Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Дифференциальное уравнение (3.43) было получено для двумерного течения, Это днффереяциальное уравнение можно было бы получить непосредственно путем минимизации методом Эйлера фунхцнонала, представляющего собой скорость днссипации энергии. Если компоненты скорости в направлениях х н у обозначить через и и о и выразить нх через функцию тока ф как да дл и= — —, о= —, да ' дл ' (!5.38) то легко показать, что прв постоянном значении вязкости !с функционал будет иметь вид [7[ Его можно минимизировать точно так же, как это делалось ранее в этой н предыдущей главах, после представления функции уу через узловые параметры элементов.
Поскольку функпно- Х= Фс $ ( 4 !д ! ) + [ длв) +( д г) — 2 у г,! г ) сй . (!539) ЗЬО Глава 15 Зада»и а стационарных атал» 54! а и=| = Г (!5.40) ьь Ь4 ьа ав 0,4 а ат 04 а.ь Оз ьа .4' . ° Х ! 5.7. Аналогии пал кнпдрогичный, в результате минимизации получаются стандартные жесткостные соотношения. Так как в него входят вторые производные, на границах между элементамн требуется обеспечить непрерывность функции Р н ее нормальных производных. Узловые параметры удобно представить в виде а в качестве функций формы использовать те же самые функции, которые прнменялнсь в задачах гл.
10 об изгибе пластин. Такой подход Аткинсон и др. [7] применили для исследования распределения скоростей в начальной области потока между параллельнымн плоскостямн. Граничные условия и форма исследованной области показаны на фнг. 15.16, о, а на фиг. 15.16, б представлены полученные профили скоростей, которые хорошо согласуются с результатами эксперимента.
Ясно, что эта же программа пригодна н для исследования областей с границами любой другой формы. Интересно отметить, что прн решении использовался описанный в гл. 10 простой несогласованный треугольный элемент, который не удовлетворяет полному критерию непрерынности производной. Этими же авторамн получен функционал для осесимметрнчных задач н рассмотрены аналогичные задачи о течении жидкости в цилиндрических трубопроводах. Более подробно этот метод описан п работе [25]. Интересно отметить, что, поскольку уравнение, которому удовлетворяет функция тока [гл. 3, уравнение (3.4)], совпадает с уравнением изгиба пластин (работа [1] нз списка литературы к гл. 10), для решения задач о вязком течении можно было бы непосредственно использовать любую программу расчета изгиба пластин. Такие аналогии в технике имеют большое значение, так как онн часто дают возможность сделать полезные обобщенна с миннмальнымн затратами сил.
Другим примером подобной аналогии может служить плоская задача теории упругости, Если выразить напряжения через известную функцию напряжений Эрн [26]: дтр дтр д»Ф о —, о = —, и = — —, (15.41) дут ' в дхт ' хв дхду ' Фиг. 15.15 Снарассь иазиаго ламннариага течении между параллельными нласиастимиг Решение методом иаиеаиых алементаа [21. а — гссиетрил, а — аасэила с»срастеа в реал«»вм» сс»саи»». то можно показать, что эта функция будет удовлетворять бнгармоннческому уравнению, опнсынающему вязкое теченнежндкостн н изгиб пластин.
Поэтому с помощью программы расчета пластин можно решать плоские задачи теории упругости. Если используется вариацноиный подход, то полученное решение, автоматически удовлетворяющее уравнениям равновесна, дает верхнюю грплицу энергии деформации, тогда как решение в перемещениях дает нижнюю границу. Глава Уб Задача о стациоиарпык лолвх С другой стороны, решение плоской задачи теории упругости в перемещениях можно использовать для получения верхних гранин решений задач теории изгиба пластин.
Эта возможность обнаружена и подробно описана Вебеке и Зенкевичем !83. (5.8. Заключительные замечания В этой главе показаны лишь некоторые возможности использования метода конечных элементов в ряде задач физики и техники. Не вызывает сомнения, что в ближайшее время этот метод будет применен к решению и других задач. ЛИТЕРАТУРА 1. 7|епЫсмйт О С., СЬеапи Ч, К., Ггпне Нетепй |п 1Ье Бо1нноп о1 Г|е!д РгаЫеть, Тйе Ела|лает, 507 — вдо (Бср|. 1965).
