Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Кроме того, условия непрерывности перемещений и производных в центральной точке Р дают еще шесть дополнительных уравнений, а условия непрерывности производных в середине внутренних сторон — еще три уравнения. В результате получаем тридцать уравнений для определения тридцати неизвестных, что достаточно для определения функции формы и, следовательно, построения элемента с двенадцатью степенями свободы, аналогичного описанному ранее. Наложение ограничений на нормальные производные в середине внешних сторон позволит сократить число степеней свободы до девяти. Эти же элементы можно получить, если задать в углах два значения вторых производных. Введенные ранее функции формы семейства в фактически имеют различные производные в углах по разным направлениям.
В работе [4] треугольники Клуха и Точера построены с помощью другой системы функций е. Оба рассмотренных типа треугольников дают почти одинаковые числовые результаты, поэтому предпочтение нужно отда. вать элементам, приводящим к более простым вычислениям. При использовании численного интегрирования (что настоятельно рекомендуется для таких элементов) выгоднее применять непрерывные по всему треугольнику функции формы, определяемые соотношениями (10.28) и (10.29).
Гдово 10 10.11. Треугольный элемент с восемнадцатью степенями свободы и согласованными фуикциямн формы Нз фиг. 10.!8,в изображен элемент, представляющий собой несколько усовершенствованный вариант элемента, показанного на фиг. 1018,а. За счет того, что, кроме нормальной производной дш/дл, в середине сторон элемента рассматриваются еще значения ш и смешанной производной дтш/дздп, число степеней свободы увеличивается с двенадцати до восемнадцати. С точки зрения вычислений этот элемент более выгоден, так как теперь число степеней свободы в каждом узле одинаково.
Требование непрерывности смешанных производных з середине сторон не является дополнительным ограничением, так как оно с физической точки зрения вполне естественно. Способ построения этого элемента описан Айронсом [7]. Здесь достаточно сказать, что, кроме рассмотренных видов функций, используются еще члены четвертого порядка показанного на фиг.
10.6,е типа и функции, характеризующие скручнванне (фиг. ! 0.17, б). Легко убедиться, что функция формы дли такого элемента, кроме сингулярной функции, содержит зоб пятнадцать членов полннома четвертой степени. Изгиб властии пеней свободы. Два следующих. элемента имеют соответственно 3 н 7 внутренних степеней свободы.
Условия непрерывности нормальной производной в последнем нз этих элементов не затрудняют составления ансамбля, так как внутренние степени свободы всегда исключаются. В работе Клуха н Фелиппы [21] показано, что при использовании таких элементов точность значительно увеличивается. Возможный прямой способ построения четырехугольного элемента предложен Сандером [5] и Вебеке [6, 22]. Он состоит 10.12. Согласованные четырехугольные алемеиты Любой из рассмотренных треугольников можно использовать для построения согласованных четырехугольных элементов с внутренними степенямн свободы или без ннх.
Три таких четы. рехугольника показаны из фиг. !0.19, причем ни в одном из них фаг. 10,!Э. Некоторые составные четырехугольные вдеыеапе. н-ннугрсннвх стсдсвсб свободы вст! б — ь в утр нннс стенснв свободыр е-у внутрен ннх стснсв Д свободы. иа внешних сторонах нет дополнительных узлов. Таким путем удается избежать уже упоминавшихся трудностей, которые возникают при составлении ансамбля. Первый из элементов ие имеет внутренних степеней свободы, и поэтому ан, по-видимому, не обладает никакими преимуществами по сравнению с треугольниками с таким же числом сте- фнг 1020 Согласованные фуннпнн, ореддоженные пелене. в следующем. В четырехугольном элементе (фиг.
