Зенкевич О.С. - Метод конечных элементов в технике (1050654), страница 46
Текст из файла (страница 46)
4, матрица [Л!) определяется выражением где Ь вЂ” площадь треугольника, Лс[ задаются соотношением (4.8). Если толщина элемента ! предполагается постоянной в пределах элемента, то из уравнения(16,!5) для матрицы масс имеем С помощью соотношения (4.8) можно покаэатчь что — Л при г =,~э, ! ~~ М,'Лс[с(хс!у=~, ! 6 ! — Л прн г=э. — 0: — 0 ! — О ! 1: ! 4 ' 2 4 ! ! ! ! — 0: :— 0 ! — 0 4!4!2 0 †!Π†,0 1' .! 4 4 ! 2 !4всеазаанарнмв а динамические задача Если бы масса элемента была рааномернсь распределена по трем его узлам, то матрица масс имела бы вид Очевидно, что зти результаты значительно отличаются друг от друга.
Изгиб пластины. Колебания пластин представляют собой весьма важную инженерную проблему. Такие важные явления, как колебания мостового настила, колебания лопаток турбин и др., приводят к задачам, трудно поддающимся аналитическому решению. Важность использования согласованной матрицы масс вместо матрицы сосредоточенных масс подчеркивается в нескольких работах [!5 — 19], Если рассматривается, например, прямоугольный плоский элемент из равд.
10.4, то функции перемещений определяются соотношением (! 0.16) [Л!) =[Р) [С) ' (! 6.21) в соответствии с обозначениями гл, 1О. Заметим, что [С) не зависит от координат, а [Р] определяется выражением [Р) = [1, х, у, х', ху, уе, хл, х'у, хуэ, уэ, х'у, хуэ), Таким образом, для плоского элемента постоянной толщины ! матрица масс (16.!5) принимает вид [ш]' р(([С) ') (~~ [Р)г[Р)ьсхс(у)[С) ° (1622) Как и ранее, без особых затруднений вычисляется интеграл в круглых скобках, а полная матрица масс может быть получена матричным умножением.
В табл. 16.! приводится ее явное выражение, данное Дейвом [!6). Подобные матрицы масс могут быть получены и для треугольных элементов, рассмотренных в равд. !0,6 н далее, Явные Глаза 16 Таблиаа !б.! 80 199 3454 42 461 80 40 461 63 80 274 394 116 116 — 42 — 116 — ЗΠ— 28 — 60 — 116 — 28 — ЗО 116 1226 199 274 28 !99 40 42 — 30 — 274 — 42 — 60 иределаетса оо табл. [м14 ь 3464 — 461 80 — 46! 63 80 1226 -274 — 199 3454 274 — 60 — 42 461 80 -199 42 40 — 461 — 63 80 10.1 и Х=ртаь(6300. (!6.25) 12 Ззи. мз Матрица масс арамоугольиого злемента [щ)з= [Ц !М[[ц 3454 — 461 80 — 461 — 63 1226 — 274 274 — 60 199 — 42 1226 — 199 — 199 ЛΠ— 274 42 394 — 116 ' б — ЗО 116 28 Здесь ь о выражения для этих матриц здесь не приводятся; выполнение алгебраичесних преобразований предоставдяются читателю ').
При использовании таких элементов рекомендуются методы численного интегрирования. Оболочки. Если определены матрицы масс для плоских и изгибных движений некоторого элемента, то может быть найдена матрица масс, откесенная к общей координатной системе. Правила преобразований в этом случае, очевидно, точно такие же, как для сил. Основные этапы получения матрицы масс для каждого элемента в общих координатах и составление матрицы масс для ансамбля аналогичны подобным операциям для матриц жесткости (см.
гл. 11). Поэтому в принципе решение задач о колебаниях оболочек не представляет особых трудностей. Матрицы демпфирования и другиц Приведенные выше цри. меры, возможно, помогли читателю закрепить некоторые общие идеи. Он легко заметит, что матрицы демпфирования, заданные уравнением (16.14), имеют точно такую же струнтуру, что и матрицы масс. Различные матрицы, введенные в подразд. 16.2.1 и определяемые равенствами (16.7) и (16.8), также имеют аналогичную форму.
Таким образом, после незначительного видоизменения ко всем этим задачам в равной мере применимы резуль. таты, относящиеся к. плоскому треугольному элементу, и отпадает необходимость в повторном вычислении. 16.3. Связанные задачи Для задач обоих типов, рассмотренных в предыдущем рзз деле, получены ыатричные дифференциальные уравнения одина.
') Интегралы з яаном анде оразедены а работе [20) 77естааиоиориыз и динамические задача козой формы [формулы (!6.6) и (16.13)]. Аналогично могут быть получены уравнения для более сложных задач. Иногда в задачах связанного типа появляются две самостоятельные системы уравнений. Мы обсудим два таких примера, представляющих значительный практический интерес. 16.3.1.
Связанное движение упругой конструкции и жидкой среде [21, 22] Дифференциальное уравнение, описывающее распределение ' давления р при малых колебаниях сжимаемой жидкости, имеет Вид др др д'р 1 др — + — + — — = — =О, дзз дрз дзз ст д!з где с — скорость звука, а демпфирующне члены (вязкости) опущены. На границе задается или р или величина (16.24) если граница непроницаема и движется. Здесь (7„есть нормаль. ная составляющая перемещения. После разбиения жидкой об.