2. Чизы %., А Г|п31е Е1епгепс Ме1Ьод 1аг 1Ье Ое1егт|панаи о| Моп-51абопагу Тетрега1аге Р|ь!НЬиноп апд Тьегва| Ое1огва||апь, Ргос Соп1 ап Ма|их Мсйодь |п Б|гис1. Месь, АЬ Гогсс |пьь о| ТесЬп., %г|кй Ра(|ег. ьоп А. Г. Вазе, ОЬго, 1965. 3. 2|спЫечпст О. С., Мауег Р., СЬеипк Ч, К, Ба!Ы|оп о1 Ап|ю|гор|с БсераКе Ргойепы Ьу Нине Е|етеп1в, Ргос. Атег. 5ос. Шо. Елу., 92, ЕМ1, |!!в 120 (1966). 4. 2|епйесмсх О. С., Аг|еи Р.
3., ВаЬгапг А. К„бойНоп а| ТЬгее О|шептала| Ней РгоЫепы Ьу йе Нп1|е Е!евеп1 Мебгод, Тйе Елутет, 27 (Ось | 967) 6. Нептапп Е, Е|аьнс Тога|оп Апа|уиэ о| 1ггека|аг Бьарт, Ргос. Ат. Бас. СЫ. Елу., 91, ЕМ 6, 11 — |9 (1965). 6. %|па!оп А. М., Нижет|та! Ба1и1юп а| 1Ье Опав!-Е1пеаг Ро|ьзоп Ецпа!юа !п а Ноп-Рп||огв Тг|апн!е МезЬ. у Сотригапола| РЬуэ|сь, 1, $49 — 372 ($966). 7. А|Ыпэоп В., ВгосйеЬапй М.
Р., Сагд С С. М, БтИЬ А М, Сап Неупо!дз Мивьег Осте|арта Нощь, АУСЬЕУ. 15, 548 — 553 (1969). 8. Ое ЧеиЬейе В. Г., 2|епйетмсх О С., Б|га|п Епегяу Ваипдь |п Г|пне Е|е. тсп! Апа|ужь Ьу 5|аЬ Апа|с Ну, У. 53га|л Ал., 2, 267 — 271 (|9Б7). 9. Вегк Р. Н., Са1со|иь о1 Чагга!|аль, СЫб, |п. НапдЬоох а1 Епк. МесЬа. п|сз, Нбаке Х., ед, Мсбгам.Н1И, $962 1О. Ое 6.
761еп Р. ГЫ Ие!ахабоп Менюдз, Мсбгаъ.НШ, 1955, р. 199. „Н Е1у у Г., 2|тих|ем!ст О. С., Тога!оп о| Сотроипд Вага — а Не1аха$3оп 5о. )и!!оп, Ул| У МесЬ. 5с|., 1, 356 — 365 (1960) 12, 21епЫем|ст О. С., На1Ь В., Еаг1Ьцааэс Нудгодупав|с Ргетигеь оп АгсЬ Оапы — ап Е|ес1г|с Ада!акис Ба|анап, Ргос. Глм. С|а.
Елу., 26, |бц — 176 (1963). $3. %ез$егкаагд Н. М., %а|ег Ргевэаге оп Оапы Оиппа Еаг|ьциахев, Тгаак Ат. Бос. Сго Елу., 98, 438 — 433 (1933). 14. Магии Н. С., Нине Е|етеп| Апа1уиа а1 ГЬпд Г|оиь, Ргас. 2пд Сап$. оп Ма1пх Мейодь $п !Нгис!. Месь., АЬ Гагсе |па|, о! ТесЬп., %пнй Ра|(егзоп А. Г.
