Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Можно получить формулы для интегрировании с заданной степенью точности выражений вида при известной функции в(5), если опять заменить [Я) полино. мом [7[. 8.9. Прямоугольник илн прямая призма вычисляя сначала значение внутреннего интеграла в предполо- жении, что Ч вЂ” постоянная, т. е. используя формулу ~ [(й, т1)»й=~ ис((йг, ч) =ф(т1). (8.31) Вйчисляя затем внешний интеграл, получаем 1 а и к (= 1ф(ч)» =Хи,ф(ч,)=Хи Хид(йп )- -1 1 1 ! 1 =~ Х и!и![(йс, чг) (8.32) Аналогично для прямой призмы имеем 1= 1 1 1 )(ь Ч 1)»э»Ч»ь= -1 = ~ ~"~ Н,И,И [(Рм, ЧП Г ).
Криволинеднне ивояарамгтрияеские элементы Здесь предполагалось, что число точек интегрирования в каждом направлении одинаково. Интересно отметить, что двойное суммирование легко заменить простым по (и р( п) точкам для прямоугольника (или по и' точкам для иуба), На фиг. 8.10 показано девять точек, необходимых для точного интегрирования полинома пятого порядка по каждой из переменных. 1 Однако к решению этой задачи можно было бы подойти с другой стороны и интегрировать точно полипом пятого порядка по двум переменным. В этом сду- ! чае в каждой точке пришлось бы определить две координаты и значение подынтегральной функции [, входящей в весовую формулу типа != ~ ~ [(3, Ч)»йс(0=~ м(%, Чг) -! 1 1 Оказывается, что при этом для дости- каждой перененной) ження той же точности достаточво было бы использовать только семь точек.
Формула такого типа для трехмерного «кирпичика» получена и с успехом использована Айронсом [9). 8.!О. Треугольник мли тетраэдр Дли треугольника интегралы по й-координатам имеют вид Оиять можно было бы использовать п гауссовых точек и получить сумму типа, рассмотренного в предыдущем разделе. Однако теперь пределы интегрирования сами содержат переменные, поэтому для второго интегрирования удобно использовать выражения вида (8.29) квадратуры Гаусса, где ш — линей. ная функция. Это было сделано Радо [10, !1). В табл. 8.2 при. ведеиы весовые коэффициенты, входящие в выражение Глава 8 164 Уаблнин 8,2 Кннйфнцннягм ддя ннгсгряронаимя во формулам Гаусса и радо н 1 Коан!ссссо носе» наес!резон нн аман напра ае»н л! ш ! 1,и яз щ ! !.а нл ! !,» ЛГ (п ! !.н 1,0 0,5 0,2!! 3248654 07886751346 0,5 0,5 0,2777777778 О:,4444444444 62777777778 0,1127016654 0,5 0,8872983346 л=з 0,0694318442 О, 3300094782 0,6699905218 0,9305681558 0,1739274226 0,3260725774 0,3260725774 О,! 739274226 0,04691 00770 0,2307653449 0,5 0,7692346551 0,9530899230 0,1184634425 0,2393'.43353 0,2844444444 0,2393143353 0,1184634425 где Е! =А! (!), Тч = Ау(Л(1 — ).!), у., = ) — е, — й, 8.1!.
Заключительные замечания (8,38) й? =АЗ(!) 0(1)(1 ?,!), Аналогичные соотношения можно получить и для тетраздра. На фнг. 8.11 показано расположение, точек интегрирования в треугольниках прн л = 1, 2, 3. Видно, что опи расположены неравномерно и несимметрично. Кроме того, в направлениях (4, ьз точность интегрирования различна. Другое (более изящное) расположение точек, предложенное Хаммером и др. 112], позволяет существенно упростить расчет; весовые коэффи- 0,3333333333 (1,0) 0,1550510257 0,6449489743 (1,0) 0,0885879595 0,4094668644 0,7876594618 ((,о> О 057104! 961 0,276849!136 0,5835904324 0,8602401357 (1,0> 0,0398098571 О, ШВО(341?9 0,4379748 И2 0,6954642734 0,9014649142 (1,0) 0,?5 (0,25) 0,3764030627 0,5124858262 (!ц и ы(ы>В 0,2204622112 0,38819 3 4688 0,3288443200 (0,0625) О, 1437135608 0,2813560151 0,3118265230 О 2231039011 (0,04) О, 1007941926 0,2084506672 0,2604633916 0,2426935942 0,1598203766 (0,2?77??ПВ) Крннонингйнме нзонорнмнгрисенкнг эанленгм Фяг.
