Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 18
Текст из файла (страница 18)
На 'фиг. 78,а изображена 'разделенная на треугольные элементы часть сплошной среды. Подконструкцией в этом случае является один Фнг 7.9. Четырехугольник, состееленный нэ четырех сложный элемент с несколькими граничными узлами (фиг. 7.8,б). Единственное отличив таких элементов от элементов, построенных в предыдущем разделе, состоит в том, что неизвестная функция ~'аппроксимируется не гладкими функциями формы, а набороьг кусочно-гладких функций. Это, по-видимому, приводит к нескольно худшей аппроксимации, но зато может позволить сократить общее еремы расчета всей конструкции.
Выделение подконструкции удобно при решении сложных задач, особенно если рассматриваемая область составлена из повторяющихся элементов. Результаты решения простейших задач методом конечных элементов показывагот, что использование сложных элементов, составленных иэ треугольников (или тетраэдров), приводит к лучшим результатам, чем применение простых треугольных элементов. Например, использование четырехугольника, составленного нз четырех треугольников, с исключенной центральной точкой (фиг.
7.9) выгодное использования простых треугольников. Этот и другие виды составленных из треугольников элементов подробно рассмотреяы Уилсоном (8). 7.7. Семейство треугольных элементов В предыдущих главах в достаточной мере продемонстрированы преимущества произвольного треугольника при аппроксимации любой формы контура. Превосходство его перед й з ых Глава 7 .
прямоугольником очевидно н не нуждается в дальнейшем обсуждении. 1 4. Фунсяиа Фрумы элемента 121 7.7.!. 7;координатьг ') Прн рассмотрении прямоугольных элементов выбор декартовой системы координат с осями, параллельными сторонам прямоугольника, был естественным. Однако для треугольника такая система неудобна. Для треугольника с узлами 1, 2, 3 (фиг, 7.11) удобно ввести систему координат сн, [о и уэ, связанную с декартовой следую. шими линейными соотношениями: х Егх + гахз+ саха У агу~ + йэуз+ ьзуз (7.23) 1 со+ ьз+ ьэ.
г' Фиг. 710. Семсастза трсугальаых элементов. а — ьыияиг и рьягр п рядка; С-яя яг гсртя яр д; я-ьиямяяг тригьег яя яд я р яя, Рассмотрим ряд треугольников, изображенных на фиг. 7.16. Число узлов в кахгдом.элементе этого семейства таково, что 1 =О е= позволяет построить полный по- О линам порядка, необходимого (хлу ) для обеспечения совместности между элементами. Это харак!,=уу терное свойство ставит семей- ство треугольников в привиле. т,=лик гировавное положение, так как (седлал) Р обращение матрицы [С] всегда 2 будет существовать [2] (см. (7.3)].
Однако, как и ранее, пред. (мгуг) ) почтительнее прямой путь полу- чения фувкций формы, и, как Фиг. 7.11 Ысссрдизлгы. будет показано, он достаточно прост. Удобно ввести для треугольника специальную систему номализованных координат. , у нор- Каждой совокупности координат лн, Ез, йр (Которые не яв. лаются независимыми и связаны мегиду собой третьим соотношением) соответствует елинственная пара декартовых координат.
Узел 1 имеет координаты Ег = 1, йз = йз = О и т. д. Линейная связь меигду новыми и декартовыми координатами означает, что линии (.г = сопя! представлигот собой прямые, параллельные стороне 2 — 3, на которой сн = О. Легко видеть, что координату Аг точки Р можно определить как отношение площади заштрихованного треугольника к пло'щади всего треугольника: амэщядь Ряд (7.24 площадь 123 ) Разрешая соотношения (7;23), получаем а, + р,я + с,у г 2Ь + З,* + сьу з (7.25) ая + Зяс + с,у 2Ь где 1 х, у, 1 й =- де! 1 х, у, = плошадь !23 (7.26) 1 х уэ а,=х,У,— хэрз, де=Уз — Уэ, О,=хз — хз, Отметим, что этн выражения тождественны полученным в гл.
4 [соотношения (4.5б), (4.бв)]. ') В арнгинзле Атер саагщая1рэ, т. с. заардзизгы, сзяэзнныс с ала. щздыа. — йуам. Ррд. !зз Функции формы элемента 132 Глава 7 (7.30) (7.31а) и порядок Аналогично н и+1 не! ьз = — ьз л (7.3!б) Ф гюп лзрадиг (7.3!в) й," (7."„й;, йу) (?.28) (7. 32) (7.33) 7.7.2. Фрикции формы Для первого элемента семейства, изображенного на фиг. 7.10,а, функции формы — просто й-координаты. Таким образом.
йрз йз Агз = Тз, (7. 27) поскольку каждая из этих координат равна единице в одном узле и нулю — в остальных узлах и изменяется линейно. Для построения функций формы остальных элементов мож. но получить простое рекуррентное соотношение [2). Предполо- Флг. 7.!2 Рекурревтнае лрзввла построение фувкпва фарпы длл треуголь- ников, и!им, что функции формы для треугольника и-го порядка известны. Построич функции формы для треугольника (п+ !)-го порядка. На фнг. 7.12 показаны два таких треугольника с равноотстоящими друг от друга узлами. Для 'типичного узла ! известная функция формы и-го порядка выражается через ь-координаты треугольника !23.
