Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Таким образом, эта функция является несогласованной. Постоянные аг — а,э определяются из системы двенадцати уравнений, связывающих значения ш и углов наклона в узло. вых точках, которые получаются в результате подстановки коор. динат этих точек. Например, ыг=аг+и,ха+паут+ и т. д., ( ды) — а, + ит.д., аз + ит.д., Эти двенадцать уравнений можно записать в матричной форме: (6) ' = [С] (а), (10.14) где [С] — матрица размерности 12уС 12. зависящая от узловых координат, а (а) — вектор, содержащий !2 неизвестных постоянных. Обращая систему (10.14), получаем (а) =[С] '(6)', (!О.!5) 7 Э.м ага )94 Глава 10 узаиу пластин аЬ (]а + !) (са !)(Чз + !) ~Чз(са+ 1) (пл+ 1) (Ч (Н (! 0,17) где Ч=— У У Ь за=я'йи Чз=Ч'Чз [СГ ~] т $ [ [р]т у дх з(у (10.23) — бху 0 Π— бху бх' буа (10.
19) Это обращение можно выполнить с помощью ЭВМ илн алгебраически, если желательно получить матрицу жесткости илн другие матрицы в явном анде. Так было сделано Зенкевичем н Ментом [12). Выражение для перемещений внутри элемента теперь можно записать в стандартной форме: (1) =щ =[у](б)'=[р][СГ'(б)', (!026) где ]р]=(1, х, у, х', ху, у', х', хту, хут, уз, хзу, хуз), В явном виде это выражение получено Мелошем [!7]. Приведенные выше соотношения просто записать в нормализованных координатах, введенных в гл. 7.
В результате для любой узловой точки имеем [Ж!] = 2!(]а + 1) (Ча + 1) (2+ $ю + Ча - $' — Ч) Выражение для матрицы [В] получается непосредственно из соотношения (10ЛЗ) илн (!0.17) с использованием (106). По- скольку — 2па — ба,х — 2и,у — банду (е) = — 2аз — 2и,х — бп,.ау — баиху, (10 18) 2из + 4азх + 4иду + би ха+ба~туз.] можно записать (а) = Щ(а) =[(г] [С] (б]' и, следовательно, [В]=[()][С], где ГООΠ— 20 0 — бх — 2у 0 0 [Я]=~000 00 —,2 0 0 — 2х — бу 000 02 0 0 4х 4у 0 Интересно отметить, что выбранная функция перемещений допускает существование состояния постоянной деформации (кривизны) ') и тем самым удовлетворяет критерию сходимостн, сформулированному в гл. 2, 10.4.2. Матрицы жесткости и нагрузок Процесс построения этих матриц стандартен, поэтому из.
лишне излагать его подробно. Из соотношения (2.10) можно получить матрицу жесткости, связываюгцую узловые силы (поперечная сила н два момента в каждом узле) с соответствующими узловыми перемещениями: [й] = ~ ~ [В]у [О] [В]Мха, (10.20) Подставляя сюда (10.18) и считая толщину ! постоянной внутри элемента, получаем ]й] = []СГ']' Я [())' ](7][Р] (х (у) [С] '. (10.2!) Члены, не содержащие х и у, вынесены из-под интеграла. Если толщина ( постоянна, то интеграл легко вычисляется точно после выполнения умножения под знаком интеграла. Для ортотропного материала нанос выражение для матрицы жесткости [й] приведено в табл. 10.1.
Соответствующая матрица напряжений для внутренних моментов приведена в табл. 10,2. Внешние силы, обусловленные распределенной нагрузкой, можно распределить по узлам в аависнмостн от расположения участков приложения нагрузки. Однако более логично и точно для распределения по узлам внешних сил использовать снова соотношение (2.9) . Если в направлении са действует распределенная нагрузка д на единицу площади элемента, то из соотношения (2.11) следует, что вклад этих сил в каждый из узлов выражается в виде (Р)' — ] ] [)У]~ у Их Ну, ' (10.22) илн вследствие (10.16) ') Если цастааааые а, — аа раацы нулю, та деформации цсатааааы.
С аамощью фармуды (!о.!3) мажаа азата соответствующие (б)ц тац аак между (б)' а (и) существует алцазазчаае соответствие, та такое ссстаааае является едаастаеааа аазмажаым. Пра зтам предаалатаатса, чта матраца (ь]-' сушестзуат. Обрзщазаа алтебрзачасацм путем дакззыааат, чта матрица (С) аакогда ае выдает свцгуаариаа. 101 Илеаб пластин Прадояманаа табл. 10.1 Табл»на 10.1 Матраца мссткоста дда прямоугодьеого элемента !фег. 16.2, матераал ореойрооема) Π— 35 0 Π— 15 ЗО О О 15 О О 15 »Б 0 30 О О 0 0 0 О О 0 — ЗО 0 Π— 15 0 О 0 Симметречео Матрица месткосте 131= — 151 10 1Д1+ 1»а 1кй1+ П 1кй1+ 0 1Л 11151, ! где О 15 30 0 35 0 — 15 ! Р31 ~631 ! = 131 ! 1 » р11 61 рй ~ — 15,1 1Р! 1 15! 1 0 -15 0 Симметрично р-й Ьй ай 0 0 8 0 8 6 6 '2 0 0 2 30 30 0 15 Саммстрачно 84 — 6 8 -6 0 — 84 6 — 6 — 2 8 0 К р-й 8 6 84 0 6 — 8 — б 60 О 0 — 30 0 20 ЗО 0 — 15 60 О 0 0 0 0 — 15 0 30 — 30, 0 20 — 60 0 30 — 6 — б — 3 0 0 -2 8 0 Б — 30 О 35 1 О О ! 0 О 0 0 0 0 о о-1 где 1 ~ О 2Ь 0 О 1 0 0 2а 60 ай рй Ьй 20 Π— 60 Интеграл (10.23) тоже легко вычисляетсн.