1020) перемещение представляется в виде суммы трех функций а+ ь ! с где первое слагаемое ш" представляет собой полный полипом третьего порядка с десятью постоянными: = оь + оех + ° . ° + ощут. (10.35) Вторая функция шь задается кусочно. В нижнем треугольнике (фнг. 10.20, б) она считается равной нулю, з в верхнем имеет' зид кубичного выражения с тремя постоянными, что па. зволяет без нарушения непрерывности угла наклона осуществить переход к нижнему треугольнику. Следовательно, в локальных координатах х', у' для треугольника [йш имеем ь „т [ хг [ ду гт (10.36) Аналогично и третья функция (фиг. !0.20,а) ш'= 0 в нижнем треугольнике, а в треугольнике !ш[ (10,37) 220 Изгиб лласгии Гауза 10 222 Таким образом, три обычные узловые переменные в углах четырехугольника и нормальные производные в узлах в середине сторон представляют собой шестнадцать внешних степеней свободы, задание которых позволяет определить шестнадцать постоянных а1-уэ.
В результате обеспечивается согласованность, ио в углах внове эазпыкпет иеадиазна )ность втоаыч паоизвочиых. При желании можно наложить связи на значения переменных в узлах в середине сторон и получить элемент с двенадцатью степенями свободы. Как показал Вебеке [22], функцию можно представить в явном виде и, такам образом, построить элемент. Если один из углов четырехугольника входящий, то элементы такого типа построить нельзя. Это не очень серьезное ограничение, но его приходится учитывать, когда элементы выра. ждаются в близкую к треугольнику форму.
10ЛЗ. Несколько примеров решений с согласованнымн элементами 0Ы урчлрз Юб 0'Убз зиреглиз 0,0 Мб 0,0 Дб ) г 4 0 П и Гбпбзбпзз зпиуплие бпигзылгнлз Фиг. 10.21. Сравнение рэзличпыл ремсилй мвтпдэм кспечныд зпсмеэтээ задачи и кэвдратзпй плзстипе, з пвэтре кптррай прплсжэпп азгруэкз Р (з — число элементов нп пплпзвпу старины а и 0 ыЩРав) — — — иесеслгсс еивыз грдысусслье «, ~Э селсией свюсд Л вЂ” в сс . ьссвеилый среу ель.
пик, э степеней свобсды, — — — сгл ве вый ест релнссл ипк, ьз е испей свсб ды )ээбекеь .).+ +сеул севеивсй треугсльивв, э з и й свебсды; ° . сс ллсевеии й четы. рвлуыыьисл )Клул), )З ссезеи й евсбсды )в у ввуервиввк), Сходнмость и точность различных элементов, описанных здесь, многократно обсуждались в литературе. В этом плане особенно полезны работы [3, 4, 2!].
На фиг. 10.21 сходимость результатов при использовании двух простых, на несогласованных элементов, расссмотренных в )4,0 этой главе, сравнивается со сходимостью при использовании трех различных согласованных элементов. Здесь следует сделать несколько замечании. Во-первых, простейший согласованный треугольник при грубом разбиении приводит к давольно плохой аппроксимации и всегда худшей, чем эквивалентный несогласованный.
Во-вторых, тогда как решения, полученные при использовании согласованных элементов, всегда сходятсякточному снизу, так как в соответствии с теоремами гл. 2 они позволяют оце. нить нижнюю границу, решеивя, полученные при мспользовании несогласованных элементов и являющиеся обычно сходящимися сверху, могут давать ошибку любого знака.
Наконец, следует отметить, что к наилучшим результатам приводят четырехугольник Вебеке (фиг. 10.20) и четырехугольник Клуха (фиг. 10.19,0). СОГЛЛСОВЛННЛЯ ФУНКЦИЯ ФОРМЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 10.14. Функции формы Эрмита длн прямоугольника Для прямоугольного элемента, изображенного на фиг. 10.2, в качестве узлового параметра всегда можно ввести производную дэш)гйхду, так как зто не приводит к чрезмерным требованиям непрерывности. Легко показать, что для таких элементов нетрудно построить поливомиальные функции формы, обеспечивающие согласованность. Степенное представление для еь содержащее шестнадцать постоянных (в соответствии с количеством узловых параметров), можно, например, записать, сохраняя члены не выше третьего порядка по каждой координате.