Эта функция формы может быль выражена через ).-координаты большего треугольника 12*3' после установления связи между координатами. Она будет принимать единичное значение в точке ! и нулевое во всех остальных узлах нового треугольниха, кроме узлов, расположенных на основании 2'3' треугольника. Легко показать, что й(и+! ! и+! н будет искомой функцией формы, если с — масштабный множитель, обеспечивающий единичное значение в точке ! нри равенстве ь! нулю на основании большего треугольника.
Масштаб. н+! ный множитель задается соотношениеь! и+1 с= —, ! где 1 — число слоев, для которых номера узлов меньше !. Функ- ции формы для узлов, расположенных нв основании треуголь- ника, могут быть получены простой перестановкой индексов. Связь мев!ду этими двумя координатами ясна из фиг. 7.12, откуда видно, что площадь Р13 и+г площадь Р13' плошадь 123 ' з плошадь 12'3* ' Следовательно, плошал Р13 плщдзщ 12'3' + плашздь Р13* площадьь123 и, учитывая, что ь, + ьз + ьз = 1, получаем йр=-'Ьп+ 1)7.,"- 11.
Читатель мои!ет легко проверить, что приведенные ниже функции являются функциями формы для элементов второго и третьего порядков, и получить аналогичные функции для элементов более высоких порядков, Треугольник второго порядка (фиг. 7.10,б). Для угловых узлов йт! =(ж, — П й! и . д., для узлов иа сторонах Агз= 47,,ьз и т, д.
Треугольник третьего прядка (фиг, 7.10,а). Для угловых узлов йгг= — (3!., — !)(31,, — 2)Ь! и т. д., 1 2 для узлов иа сторонах Аге= 2 г.гьг(37.1 — 1) и т. д., 9 !зй Функции Формы влемеита Глава 7 ОДНОМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 7.8. Линейные элементы згрэ и, наконец, для-внутреннего узла АГ!о = 27Е ~Евйв.
Последняя функция обращается в нуль на границе, В гл. 10 она используется в другом смысле. Треугольник вюрого порядка впервые был построен Вебеке [9] и применен Аргирисом [!0] для исследования плоского напряженного состоянии. При получении матриц элемента возникает проблема интегрирования по площади треугольника величин, зависящих от й-координат, Поэтому полезно иметь в виду следующее соотношение: а о с а! Ы е! ~ ь1г еьзо)хо)У= (а+ з+ +з)! 2Ь. Ь До сих цор рассматривались только двумерные и трехмерные задачи. Для одномервых задач метод конечных элементов не применялся, поскольку для них, как правило, можно получить точное решение.
Однако во многих встре- чающихся на практике случаях могут потребоваться и такие элементы, поэтому желательно рассмотреть их с тех же позиций, что и остальные. При решении задач упругости одномернымн элементами можно и н аппроксимировать армирующие волокна (в двумерных и трехмерных задачах) или тонкие листовые обшивки в осесимметричных н трехмерных телах. При исследовании задач теории поля, типа рассматриваемых в гл. 15, они могут аппроксимировать элемент, расположен- дренаж в пористой среде меньшей провоный между нвуни димости.
двумерными эленен- Если для элемента такого типа выбрана тами. функция формы, то можно определить его характеристики, причем такие величины. как деформация и т. д., должны рассматриватьсн только в одном направлении. На фиг. 7.!3 показан такой элемент, расположенный между двумя соседними элементами третьего порядка. Ясно, что для выполнения условий совместности необходимо, чтобы функция формы была полиномом третьего порядка относительно единственной переменной $. Такими функциями формы являются полиномы Лагранжа, определяемые формулой (7.15). ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 7.9. Прямоугольные призмы. Снреидипово семейство [11, 12] По аналогии с предыдущими разделами можно построить трехмерные элементы с дополнительными узлами.
Однако теперь описанные ранее простые правила обеспечения непрерывности между элементаъуи нужно изменить. Необходимо, чтобы изменение функции формы на грани элемента единственным образом определялось узловыми значениями. Для некоторых полнномов это можно обеспечить только подбором. Семейство элементов, показанное на фиг. 7.14, эквивалентно семейству, изобрахченному на фиг. 7.4. Используя трехмерные Фнг. 7.!4.
Правильные призмы е узнана на грвпнне !снрепднпово семейство) п соответствующие плоские з линейные элементы 136 Глава 7 нормализованные координаты и следуя терминологии равд. 7.3, получим следующие функции формы: Элемент первого порядка (8 узлов): У~ =-, (1+ Ы (1+ Ч ) (1+ Ы (7.35) Элемент второго порядка (20 узлов): угловые узлы »ггг з (1+ко)(1+Чо)(1+(о)(вьо+Ча+й — 2)! (7.36? типичный узел на ребре йг 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
