Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 39
Текст из файла (страница 39)
14.2. Раэлнчные тяпы крнвалннайнык элеиектав для талстыэ абапачек. может быть представлена в виде ьлг (й' 1) 2 У! + Х г(п' 1) 2 я Е! ээак ег аг Здесь бг(($, П) — функция формы, равная единице н 1-м узле и нулю в остальных узлах (гл. 8). Если базисные функции йгг получены из функций форыы двумерных первичных элементов, квадратных или треугольных' ), и составлены так, что па границах между элементами выполняются условия совместности, то пространственные криволинейные элементы будут примыкать друг к другу по всей границе, Используя фуакцин формы раз. '! 1(эк и э гл. 7, и эюк случае анесга каарлнкэт 1 к и глалуаг нспаль.
эаээть !..каарпннлгы. личных порядков, можно получить разнообразные криволинейные элементы. На фиг. 14.2 показаны только элементы второго и третьего порядков. Прн желании их можно усовершенствовать, если ввести на сторонах большее число дополнительных узлов. Можно использовать любую из двумерных функций формы гл. 7. Хотя связь между декартовыми н криволинейными координатамн установлена, все же в качестве основных желательно использовать криволинейные координаты. Флг.
14.3. Локальные н глабальныа каарпнпаты. Следует отметить, !то направление координаты й только приблизительно сов!!адает с направлением нормали к срединной поверхности. Удобно записать зависимость (14.1) с помощью вектора (длины, равной толщине оболочки 1), связывающего верхнюю и нижн!ою точки и координаты средгпщой поверхности. При этом ') соотношение (14.1) принимает вид (фиг. 14.3) и х( (хг ) У = ~ К Уг + ~~' й7 з 1'э!. (14.2) е с ээл '1 меабхалпные сэеланнп нэ эекгарнай алгебры ножка найти в прнла.
желен б 298 Глава 14 Растет гплстестелгмм оболочек 14.3. Поле перемещений Определим теперь поле перемещений элемента. Предполо. жим, что деформации в направлении нормали к срединной поверхности пренебрежимо малы. Тогда перемещения внутри эле. мента будут однозначно определяться тремя декартовыми компонентами узлового перемещения срединной поверхности и двумя углами повората узлового вектора У,г относительно двух взаимно ортогоиальных перпендикулярных к нему направлений.
Если два таких ортогональных направления заданы векторами единичной длины ом и оп с соответствующими углами поворота (скалярами) иг и йо то по аналогии с (14.2), опуская для простоты индекс «сред», моткно записать и и1 ) иг ) (.йг у откуда легко получить обычнуто форму Ц =(Ат), где (бг)=(ш,'. гл (б))' <а, (!) Здесь и, о н ш — перемещения в направлениях осей х, р и з глобальных координат. Так как векторов, нормальных к заданному, бесчисленное мвожество, то для обеспечения однозначности используются специальные приемы.
Некоторые такие приемы рассматривались в гл. 11, Здесь будет описав более простой способ обеспечения однозначности. Так, если Ум — вектор, к которому надо построть нормадь, то направим первую ось по нормали к плоскости, проходящей через этот вектор и ось х '), Построенный таким образом вектор Ум определяется как векторное произведение Уп=)ХУлг, (14.4) где -В ') Алгпрптм леэереа, если плпреллеане вектора )ы совпадает с елпрлпле. плеч ссе л. Йлл проверки этого условия .тепго состлелть прогрлчпу, и если дейстепгелыю этп имеет место, то для определенлп попел»ныл пепреэлеппа еспольэуетсп ось р. — единичный вектор по оси к. Разделив (14.4) на длину вектора, получим единичный вектор оп, Третий вектор, нормальный к первым двум, определяется как векторное произведение (!4.5) У,=УнХУ о Направляющие косинусы локальных осей получаются путем нормирования Улг к чм.
Таким образом, имеем три оси орто. гональных локальэтых координат с единичными векторами (!4.6) чп, чм и чм. Как и выше, если Аг; — функция формы, удовлетворяющая условиям совместности, то перемещения между смежными эле. ментами непрерывны. Координаты элемента определяются теперь соотношением (14!), имеющим больше степеней свободы, чем соотношение для перемещений. Следовательгто, этот элемент будет элементом суперпараметрического типа (см.
гл, 8, равд. 8.3), для которого неочевидно, что критерий постоянства деформаций выполняется. Тем не менее из выражений для компонент деформапии следует, что условия допустимости перемещения элемевта как жесткого целого н постоянства деформаций выполняются. При использовании соотношения (14.3) предполагается, что по толщине ( не возникает никаких деформаций.
Хотя это направление не совсем точно совпадает с нормалью к срединной поверхности, упомянутое предположение достаточно хорошо аппроксимирует одно из обычных допущений теории оболочек. В каждой узловой точке ! срединной поверхности (фиг. 14.3) имеется пять основных степеней свободы (см. гл. 11, посвящен. ную оболочкам). 14,4, Деформации и напряжения Для получения характеристик конечных элементов следует определить деформации и напряженна. Есля используются основные гипотезы теории оболочек, то существенными являются компоненты в направлениях взаимно оргогоиильнвгх осей, связанных с поверхностью ", = сопзй Таким образом, если в любой точке на этой поверхности построить нормаль з' и дае другие ортогональные оси х' и у', касательные к поверхности (фиг. 14.3), то выражения для представляющих интерес компонент деформации будут совпадать с соотношениями гл, 6 для трехмерного случая, в которых, согласно обычной теории оболо- 30! Расчет толстостенном оболочек Глана 14 (14.7) ул'т' о, о„ (о')= т,о (14.11) 1 т О О 1 О О 1 — т О О (14.! 2) [Р'] =— В 1 — т' (14.9) 1 — т вй 1 — т йй Симметрично чек, деформации в направлении г' не учитываются: до' д.т' до' др' —,+ — ).