8.11. Тонки интегрированна днн треугалнняка прн непользования ме. гада Гаусса — Радо. циенты для выражений, аналогнчвых (8.34), приведены в табл. 8.3 [13). Можно убедиться, что точек всегда столько нли немного больше, чем требуется для получения полных полиномов заданного порядка. Очевидно, что эти результаты можно обобщить и на тетраздры. В табл. 8,4 представлены некоторые формулы нз рабо.
ты (12]. В втой главе показано, каким образом можно построить большое количество криволинейных злементов. Необходимость использования методов численного интегрирования потребовала описания некоторых нз них. Дальнейшие подробности можно найти в различных учебниках но численному анализу.
Очевидно, что численное интегрирование является приближенныы. Вопрос о том, какая степень точности необходима в практических задачах, будет рассмотрен в следующей главе, Там же будут приведены основные принципы организации программ при использовании численного интегрирования. Таблица 83 Формулы чнсленнога ннтегрнроввнвя для треугольннков Продонхецме табл. ВЗ Весовые ксвффнцнент 2туа точ- «а Порнаок асем*нш Е-кссрц наты Ошно а Р сунок Вшо ме ц нты 2В'е Точ- Порааск авемакта Е-ноев . а Расу ск Ошиа а 1 1 1 а 3' 3' 3 ((= 0(б') Первый (7 = О (йт) Второй уабваяа 8.4 Формулы численного ннтегрнроввнвв для тетрвадрв 27 43 25 48 В оые «оаффн. ц шты Точ- а Простр ист енвме Еа р Пор ао» вкемента д =- О (й') Третнй Оатнан» Растко Зта формула не рекомевдуетея вэ-эв отрицательного весового ковффнццентв н ошибок округления 1 1 1 а 3' 3' 3 1 1 ь —, —, о 2' 2' 27 60 3 СО Третий (7 0 (й') йт= О (й') Второй р, р, р, а а = 0,58641020 0,13819ББО 1 1 2' 3' 1 1 О, 2' 2 ! 1 1 3',31' 3 11 2 2 15' 15' 16 2 11 2 15 ' 15 ' 15 2 2 1б ' 15 ' 15 1 1 в 1, О, 0 / О, 1, О б О, О, 1 1 3 1 3 1 3 а, р, р, р Р, а, 11, Р р, р, , р 1 4 1 4 1 4 1 Глаьа 8 Продолшелии гобл.
6.4 Пир дик ии ми чи Присчрииегееи» е С.кврь .иигм точ- ки Зе е о ффи- Кииичм Рвуиик Ошиаии ГЛАВА 9 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ИССЛЕЛОВАНИИ ЛВУМЕРНОГО И ТРЕХМЕРНОГО НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИИ 1 1 4' 4' 1 1 3' 6' 1 1 6' 3' 1 6' 6' 1 1 6' б' $ ! 4* 4 1 1 6' 6 ! 1 6' 6 ! 3* 6 1 6' 3 4 5 9 20 9 20 9 20 9 20 Третий й = О (А') ЛИТЕРАТУРА 1. Те!и 1. С., Б!гиешги) Апи1увгь Ьу Ше Ма1пк О!*р1аеевеп! Межад, Спя1. Е1ее(г!с Ач!а1ып йер1, № 5017, 1961. 2. 1гопь В. М., Навет)са) )п1еегв)вп Арриед 1а Нике Е1евеп( Ме(Ьодь, Соп$. Оье о( О)кна) Совраегь !и Шгис1. Епк., Оопп о1 Нешеьы!е, 1966 3.!голь В.
М., Епеаееппк Арр1каиап о1 Ниаейса! (п1екганоп !и БШ№еы Межой, ул!АА, 14, З)35 — 2037 (1966); есть русский перевод: Айронс, Иажеперпые прьложеиви числеииаго иигегрироваиии в методе жесткостей, Ракегиаь гелиико и коемоиаегила, 4, №ч 11, егр. 213 †2 (1966). 4. Соопь Б. А„бимвееь $ог Соври(ег АЫед Оси)кп о( Брасе Ропп, М!Т Рго!ес! МАС, МАС-ТЕ-41, 1967.
5. Роггеь1 А. й., Сигчеи впд Бит!аееь 1ог Соври1ег АЫ*д Оемкп, Совр. АЫед Оешеп Огоир, СевЬг!дке, Епе!еод, 1968. 6. МвпиЕЬип Р. О., Г(пце Ое1огве()оп о1 ип Е!иь1!е Бо!Ы, ущеч, 195$. 7. Беыед Р., Нвпег1св! Апа1ушь, Бейьив Бепеь, Мспгьш-НИ!, 1968. 8 Кора! 2., Нивег!са) Аии1увш, 2пд ед., СЬерочьо ьпд Ньн, 1961, 9. 1гоп* В. М., $)иедге(иге йо)в 1ог Впез Веьед Мане Е!евеп!е,!и1. 7.
