Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 20
Текст из файла (страница 20)
На практике еле. дует избегать такого сильного'искривления. На фиг. 8.б приведены два примера искривления двумерного (8, Ч) элемента в трехмерном просгранстве (х, у, г). Далее в этой главе часто будем называть основной элемент в недеформироваппых локальных координатах первичныи элементом. 8.3.
Геометрическое соответствие элементов Хотя было показано, что при использовании функции формы для преобразования координат каждый первичный злемевт единственным образом отображает векоторую часть реального объекта, важно, чтобы разбиение на новые криволинейные эле- Кр»»еел»»неаные иэсниреметртесние элементы менты не оставляло щелей между ними.
Возможность возникновения таких щелей показана на фиг. 8.8. Теорема 1. Если дэа смежных кризо»тинейньсх элемента образуюгсл из первичных, функции форме» которых удовлетворяют условиям непрерывности, го они будут соприкасаться ло всей границе. Эта теорема очевидна, ибо однозначность любой функции ф, вытекающая из условия непрерывности, означает однозначность преобразования координат х, у, х.
Так как координаты узлов один и те же, непрерывность имеет место. Узлы вовых искривленных элементов ие обязательно располагать только в точках, для которых определены функции формы. Внутри элемента или иа его границах можно ввести дополнительные узлы. 8.4. Изменение неизвестной функции в криволинейных элементах. Условия непрерывности После построения элемента с помощью функций формы (»е") для исследования его характеристик необходимо задать вид неизвестной функцииф Удобнее всего использовать в криволинейных координатах обычное представление Ф = (м! (Ф)', где (ф)» — набор узловых значений.
Теорема 2. Если функции формы (»Ч, входящие э (В.З), а первичных координатах удовлетворяют условиям непрерывности ф, то и в криволинейных элементах условия непрерывности будут эыполнзтьсж Эта теорема доказывается так жер как н теорема предыдущего раздела. Узловые значения могут соответствовать узлам, используемым для задания геометрии элемента. Например, обозначенные кружочками на фиг. 8.7 точки используются для определения геометрии элемента. Для установления характера изменения неизвестной функции можно было использовать ее значение в точках, обозначенных квадратиками. На фиг.
8.7,а для задания геометрии и конечно-элементной аппроксимации используются одни и те же точки. Итак, если т. е. функции формы, определяющие геометрию элемента и не- известную функцию, одинаковы, то элемент называется изона- раметрическим. ° с . с,х, х х х х У к х х х х х х х х х х к х х х У х х х х х х х х х х с' г х х х х в х х л е. х х л и х х х л х х х х х х у х х х х х х х х з ф Х х .Р .- -и у Х х х' у в х е - ' .г у Фмгг 8.5. Преобразование илоскик ]или иараболиеескик] алемеатов в трекмер- ном пространстве. Фмг 85 сиролотжевие] Геено 8 188 Ре = а, + а,.х, + азУ, + пего (8.6) ЕУ,=~, х, Угхт = х, ХУу,=у, ~,Уег,=ж (8.8) ~У;.у,.=у, Хйг[г,=г, (8.9) Фкг.
8.8. Требовзвме совмествостм прв рззбвевмм области. Флг 8.У. Различные типы клементов. О точке, е к торез ээв нм «нор«вне м; а т, от р э в в р кетры фен«вне. к- ««оноре трвмеккв элемент; Л вЂ” еук рнэрэыегрнче к З элем нт; е-еуонэрэметрнч Однако для определения Р можно было бы использовать только четыре угловые точки (фиг.
8.7, б). Такие элементы на. зыватотси суперпарамегрыческими, так как для них изменение геометрии описывается более полно, чем изменение неизвестных. Аналогично если дли определения чз нводится больше узлов, чем для задания геометрии, то элементы называются субпараметрическими (фиг. 8.7, в).
Такие элементы на практике исполь. зуются чаще, чем суперпараметрические. Кровололеялые мзолорпметрмческме элементы 8Л, Удовлетворение критерию постоянства производной Выбор удовлетворяющих условию непрерывности функций, которые определяют геометрию элемента и закон изменения тз, достаточно широк, причем эти функции не обязательно должны быть одинаковыми. Однако критерий постоянства деформаций (гл. 2), или критерий постоянства производной (гл. 3), накладывает некоторое ограничение. Напомним, что для сходимостн необходимо, чтобы з каждой точке элемента путем подбора соответствующих узловых значений сз можно было получить любое произвольное постоянное значение первых производных (это справедливо для функционалов, содержащих только производные первого порядка).