Естественно, что существует много способов записи таких выражений, но некоторые из них могут приводить к необратимыи матрицам [С]. Один из таких способов состоит в использовании палиномов Эрмита, позволяющих непосредственно записать соответствующую функцию. Полинам Эриита Н" г(х) (10.38) есть полинам порядка 2а+1, удовлетворяющий условиям бэИ блэ =1, й=т для ш=О, 1, ..., и, при х х, бэИ вЂ” =О, йчьш, при х=х). блэ 224 Глава 10 Изгиб пластин и1н) г.у 0.4 -д, соответствуют функцияи + а,укв +а уз„ в, = а, + а,,х, + д д дгв Ю, ду ' дк ' длду %),— + 2а,+ ...
+2аиу', и т, д. З згк, вз Множество цолиноиов Эрмита первого порядка, таким образом, представляет собой множество полиномов третьего порядка. Их обычно используют в качестве функций формы для линейного элеиента 11, узловыми переменными на концах которого являются значения функции и углы наклона. На фиг. 10.22 показано такое множество поливанов третьего порядка. калликл г Фнг. 1022. Функции Эрмнтв первого порядка. Легко проверить, что функция формы [Нт[ ).Н)1'(х) Ног'(у), Н)г (х) Нйг'(у) Нот'(х) НЙ (у), Нг" ,(х) Н|г'(у)) (10.39) и принимают единичные значения в узловой точке г и нулевые — в остальных точках. Элемент, оскованный на этих функциях, построен Вагнером и Шмитом [8] и довольно успешно испольаовался ими, Далькеашее усовершенствование этого элемента, состоящее во включении условий непрерывности производных высоких порядков, осуществляется весьма просто и описано в работе [9).
В ненскривлениой форме такие элелтепты, как и все прямоутольные, примениются крайне редко. 10.15. Треугольники с двадцатью одной и восемнадцатью степенями свободы Если потребовать выполнения в узлах условий непрерывности производных выше первого порядна (при этом, как пояснялось в равд. !0.3, накладываются определенные ограничения на неоднородность свойств), то нетрудно' построить элементы, согласованные относительно прогиба и проазводной от него. Еслв в качестве узловых степеней свободы принять величины да дв д'в дзв тив ш, дк ' ду ' дкг ' ду' ' дкду' то треугольныа элемент будет иметь по крайней мере восемнадцать степеней свободы. Полный полинам пятого порядки содержит двадцать один член, Следовательно, если добавить еще трн степени свободы (нормальные производные) в середине сторон, то можно получить достаточное количество уравнений для нахождения функции формы. На любой границе имеем шесть величин, определяющих закон изменения ш (перемещение, производные и кривизну в угловых точках), т.
е. полинам пятой степени. Таким образом, закон изменения ю определяется единственным образом и, следовательно, ф>нкция в непрерывна между элементами. Аналогично производная дв(дп задается пятью величинами н ведет себя, как полинам четвертого порядка. Именно это и требуется для выполнения условий непрерывности деформаций и углов наклона между элементами. Если записать полный полипом пятой степени') в=а,+азк+ ...
+а уз, (10.40) то, следуя тем же рассуждениям, что и при построении прямо- угольного элемента в равд. 10.4, можно записать ') Рекоменлуется записывать полинам в обмппмх декартовых коардннп. тпк, и пе в ь-коордннзтвк. Поскольку полипом полнив, симметрия сакра. веется. 227 Глава !Э (10.4!) дм дм , дш =сазф — + 51пф— да дк дд (! 0.42) и получить окончательное выражение (б)' = [С] (и), где [С) — матрица размерности 21)(21. Единственная трудность, которая может в дальнейшем встретиться, состоит в определении нормачьных производных в узлах посередине сторон. Однако если заметить, что (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