Мим. Меы. Еьз., 3 (197$). 10. йьдаи, )айги. Ае. Меуй., 3, 283 (1080) $1. Апдегьао й. О., 1гооь В. М., 2!епК!ечдсь О. С., ГЛЬгеиои впд 51аы!ну о( Р1агеь Оы!пк Нппе Е)евеп!ь, гиг. 7. Бо1ыь Буглсы 4, 1031 — 10% (1968) 12 Невгаег Р. С, Миг!оше О Р., 91гоод А. Н.. Нивиг~ои! )и1еегигыо Очег Бгвр!екеь епд Сопев, Мауй Уаыег А!Аь Совр, 10, 130 — 137 (!956) 13. Реиррь С. А., йеппед Р)пне Е)евеи1 Апи(уь!ь о( )л(пеьг вид Нои-Ыпеаг Тшо О)веоь|опв) 51гис(игеь, Шгис1иге* Ме!епе)ь йеьеагсь йер(. № 66-22, Ов!ч. о1 Сеь(огп!а, Вегйе1еу, Ое).
1966. 9.1. Введение Применение элементов высоких порядков, рассмотренных в двух предыдущих главах, требует некоторого обоснования. Усложнение элементов приводит к дополнительным затратам машинного времени. Поэтому необходимо рассмотреть вопрос экономичности их использования. На фиг. 9.1 представлены результаты расчета консольной балки с помощью" различных элементов. Сравнение результатов показывает, что лрп одном и гом же числе степеней свободы использование словгнагх элементов значительно повышает точность.
Однако их применение не обязательно сопронождается пропорциональным уменьшением времени решения, так как ширина ленты матрицы для сложных элементов увеличи. вается, тем не менее, вообще говоря, оно существенно сокращается. При использовании сложных элементов значительно сокращается время подготовки исходных данных. В приведенном примере три сложных элемента заменяют соответственно шесть и восемнадцать простых треугольников, поэтому в итоге приходится иметь дело с меньшим количеством элементов Кроме того, если стороны элементов представляют собой прямые линии, координаты дополнительных узлов легко определить путем введения подпрограммы интерполирования. В результате значительно сокращается число задаваемых координат.
Использование сложных элементов не будет иметь указанных преимуществ, сслн процесс разбиения области на элементы автоматизирован, однако программно осуществить это трудно. С другой стороны, значительное сокращение количества элементов может привести к ух>дшению аппроксимации реальной геометрии. В таких случаях бывает лучше использовать простые элементы. По-видимому, самой серьезной проблемой при использовании Сложных криволинейных элементов являются затраты машинного !7! 170 глава э Нексгсдьм прннененмя папппрпмегрпческпк элелентпе времени на численное интегрирование. Поэтому точность ин- тегрирования следует ограничивать, руководствуясь соображе- ниями экономии времени. Варка альааа аагртака ь тапка А М мент а АА' тп «м га макшм* ааа аапэажш а ЗЗЗ ш а мам.
пр г»б ь АА м ь маль- м«а пгагаб АЛ' ак амаль ар ааь ЗЗ' 0,19 0,26 0,22 0,65 0,55 0,67 0,67 0,53 ОД! 0,5? 0,55 0,99 0,99 1,60 !,ОО 1,00 1,00 !,оо 1,00 !,ОО 1,00 Точное реюенне Фяг 9.! Расчет плоского напряженногп спстояння консоли с немощью раэлнч- пих ькеменгпя. Врн уеелнченпп порядка элементов точпссть поэрастаег. 9.2. Требуемая точность численного янтегрнровання В предыдущей глазе указывавосеь что матрицы элемента могут быть составлены с использованием численного интегрирования методом Гаусса по и точкам. Объем вычислений при та- ком интегрировании по плоским областям пропорциовален и'— числу точек, в которых должна быть определеаа подыитегральная функция, а в трехмерных задачах он пропорционален и .
з Поэтому весьма важно установить А!анимальное достаточное число гауссовых точек. В настоящей главе рассматриваются задачи теории упругости, требующие вычисления матрицы жесткости элемента. Сформулируеьг следующее утверждение: Если при решении задач теории упругости з перемещениях методом конечных элементов точность численного интегрировании достаточна для того, чтобьг точно гычислить объем элемента, то процесс сходится [1, 21 Это утверждение легко доказывается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