Заметны, что в общем случае все три компоненты внешней силы в каждом узле отличны от нуля. При простом распределении внешней нагрузки между узлами этого бы не было. Вектор узловых сил при действии равномерно распределенной нагрузки приведен в табл. 10.3. Если в пластине существуют начальные деформации, то вектор узловых сил, обусловленных начальными деформациями и начальнымн напряжениями, находится аналогично. В этой связи необходимо заметить, что начальные деформации, например вызванные нагревом, редко влияют на кривизну. Обычно Семметрачно — ЗО к 0 ЗО 60 — 30 20 О О 0 — 60 30 0 60 — ЗО 10 О 30 20 0 0 О 0 0 — 15 0 — ЗΠ— 15 О 0 20 0 15 0 0 0 30 0 — 30 0 0 0 10 Π— 35 0 О О 5 0 О 30 О 10 0 0 0 — 15 0 10 0 0 0 15 О 5 О О О 60 0 О 30 О 20 — 30 0 — 15 О О 0 35 0 Б — 60 0 — 30 0 О О 80 0' 30 60 30 20 0 0 0 — ЗΠ— 1б 0 35 б О 0 0 О 30 35 О 15 10 О 0 0 О 30 — 15 15 — ЗО 0 — 1б — 30 15 О 30 0 0 84 — 6 б — 84 — б — 6 — 84 6 6 84 6 — 6 8 0 8 6 — 6 — 2 ΠΠ— 8 б — б 8 0 Π— 2 — б 6 2 0 О 2 34 6 Б 84 6 — 6 — 84 б 0 15 О О О 30 0 Π— 15 О 0 0 — !б 15 — 15 Π— 30 0 О О О О О 0 15 0 Изгиб пластин 199 Таблица Ю.З о ь 3 н а 3 о о 1 1 4 12 1 а «о а„а Та с»1 н ОО О С« + 1 й о о «й 1 о о о 'е 1 1 Э 6 « о й и 12 1 4 Ь 12 а сз 1 с» 1 ° « о й с» а с» о « Р.
о О м и 12 Ь 12 [р 1 рг=[ра г~ 1Ра,г 1 = 4диа о о о о 1 а оо с« + и с» а Та Зо + с» 1 е« О с» о. с» » «« 12 ! 4 Ь 12 н а а с» ь о н а ь ь о о о а" о 1 а ь «о о аомЗ + й а 3 о о о о о о а с» о. с О:О + 12 с» ! с 1 а $ Я м о о. й а" а 1 а о о 1 а и м О 1 с» о о о о Я 1 а„ ««О.
+ с» ь 1 ,а ау «и О. о о о о Я' $ й «О н о 7 1 [з й и и «и $1 о О О н о мо о о О,С о м и и мо и и Ф 6 й й о, М Матряна сад даи ирамоугоиьного одементи, нзобрамеяного на фнг. 1О.2, арн деастаая рааномерно раснредеиенноа нагрузня д в пластине дополнительно возникают деформации в ее плоскости, и в целом поведение пластины можно изучить, решая на. ряду с задачей изгиба задачу о плоском напряженном состоянии. 10Л. Четырехугольные и параллелограммные элементы Четырехугольный элемент нельзя проста получить из прямоугольника. г«»ошно было бы использовать преобразование координат описанного в гл. 8 типа, ио, к сожалению, в этом случае нарушается критерий постоянства кривизны. По-видимому, такие эдеиенты обладают плохими свойствами.
Используя только функции от $ и гь лишь для параллелограмма можно удовлетворить критерий постоянства кривизны, Такой элемент предложен в работе [12[, а матрицы жесткости построены Дэйвом [14[. Несколько другая система функций формы предложена Аргнрисаи [151. ЯО1 Изгаб л»а«так Г»ада гр [ — — 2а — [ фиг, 10,5 элемент о форме параллелограмма и косоугольные коордвкаты.
Для параллелограмма (фиг. 10.5) локальные координаты можно в явной форме связать с глобальнымн: 2 — усща а (10.24) удод«о а Ь что позволяет получить все характеристики элемента. 10.6. Треугольный элемент с узлами в углах !0.6.!. Функции формы На первый взгляд может показаться, что совершенно так же, как и в предыдущем разделе, в качестве функции формы можно использовать полинам, Поскольку в этом случае задается только девять независимых перемещений, в полиномиальном разложении необходимо оставить девять членов, Однако пол. ный полинам третьей степени содержит десять членов [выражение (10.13)), и вопрос о том, какой именно член следует опу.
стить, приходится решать произвольно. Для сохранения некоторой симметрии полинома можно, например, оставить все десять членов, а чтобы свести количество неизвестных к девяти, приравнять два коэффициента (например, положить жд = ад), Было рассмотрено несколько различных вариантов. Однако при этом появляется другая, более серьезная проблема. При определенной ориентации сторон треугольника матрица, соответствующая матрице [С) системы уравнений (10.14), становится сингулярной. Это, например, происходит, когда две стороны треугольника параллельны осям х и у, Указанные трудности можно обойти, если воспользоваться описанными в гл, 3 Е-координатами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