дк' до' др' дк' ды' дл' — + —, дк дт' дм' до' др дх Следует заметить, что в общем случае ни одно из этих направлений ие совпадает с направлениями криволинейных координат $, т1, т, хотя х', у' лежат в плоскости й, Ч (Ь = сопМ) '). Напряжения, соответствующие этим деформациям, определяются матрнцей [о'), которая связана с матрицей деформаций матрнцей упругости [Р], Таким образом, = [Р'! ((е') — (аз)) + (отз), (14.8) где (а!) и (оз) — произвольные начальные деформации и напряжения, Матрица [Р'] размерности 5)с5 может описывать любые анизотропные свойства, а для слоистой конструкции (типа санд.
вича) она будет функцией от 1, Мы выпишем матрицу [Рт] толь. ко для изотропного материала. Она имеет вид '1 В самом деле, зта напрааленаа только прпблнженно соотаетстпуют аапрааленпнм узловых аекторон чп н т. л., так как е обмен случае вектор та, только преблаженно псроеалпкуларен к срезанной поаерхноста. где Š— модуль Юнга, а н — коэффициент Пуассона.
Коэффициент й, входящий в два последних сдвиговых члена, имеет величину 1,2. Его назначение состоит в том, чтобы улучшить аппроксимацию сдвиговых перемещений. Иэ определения перемещений видно, что сдвиги почти постоянны по толщине, хотя реальный закон нх изменения параболический. Величина Ф = 1,2 представляет собой отношение соответствующих значений энергии деформации. Важно обратить внимание на то, что эту матрицу ллльэл получить путем исключения соответствующих членов нз эквивалентной матрицы напряжений для трехьтерного случая гл. 6 [выражение (6.14)). Чтобы ее получить, надо подставить в'.
= О в (6.13) и сделать соответствующие упрощения, так чтобы это важное допущение теории оболочек выполнялось. 14.5. Характеристики элемента и некоторые необходимые преобразования Матрица жесткости н матрицы других характеристик элемента содержат интегралы по его объему, которые в самой обшей форме имеют вид 1 [3]дхдрбг, (14.10) уе где матрица [Я] — функция координат. Например, для матрицы жесткости имеем соотношение [.Ч! = [Вт[ [Р! [В! где в соответствии с определением гл. 2 (е) = [В!(6)'. Матрица [В], как видно из соотношения (!4.7), солержмт производные от перемегценнй по локальным декартовым координатам к', у', г'.
Поэтому, для того чтобы вычислить соответствующие интегралы по криволинейным координатам й, ть ь, иеобходньто осуществить два преобразования. Прежде всего, точно так же, как это делалось в гл. 8, получим производные по г, у, г. Так как глобальные перемещения и, о, то с криволинейными координатами связаны соотношениями (14.3), производные от этих перемещений по глобальным Глава 14 Расист толстостеииых оболочек ди до ддм да дй д;.
ди до да дч дч дч ди до дда д( д4 д4 дм дх ди де дх дх ди' до' дх' дх' ди' до' ду' ду ди' до' дг' дг' 'дм дх % [в!. дм дг дм' д»' да' ду' ддо' де' ды д!т да дг ди до ди до ду ду ди до дг дг =[7! ' (14.13) дх дх (14.17) = [В)г ду ду да до дг дг дг дй дх ду де де дх ду ° дя дтт дх ду. д( дс дг дч д: д( (14. 14) ду дч дй д» дг дй дч дх ду дч дй дх дч дй дч дг дч ду дг д.с д! ду дх де дп дх дг дч дй дх да (14.15) д1 дч [О! = [оь ое, пе!. (14.!6) хоординатам х, у, г определятотся матричным соотношением Здесь, как и раньше, матрица Якоби вычисляется с помощью соотношений (!4.2), определяющих координаты.
Для любой системы криволинейных координат производные от глобальных перемещений можно получить численно. Последующий переход к направлениям локальных перемещений х', у', г' позволит вычислить деформации, а следовательно, и ма- трицу[В]. Сначала нужно установить направление локальнь|х осей. Вектор, нормальный к поверхности Ь = сопя(, находится как векторное произведение любых двух векторов, касательных к этой поверхности. Таким образом, Следуя описанному выше методу, позволяющему однозначно определить два перпендикулярных вектора, и нормируя их, составим матрицу ортов по осям х', у', г' (которая, по существу, является матрицей направляющих косинусов) С помощью обычной операции глобальные проиаводные от перемещений и, о и пт преобразуются в локальные производные от локальных ортогональных перемещений: С помощью этого соотношения компоненты матрицы [В') можно определить в явном виде, причем следует иметь в виду, что для каждого узла существует пять степеней свободы: (б,)' (в') =[В'), (ЬДе= [ыс ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
