Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(14.18) и,1 Величина элементарного объема в криволинейных координатах определяется по формуле с(х е(у с(г = с(е! ! 7 17), Ь| с(с, (14.19) Этим стандартным выражением завершается вывод основных соотношений. Численное интегрирование в пределах от — 1 до +! производится точно так же, как н для трехмерных элементов, рассмотренных в гл. й. Аналогично вычисляются и все остальные матрицы элемента. Так как деформации изменяются линейно по толщине (в направлении ь), для интегрирования в этом направлении требуются только две гауссовы точки, тогда как в направлениях $, ц для параболической и кубической функций формы используютси соответственно три и четыре точки. Здесь следует заметить, что интегрирование по ь при желании можно выполнить точно, экономя тем самым время вычисления.
Понижение порядка интегрирования по й и ц не только позволяет сократить время счета, ио и приводит к заметному Расчес гонсгосгеннеы одо тын Глино /4 ди ае угн (14.23) дн де — +— дг дг 1 ди дм и уго уе — — + — —— г дз дг г ф» — угол„показанный на фиг. !4.4, б, и !» — толщина оболочки. Выражение для перемещений определяется в соответствии с формулой (14.3), Для общности рассмотрим случай несимметричного нагруже. ния, указывая лишь члены, которые можно заранее исключить в симметричном случае. Следуя изложенному в гл.
13, вредно. лежим, что выполвено разложение по тригонометрическим функциям. Определим три компоненты перемещения л-й гармоники в виде о" 0 сози8 0 ~ й»» о» + ( — з»п Ч»» 01 ( пн ! '! +~ Ф»Ч-,'ь созф» 0 ~ „~ . (!4.22) 0 1 Здесь ໠— угол поворота, показанный на фнг. 14.3; и, и др.— перемещения узла срединной поверхности и р,— угол поворота Фкг. 1».5 Глобальные оеремемеиие осесемметркчеоа оболочки, относительно вектора, касательного (приблизительно) к срединной поверхности. Для осесимметричного случая дальнейшее упрощение осуществляется путем исключения членов, содержащих ш, первой матрицы тригонометрических постоянных и угла поворота р».
Локальные деформации удобаее определить соотношением (14.7), записанаым в глобальных цилиндрических координатах: Эти деформации преобразуются к локальным координатам, при. чем компонента, нормальная к поверхности ч = сонэ(, исключается. Матрица [О') пранимает вид (14.9). Для осесимметричного случаи соответствующие члены просто опускаются. Все преобразования осуществляются так же, как и в предыдущих разделах, поэтому дополнительных пояснений ие требуется, за исключением, возможно, замечанвя, что теперь они п оизводятся только относительно пар переменных Е, гб г, г и , г'. Аналогична интегралы, входящие в характервстики элемента, вычисляются численно только по координатам $ и пг Заметим, одаако, что элемент объема определяется выраженвем с!х с»у»(г с(е! ! с' ! с»;- »(Чг»(8. (14.24) Элементы переменной толщины второго н третьего порядка (фиг.
14.6) получаются при соответствующем полборе функций формы дг'»(я). 14.8. Частный случай толстых пластин Описанные в этой главе преобразования довольно сложны и запрограммировать нх непросто. Основные идеи метода можно применить прн расчете толстых пластин, Упрощения достигаются за счет того, что: 1) ( = х и направления единичных векторов мп, ме», чс» мож.
но взять совпадающими с направлениями осей х, у и г; 2) и, и 3» в этом случае являются просто утлами поворота О„и 8„(см. гл. 1О); 3) нет веобходимости преобразовывать компоненты напря. женнй и деформаций к локальной системе х', у', г' и всюду Расчет толстостенных обосочек Глава 14 , Еи-1 ! Гыхпее псари гы б= -1 1 С 1 4 Р 2 4 б З )ы 14.9. Сходимость > б -1 ! Фкг. 14 б. Элементы оымнмметрнчной оболочке: а — первого порядка, б— второго порядка а в — третьего парадна. можно использовать соотношения в глобальных координатах.
Для элементов простой формы можно обойтись без численного интегрирования, и в качестве упражнения читателю рекомендуется получить все необходимые выражения (матрицы, жесткости и др.), скажем, для прямоугольных элементов первого порядка. Если при расчете трехмернык задач можно говорить об абсолютной скодимости к точному решению упругой задачи, то в аналогичных задачах для пластин нли оболочек такой сходимости быть не может. Так называемое сходящееся решение задачи об изгибе пластин при уменьшении размеров элемента сходится к точному решению для некоторой приближенной модели, используемой в расчете.
Следовательно, будет наблюдаться схо. димость к решению, удовлетворяющему гипотезе плоских сече'ний, В элементах конечных размеров деформации чистого изгиба всегда сопровождаются некоторыми сдвиговыми напряжениями, которые фактически не учитываются в теории изгиба пластин или оболочек. Большие элементы, деформирующиеся главным Фнг, 14.7. Свободно спертая квадраткан пластина под действием равномерно РаспРеделевной нагРУэкк бн а в арьгабы ав нввтральной лаана, получеаньн пра эсполь оэвнн ысн лто,аостровна с в работе 1Ц; б- рогнбн, сэлучва»нв пр нсаэльээ н часлвннэго ннтвграроэанн» беэ Учета саэагов. О 0,000002 сваг!О 1РсвУльтвт Расчета аа теоРан тоачнт аластнну, С-тол мана власта», О-жесткость нлвстанн.
