Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для треугольников это вполне естественно. Как и раньше, будем использовать члены полиномиального представления. Отметим, что в Е-координатах онн имеют несколько необычный вид. Например, выражение а4Е4 + ад!д + адЕЬ представляет собой полный линейный полинам, а выражение 4 4 2+4'42 д д+»» 4+ 4 4+ ь »+424 содержит все шесть членов полного квадратичного полинома (включая линейные члены). Кубичный полинам содержит десять членов, представляющих собой различные произведения третьей степени по коордиватам Еь !и Е[, Е[Ег, Е»Е», Е»Е4, Е4Е», Е»Ез, Ез! 4, Е4Е»Е». Для элемента с девятью степенямн свободы можно использовать любую комбинацию из перечисленных членов, содержащую только девять независимых функций и удовлетворяющую критерию постоянства кривизны.
Йа фиг. 10.6 показаны неко. торые важные функции этого класса. Первая из них (фиг. 10.6,а) является одной из трех функцвй, опмсывающих перемещение пластины как жесткого тела. Функции типа Е[Е» (в кубичном разложении их шесть) сходны (но не совпадают) с функцией, изображенной на фиг. 10.6, б. Наконец, показанная иа фвг. 10.6, э функция Е4Е»ЕЬ является чисто внутренней формой: во всех трех узлах значения функции н углов наклона равняются нулю.
Такая функция оказывается полезной для «неузловых» параметров, но не может использоваться самостоятельно, так как она не выражается через зна. чения переменных в узлах. Ее можно с любым множителем добавить к другой основной функции формы. Таким образом, особый интерес представляют функции второго рода. Они соответствуют нулевым значениям а4 во всех угловых точках и, кроме того, нулевому значению угла наклона вдоль одной из сторон. С помощью линейной комбинации двух из них Хнапример, Е»Е» и Е»Е4) можно приписать любые значения углам наклона в направлениях х и у в одной узловой точке при нулевых значениях остальных углов наклона. Однако для большей общности будем рассматривать формы типа ! 2»Е»+ сЕ4Е»Е» 202 Глава тд Ивлмд властия (10.26) ь,ь,ьт [АтГ где с~ = хл хл н т.
д. Ь3 Ул Уз 1 з Флт. Ю.а. т!елатарые асзапзые палцлампвльлые атпаалтальна Е-маарлзпат функции. (так как последнее слагаемое не изменяет углов наклона в уз. лах). Поскольку кривизна описывается только этими формами, необходимо, чтобы с помощью линейной комбинации шести таких функций можно было получить любые произвольные значения кривизны во всех точках элемента при нулевых значениях тв в узлах. Алгебраически это означает, что выражение АХИ+ АлЕтЕъ+ ... + Ав).з при любых значениях коэффициентов А должно иметь вид В~ (ЕтЕ~ + сЫ тЕз) + Вт (И т + с ЕЛ гЕз) + при соответствующих значениях шести постоянных В.
С по. мощью некоторых алгебраических преобразований можно показать, что это воаможно только при с= '/т. Следовательно, прн построении функций формы функция, изображенная на фиг. 10.6, б, является одной из основных. Таким образом, перемещения пластины можно представить в виде = 6,Е, + [)тЕ, + 6,Е, + 6, [ ЕтЕ, + 2 Е,Е,Е,)+ и после подстановки узловых значений юь 0„= — (~~) и 0„=[ды) определить постоянные, а следовательно, и функции формы. Окончательно функцию формы для первого узла с помощью определений, введенных в гл.
7, можно записать в виде Е~ + Е[Ет+ Ы-з — Ы;т — Е~Ез Ьт[Е[Ет+ — ИЕтЕзь~ — Ьт[ЕзЕ[+ 2 Е~ЕзЕз ~ (10.26) сз (Е[Ет + — Ы тЕз ь — ет (ЕлЕ[+ 2 1 ~ЕзЕз) Остальные две функции для узлов 2 и 3 получаются циклической перестановкой индексов ! — 2 — 3. Элемент, характеризуемый такими функпиямн, впервые был рассмотрен в работе [4). 10.6.2. Матрицы жесткости и нагрузки Для определения деформаций [равенство (10.2)) и матрицы [В,[ из (!0.6) необходимо определить вторую производную от [М) При этом появляется необходимость дифференцирования по декартовым координатам. Это нетрудно осуществить, имея в виду, что д дьь д дьт д дьь д — — — + — — + — — =* да дл дь~ дк дст дл дь, та (Ь~ дь + Ь, дь + Ь, дт ) и т.
д. (10.27) 1 В Е-координатах все выражения остаются полиномами, и по. этому их легко проинтегрировать с помощью общей формулы (7,34) гл. 7. Окончательные выражения для матриц жесткости и нагрузки довольно громоздкие; онн приведены в работе [!9]. 2238лб залегал Г лзл го хч2Л '1 "4 Л игла лллрлал гилял Однако, как подчеркивалось в гл.
8, проще предусмотреть в программе численное интегрирование. Так как в матрицу жесткости входят только квадратичные члены, интегрирование по треугольнику будет точным при использовании всего лишь трех точек (см. табт. 8.3, гл. 8) и время численного интегрирования почти яе отличается от времени расчета выражений при точном интегрировании. В матрицу напряжений входят моменты, которые изменяются линейно. Однако, так как не все кубичные члены входят в фуакцию формы, они аппрокснмируются плохо. Обычно моменты вычисляются только в центрах тяжести и результаты сглаживаются усреднением узловых значений. 18.7.