Вазе, О)па, 1968. 15. Оден У. Т. Батону| О., НпИе Е|евеп1 АррнсаИопь 3п Г|пй Оупат|сь, Р ас. Ат. 5ас. СЫ. Елу., 95, ЕМЗ (1969). 16. Агнупз У Н., Магесаех С., БсЬагр| О %, Тмо апд ТЬгес О1вепмопа| Г!атч Оэ!пк Г|пне Е!степ|К У. ИоУ Аего Бас., 73, 961 — 953 (1969), 17.
Рос|ага 3.. У., Ап Арр1юаноп о| Нпие Е|етеп! ТесЬп|цпе |о Воапдагу На|ив РгоЫевз о$ Ро1епба! Г1ам, Упг. У, Уит, Мей, Елу., 2, 333 — 252 (1970). |Д Ое Чг|ез' 6., Магг|в О. Н., Аррнса1юп о1 1Ье Г|пне Е|етеп$ ТесЬп|цпе $о Ро1епна| Р|оэ Ргойетз, Нер1. 1апд 8, Оер1. МесЬ. Епн.
1|пап о1 Саакагу, А1Ьег1а, Сапада, |969. |9. Тау|ог Н. Ы, Вгони С В„Оагсу Г1аи Бо|иЬапэ чнй а Ггее Бас!ась Ргос. Ат. 5ас Ст. Елу., 93, НТ2, 25 — 33 (1967). 20. Оговь %. А„Оаь ГПт ЬиЬпсаноп, %Иву, 1962. 23 Твпеьа О. Ч, Иао 1. С., Б!идеи! Рго|ес| Иерог1 оп Ьиьг|саноп, Науа! Ха. ча| Сонене, ОагЬпоий, 1966. 22. Иедд1 М М., НпИе Е|евеп| Бо1иноп а! $Ье 1псовргезз|Ые |.иЬпсаноп РгоЫет, Тгалэ. Ат. Бас. Ыесх. Елу., 91, Бег|еь Г, 524 (3969); есть русский перевод; Редан Решение задачи о несжимаемой смазке методом конечных элементов Труды Амернканснаго общества инженеров-механиков, се. рии Г, Проб.гамм трэвил и смазки, № 3, стр 169 (1969).
23 Иедй М. М, СЬп Т У., Ггп|3е Е|епгеп1 Байноп о| йе 5|саду 51а1е Соптргет|йе !тЬг|саноп РгоЫепг, Тгалк Аль 5ос. МесЬ. Елу., 92, Бег|еь Г, 495 (3970); есть русский перевод: Редди, Чу, О решении ствпиоиариык задач теории сжимаемой смаэхи методом конечных элементов Труды Американскога общества инженеров-чехаииков, серии Г, Проблемьг треиил и смазки, № 3, стр. 124 — 132 (1970) 24. Агкугм У. Н, БсЬагр1 О. %., Тье |псовргеьтЫе ЬиЬг|санап РгаЫст, У. Уоу. Аего 5ос., 73, 1044 — !046 (390)).
25 А(мпэоп В., Сагд С. С. М., |гонь В М., АррИсаноп а| йе Г|пне Е|жпепг Ме1Ьод 1о Сгеер|пя Г|ои Ргойевк Тгалз. Угш|. Сйет Елу э,, 48, Т27Б— Т284 (1970). Ж Типоььепйо Б., Ооошт У. Н., Тьеогу о1 Е|аьбсну, 2пд ед., Мсбгам.НШ, 1951, ГЛАВА !а ПОСТАНОВКА НЕСТАЦИОНАРНЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ Леегоииооорнив и доиомочеооие водо«о мерного случая мы имеем 16.1. Введение Во всех задачах, рассмотренных до сих пор в этой книге, предполагалось, что параметры не изменяются во времени. Распространение конечно-элементной концепции на задачи, параметры которых зависят от времени, не представляет особых трудностей. Область практических задач, в которых должна быть учтена зависимость ог времени, достаточно обширна. Типичными примерами являются задачи нестационарной теплопроводности, распространения волн в жидкостях или газах и задачи динамического поведения конструкций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