образом под действием изгибающих моментов (напрнмер, когда элемент оболочки вырождается в пластину), становятся заметно более жесткими. Чтобы избежать этого, вводятся некоторые ограничения на отношение длины стороны элемента к его толщине. Однако можно показать, что эти ограничения могут быть ослаблены за счет понижения изрядна интегрирования. Например, на фиг. 14.7 показано применение элемента второго норядка при расчете квадратной пластины.
Приведены результаты, соответствующие интегрированию с девятью (3)(3), Глава 74 774,0 Вга 4ВД в м р гв в в В7,0 и Нйв щ.в а инта и- и четырьмя [27с2) гауссовыми точками, в виде графиков для различных отношений толщины к длине стороны пластины. Для оболочек средней толщины результаты близки между собой, и в обоих случаях получаются сдвиговые деформации, которые вообще не рассматриваются в теории тонких пластин. Для тонких пластин результаты при более точном интегрировании значителыго отличаются от точного решения, полученного с исполь.
зованием теории тонких пластин, тогдз как более грубое интегрирование (при исключении влияния сдвигов) по-прежнему дает хорошие ргзулэтаты. Ограничения на применение рассматриваемых в этой главе элементов хорошо известны, и неоднократно предпринимались попытки исключить их [б — 71 Как видно, весьма эффективным и достаточно общим средством является такой простейший прием, как понижение порядка интегрирования. 14.10.
Некоторые примеры Ниже приведено несколько примеров, иллюстрирующих область применения н точность описанного метода расчета толстых. оболочек. Другие примеры можно найти в работах (! — 3). Сферический купол под действием равномерно распределенного давлении. На фиг. 14.8 показано известное точное решение этой осесимметричной задачи, полученное с использованием теории оболочек, Длн регпения применялись 24 элемента третьего порядка. Размеры элементов по мере приближения к краям умсныпались. Полученное решение, по-видимому, даже более точное, чем аналитическое, поскольку оно позволяет учесть, приложено давление на внутренней или на наружной поверхности.
Цмлиндр, нагруженный по торцам. Следующий пример осеснмыетрнчнойг задачи, показанный иа фиг. 14.9, приведен для того, чтобы исследовать влияние числа разбиений. Использовалось 2, 6 и 14 элементов различной длины. Результаты для двух последних разбиений почти совпадают с точным решением. Даже при использовании лишь двух элементов получаются удовлетворительные результаты, которые отличаются от точносо решении только в окрестности нагруженного края.
Цилиндрический свод. Это пример применения метода к расчету оболочка, для которой существенны изгибные эффекты, так как опоры препятствуют перемещению двух краев (фиг. 14.10). На фиг. 14.11 приводится сравнение результатов численного интегрирования с использованием девятч и четырех точек для элементов второго порядка. В обоих случаях, как и следовало ожидать, решение сходитси. При более точвом интегрировании Ы7В ВВ 7В гл гд и р ГВ В Фиг. 146. Расчет сфярпиэгкогп купала пол действием равномерно распрядп.тэпкого аавлаппя прп использовании 24 элементов грятьяго порялка. (Пэрвый элампит у закрептаппого края стягивает аргу в 0,1; размеры остальных алиментов увеличиваются по арифметической прпграсспп.) М вЂ” мэпихиоизаьима из иа юы а момоит, г о Эузгио у илии, и омм р юиии, и олувза ггь олуоэз п.
пйо й рли -г,ое о гор,о Фпг. !449. Цилиндрическая оболочка под действпсм собственного веса. П ЕЛЗ.Ю Нлг,т О,и З,ен;ме Чи л етеаеаее енаоаа» о49 о ог' (О' 16 г, рм Фвг. !4,9. Тонкий цилиндр, кагружениьсй по .краю едпнпчной нагрузкой в радиальном направлении.
П- РадиаЛЬиас И РЕ»ашаиаа, Мр — МЕРИДаа Ьи Н Мамонт, Л 6 74 . Щ ' Нжй и ПЗ. — теюретнееанФ решение. ЩО1, Н ОО 7О гб гр гиг ДОГ г, сы Оиирлиии мт ирю Оинрримю ° -о м=о Элем тм Сот а торос лор а а 22 16 сю 2П 314 Глава й 316 Расчет го»сшсгеннмх оболочек ЛИТЕРАТУРА Иот гавр тнт 'ж тХг точ»»м Э» м етж пт ро ов«ы » работ !Ь« Иат грнроьвнне бо» гт о»овсе с «а д х + С и л О сходимость довольно медленная, в то время как при более низком порядке интегрирования очеаь точные результаты получают.
ся даже прн использовании одного элемента. Приведенный при. мер иллюстрирует преимущества такого простого приема, как Фиг. 14.11. Перемещение пнлнндрнческого перекрытия (элементы второго порядка). понижение порядка интегрировании. Более подробно этот пример опвсав в работах [4, 8). Обычным способом точное решеаие этой задачи получево в работе[9). Улучшенная сходимость по перемещениям в этом случае со. ответствует сходвмости по напряжениям. Градирня.
Опять рассмотрим градирню, о которой уже шла речь в гл. 11 (равд. 11.б, фиг. !1.10). Прн расчете осесимметричная оболочка разбивалась на !б элементов третьего порядка, Несимметричная (ветровая) нагрузка достаточно точно представлялась десптью гармониками. Результаты совпали с экспериментальными данными, с которыми сравнивались результаты, полученные в гл. 11, так что в дополнительных графиках нет необходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