При этом соотношение 88=[У](тэ)'=ЕУгезе а,+аех+а,у+а,г, где (8.6) [У]=[У(й П ь)] должно быть справедливо для любых постоянных ат-е и соответствующих значений (Р)е. В самом деле, в узловых точках должно выполняться равенство так что первое соотношение можно переписать з виде [У] (р) =а~ ~„У«+оп~ У,хе+ аз~ У,уз+аз~ У«ге= а, + атх + азу + а„г. (8.7)' Оно всегда будет удовлетворяться, если Из формул прсобразовлпия координат [соотношеннс (8.2)] следу'ет, что Я У«хе =х, и, следовательно, справедлива следующая теорема: Глава д Теорема 3.
Все изопирамегринеские элементы, длл которых д,Уь — 1'), удонлетнорлюг условию постоянства производной. Можно показать, что это условие пвляется необходимым и что теорема справедлива для субпараметрического преобразования в случае, если [У'] можно представить в виде линейной комбинации [У), т. е. если У[=к,С, У.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.6, Вычисление матриц элемента (преобразование координат 6ць) ~[а]дУ, (8.11) где [6) зависит от функций У или их производаых по ллобаль- ным координатам. В качестве примера рассмотрим матрицу жесткости ~ [В] [)З] [В] дУ и соответствующее векторы нагрузки ~ [У]г(р)дУ. (8.12) (8.13) Для некоторого класса задач теории упругости матрицы [В] были выписаны в явном виде [см, равенства (4.!О), (5.6) и (6.11)].
Первое из пнх, равенство (4.10), относящееся к плоским задачам, дает — 0 дуь д» 0 дМ~ ду дуь дуь ду д» (8.14) [В,] = ') Прн ооределеннн нларнженнй лто галлене .проста означает, что иере мещенне тела клк же»»кого некого не должно еыныел»ь ннкнкнл леформл кнй — трейонлнне менее огрлннчнтелыюе, чем уелоене нос»анна»ел ораннеал- ныж Дли применения метода конечных элементов должны быть найдены матрицы, определяющие свойства элемента, такие, как жесткость и др. Эти матрицы будут иметь внд Крнеолннеуньы олонараелграчеекое ллегенгы дуь д! дуь дчС дй, дь дуь д» аду ь ду дуь дг дл д! дк дч д» д! ду дг д! д.'„ ду дг д»С дчС ду дг д! д! дуь д» дй'ь ду дуь дг (8.!6) Левая часть этого выражения легко вычисляется, так как функции У, заданы в локальных координатах.
Кроме того, поскольку координаты х, у, г связаны с криволинейными координатами [соотношение (8.2)], матрица [л) выражается через локальные координаты. Эта матрица называется матрицей Якоби. Чтобы найти глобальные производные, обраткм матркцу [л) и запишем дУ~ ! ду, ! др С М78 д» умь ду дМ~ дг (8.17) Здесь штрих, использованный в гл. 4 для обозначения функций формы, опущен, ибо теперь зти функции являются скалярными и относятся ко всем компонентам перемещения. Заметим, что такая форма записи носит достаточно общий характер и справедлива для всех двумерных элементов, используемых при ре. шенин плоских задач теории упругости, независимо от числа узлов (или неузловых параметров) в элементе. Это замечание относится ко всем рассматриваемым в книге задачам.
Для вычисления матриц необходимо сделать два преобразования. Во-первых, поскольку Уь заданы в локальных (криволинейных) координатах, аеобходимо каким-либо образом выразить глобальные производные, входящие в (8.14), через локальные производные. Во-вторых, элементарный объем (или поверхность), по которому должно проводиться интегрирование, нужно представить в локальных координатах и соответствующим образом изменить пределы интегрирования.
Рассмотрим, например, систему локальных координат Е, ть Е и соответствующую систему глобальных координат х, у, г. Используя правило частного дифференцирования, можно записать, например, производаую по е в виде — —. + — — + — --. ау, дч, д» ду, ду ду, дг д! д» да ду д! дг д! ' (В.!5) Дифференцируя аналогично по остальным двум координатам и используя матричную форму записи, получаем Глава д дм, дл'~ дм У~ дл,'. л' а х~ у) з( (8.!8) хв Уе зз дй дй й=Еы Я=Е, в=Ез 1 — $ — П вЂ” Е=Еч ~ ~ ~[сап,й)]й[йчйй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