ласти на конечные элементы получается уравнение, аналогичное уравнению (16.6): ]0](р) + [о] др (р) +(Р)! =6 в котором матрицы [Н] и ]б] находятся обычным способом. Матрица (Р) не содержит вкладов интегрирования по объему, а обусловлена поверхностными интегралами, соответствующими опи. санным выше движениям [см. уравнение (1527)) '). Движение границы (поверхности раздела) обусловлено пере. мещением конструкции. Если дискретиэируется сама конструк. ция, то можно записать и„=[Л] (5], (16.26) где [й) определяется соответствующими функциями формы, а (6) является вектором узловых перемещений, Согласно формуле (15.13), имеем (Р), =]5] —,'„*. [5), '1 В более обмен случае а уразиенне (16дб! может входить член, со. держзщня первую ироизаодную от р по времени.
1!аорныер, если а ураииеоне дзижеииз жадности аходат члены, обусзозлеиаые вязким треиием, или граница ие отражает падающие зоззы дззиення. Такая граичца имеет важное значение, если область жидкости бчсцоиечаа, з пра расчете ее нужно ограиачзть[221. Глава гг Несгаиааиариме и даиааизугкад задачи где [31 = ~ [У]гр [У] Ыб.
(16.28) Здесь [М] — функции формы, определяющие распределение давления, а Я вЂ” поверхность раздела жидкости и конструкции (фиг. !6.1). После дискретизации задачи строительной механихи имеем [К) (б) + [С] — (б) + [М] ан (Ь) + (Р), + ()с) = О, (16.29) где содержатся обычные члены уравнения (!6.13), но воздействия разделены на заданные внешние силы (/с) и силы (р)„, обусловленные давлением жидкости на поверхности раздела. На основании принципа виртуальных работ можно найти, что силы (Р), должны быть заданы в виде у (р) („]//]ср г/3 1 [3]т ( 1 Р 3 (!6.30) д мъдр ьа так как р=[У](р) Объединяя уравнения (!6.25), (16.27), (16.29) и (16.30), окон- чательно получаем связанную систему матричных дифферен- циальных уравнений [81(р) +[б] —,(р)+[3] з, (61=0, (! 6.31) [К] (Ь) + [С] — „', (51+ [М] — „', (51+ — '[3]г(р)+ (/() =О, Фиг.
1ЗЛ. Павсрзиасть раздала тзсрдсга тела и жидкости. (р1-- [//Г' [31 —,„(ь) (16.32) Подставив это выражение во второе уравнение, получим обычное динамическое уравнение, в котором к матрице масс которая описывает эту задачу. Некоторые аспекты этой задачи обсуждаются в работах [211 и [22]. В частном случае для несжимаемой жидкости (с= са) второй член первого уравнения становится равным нулю н это уравнение может быть решено непосредственно, что дает (16.33) /б.32 Упругое поведение пористого насыщенного материала [24] Эта задача встречается в механике грунтов н во многих геотехнических проблемах. В пористой упругой среде давление жидкости в порах вызывает объемные силы, определяемые матрицей (16.34) Они уже рассматривались в гл. 4.
Подробнее эти вопросы изложены в работе [251. Если упругая конструкция дискретизируется конечными элементами, то объемные силы вызовут узловые силы ! д/дг1 ууу = 1!ау [дуду] ду д ~]ууу усу уду ссуду д/дз где [уу] — функции формы, определиющие перемещения упругого тела, а [М] — функции формы„характеризующие распределение давления '). В результате дли упругой среды мы имеем обычное уравнение дискретизированной задачи [К1 (Ь) + [Ц (р) + Я) = О, (16.36) где [К] — матрица жесткости, а Я) включает все, заданные силы, кроме сил, обусловленных давлением в порах.
Переходи к рассмотрению жидкости, содержащейся в порах, следует записать соответствующее дифференциальное уравнение иеразрыиности. Оно уже встречалось в гл. 15 хак типичное уравнение (15.1), но й„ й„, й, являются теперь коэффициентами про- '1 Йла арастатм иитсгралм записмиаютси иа асса солиста, хзи ° пд. и 1йь добавлена матрица присоединенных масс - -' [31'[//1-' [31. Р Такая матрица присоединенных масс, впервые предложенная Зенкевичем с сотр. [4, 15], была введена в разд. 15.5. Сравнительно недавно подобная методика была использована прн определении собственных частот арочных плотин [23].
Тмина Тб ницаемости и !г представляет собой скорость, с которой происходит наполнение жидкости в единице объема. Для матрицы третьего порядка, связанной с компонентами перемещений, имеем д!дх бг хбе+ б„+ а,)'= — б, д[ду [М][б), (16,37) д(дх Из уравнения (15.!) с учетом (!6.37) получаем [Н](р) + [3] —,,', (6) =О, (!6.38) н гак как сила О определяется уравнением (!5ЛЗ), то (д/дх 1 [Ее! Ее [Ке~ ~и~ее[|и|ее) — Га) Ееее) д/дх Уравнения (!6.36) и (16.38) образуют связанную систему совместных матричных дифференциальных ураввений.
Эти уравнения аналогичны системе (!6.31), полученной лля связанного динамического взаимодействия жидкости и конструкции. Если пренебречь сжимаемостью жидкости, то эти системы будут иметь одинаковую форму. Следует заметпть, что из формул (16.35) и (16.39) формально следует, что [3] = [Ц" (16.40) Использовав несколько иной подход, Саиду и Уилсон [24] впервые днскретизировали эту задачу с помощью конечных элементов.
Физические аспекты этой задачи обсуждаются в работах [26, 271 Обычное уравнение консолидации, которое имеет форму (16.1) (без вторых производных по времени), является частным случаем более общей формулировки. Выше предполагалось, что жидкость несжимаема. Если же в задаче учитывается и сжимаемость жидкости, то в уравнении (16.38) появляется дополнительный член вида [А] бг [р). (16.4!) Такое обобщение позволяет рассмотреть нестационарные задачи частично насыщенных грунтов. Неегакианерные и бинамиееение гадами 16.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