Сходимость при использовании несогласованных элементов При использовании двух типов элементов, описанных в пре. дыдущем разделе, нарушаются условия непрерывности угла на. клопа н, следовательно, удовлетворяется только приближенно принцип минимума полной потенциальной энергии. Однако в следующем разделе будут приведены некоторые результаты, демонстрирующие практическую точность результатов, полученных при использовании этих элементов.
Может возникнуть вопрос, всегда ли при уменьшении размеров элемента решение будет сходиться к точному? Хотя этот вопрос чисто теоретический, он нуждается в ответе. Для прямоугольных элементов Вальц и др. [16], рассчитывая методом конечных элементов однородную пластину и сравнивая алгоритм с приближенным решением дифференциальных уравнений, установили, что сходимость гарантирована всегда. Однако распространять эти выводы на другие случаи ает никаких оснований. Айронс [4] также показал, что использование простого треугольного элемента позволяет получить решение, сходящееся к точному, если сетка элементов образована тремя системами эквидистантных параллельных линий.
Использованный критерий проверки весьма прост, Если при помощи большого числа элементов иожно точно воспроизвести любые состоипия постоянной кривизны, то при предельном разбиении пластина ведет себя в соответствии с физическими зако. нами для бесконечно малого элемента. В противном случае сходимости не будет. Применение этого критерия показало, что если для получения треугольников используются две диагонали параллелограмма [фиг.
10.7 (4 л',4В)], то ошибка в перемещениях составляет около 1,5зи. Таким образом, несогласованный треугольник позволяет получить решение, сходящееся не к точному, з к неко. торому другому, отличающемуся от него в пределах укаэанной ошибки. Аналогичный критерий был применен к несогласованному прямоугольноиу элементу, что позволило впервые доказать сходимость для такого элемента [4].
В большинстве практических инженерных расчетов точность, достигаемая при использовании несогласованного треугольного элемента, окаэываетси вполне приемлемой. Чаще всего такие Фяг. 10.2. Клздратзая лластяза. Разбяеяие иа треугольные элементы. тре>тальники дают лучшие результаты, чем эквивалентные согласованные элементы [4). Это объясняется, по-видимому, тем, что решение в этом случае не обязательно удовлетворяет полученным в гл. 2 энергетическим ограниченним и большее число степеней свободы позволяет найти наилучшую форму. При построении несогласованных элементов требовались непрерывность прогиба ш во всех точках на границе между элементами и совпадение углов наклона в общих узлах.
Это всегда приводило по крайней мере к кубическому закону изменения ш. Если несколько ослабить какое-либо из этих требований, то появляются интересные возможности. Например, можно пока- вать, что для треугольника с шестью узлами, в качестве шести степеней свободы которого приняты значении ш в угловых узлах и значения нормальной производной дшгдп в дополнительных узлах, определяется полный квадратичный полипом.
В результате получается простейший иозможпый элемеит для Глппп 10 Нагиб пластин 207 с защемленными краями, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки. Результаты соответствуют разбиениям всего лишь на 2 Х 2, 4 Х 4 и 6 Х 6 элементов, но точность и сходнмость убедительны. При любом количестве элементов линейное распределение моментов, как и ранее, близко к точному. Еще более удивительные сходимость и точность демонстрирутотся в табл.10.4, В этой таблице сравниваются перемещения центра пластины при действии сосредоточенной и распределенной нагрузок для различных условий закреплений сторон. При разбиении 8 Х 8 элементов максимальная ошибка составляет Зо(з. Для.всех случаев разбиения решение сходится.
Тлбшвл 104 Перемещения центра квадратноя пластины, подсчитанные лря рвзлнсном числе разбавила (првмоугольнме элементы) Зазс и сипая пластина Ссобоз о спертая плас и а Общее коллис. шш уздоз р см рао распрсдк зз нагрузке о рляссмсрпо рзсор днзя па Оузка о Рззбясанз сосрсдшо. шип нс ртэна с срсдотс- ыппз агру щл р 0,0059! 9 0,008134 0,005803 0,005710 0,005672 0,00560 0,00! 480 0,001403 0,001304 0,061283 0,001275 0,00126 0,013784 0.012327 0,011829 0,011715 0,011671 0,01160 9 25 ш 189 289 ольз нмакс П ы"б "'м «с П для разя мерло рсспрсдсл«пн а пагруэк Е; Консольная пластина. На фиг.
!0,9 показаны перемещения в такой же пластине, но закрепленной консольно. Сравнение с другими численными решениями и экспериментальными данными снова демонстрирует высокую точность метода. Опертаа по углам пластина [12]. Квадратная пластина, опер. тая по углам, исследовалась различнымн экспериментальными в приближенными аналитическими методами.
В табл. !0.5 результаты решения мегодоы конечных элементов сравниваются с некоторыми другими приближенными решениями. Даже в том зада ч об иэгибг с постоянными моментами и кривизной, экви. валентный треугольнику с постоянной деформацией. Т акой элемент недавно был построен Марли [291 Оп показал, что, несмотря на достаточно очевидное нарушение непрерывности, полученное при использовании этого элемента, решение сходится и сопоставимо по точности с решением, полученным при использовании рассмотренных здесь более сложных треугольников. В качестве упражнения читатель может получить матрицу жесткости для этого элемента. !0.8. Примеры 10,В,1, Прямоугольногг элементы Для иллюстрации точности и ожидаемой скорости сходимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
