих деформации.
Хотя аа этой стадии пово- фсгм 11 ивийдимисие сисис и иивидньси дврссунссмои Фиг. 112. Плоской элемент нод действием мембранных н изгибающих снл. ротом вокруг осн х можно пренебречь по причинам, которые станут яснымн позднее, уже сейчас прн составлении ансамбля элементов целесообразно учесть этот поворот н связать его с фиктивным моментом М,. Тот факт, что О, не участвует в процессе минимизации, просто учитывается включением соответствующего количества нулей в матрицу жесткости Записывая теперь узловые перемещения в виде щс в, Ом Оы Оболонка как совокианссгь алоскох влеменгов (ге (сс йгс М„с Мис Мес или (р)' = (й! (б)' (11.5) Нетрудно видеть что матрица жесткости состоит из следующих подматриц.' 0 0$ ' (О о о. :'(й!Д :',о 0 0 0 0 00 0 ОсО Зтн соотносоення справедливы для любого многоугольного эле- мента, и в частности для двух важных случаев, иллюстрирован- ных на фиг.
1!.2, ! 1.3. Переход к глобальным координатам н составление ансамбли элементов Полученная в предыдущем разделе матрица жесткости записана в локальной системе координат, так как компоненты изгибающих н мембранных сил выражены в локальных координатах. Преобразование к глобальным координатам (которые будем обозначать через х, у, х в отличие от локальных координат х', Глава Ы 0 0 ... 0 Е 0 0 0 [Т] = (1!.13) р' =[л] р (1 !.15) (1 !.8) (!1.9) дх'в лх' ) л'л !с'и кл'х (11.! 0) у', и') необходимо для составления ансамбля элементов и записи соответствующих уравнений равновесия.
Кроме того, координаты узлов удобнее задавать в глобальной системе, а затем переходить к локальным координатам, т. е. осуществлять обратное преобразование. К снастью, все преобразования достаточно просты. На фиг. 11.3 показаны две системы координат. Узловые силы н перемещения преобразуются из глобальной в локальную си- Фиг. !13. Лаквиьиыв и глобвльиыв коарииивты, стему координат с помощью матрицы [Ц: (Ь]) = [Ц (бс], (и"]) =- [Ц (и" с), где а [Л] представляет собой матрнпу размерности 3 Х 3 косинусов углов между осями этих систем, т.
е, где !и; — косинус угла между осями х' и х и т. д. Оболокки как савакнвпосгь плоских влемекеов Следовательно, для полной системы узловых сил элемента можно записать (бс]в=[Т](б)е, (Рс)е=[Т](Р]. (11.11) По правилам ортогональных преобразований (см. равд.!.4) матрица жесткости элемента в глобальных координатах принимает вид (й] = [Т]г [ес'] [Т!. (! 1.12) В обоих последних соотношениях и является диагональной матрицей, составленной из нескольких матриц [Ц, количество которых равно числу узлов элемента.
Несложло показать, что типичная подматрица жесткости записывается как [йы! = [(]и [й:.1 [у-] (11.14) где подматрица [йел] в локальных координатах определяется соотношением (! !.6). Определение локальных координат осуществляется аналогичным образом. Если начала локальной и глобальной систем координат совпадают,то Так как при получении матрицы жесткости положение начала координат несущественно, то такого преобразования всегда достаточно для определения локальных координат в плоскости элемента (или в плоскости, параллельной ему).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
